立体几何(几何法)线面角Word格式.doc

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（1）证明：

因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，

PA＝2，PE＝2EC，故

PC＝2，EC＝，FC＝，

从而＝，＝.

因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以

△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°

，

由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.

（2）在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．

因为二面角A－PB－C为90°

，所以平面PAB⊥平面PBC.

又平面PAB∩平面PBC＝PB，

故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.

设D到平面PBC的距离为d.

因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.

设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.

所以PD与平面PBC所成的角为30°

.

方法二：

（1）以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.

设C（2，0,0），D（，b,0），其中b>

0，则P（0,0,2），E，B（，－b,0）．

于是＝（2，0，－2），＝，＝，从而·

＝0，

·

＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.

又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.

（2）＝（0,0,2），＝（，－b,0）．

设＝（x，y，z）为平面PAB的法向量，则·

＝0，·

即2z＝0且x－by＝0，

令x＝b，则＝（b，，0）．

设＝（p，q，r）为平面PBC的法向量，则

即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，

令p＝1，则r＝，q＝－，＝.

因为面PAB⊥面PBC，故·

＝0，即b－＝0，故b＝，于是＝（1，－1，），＝（－，－，2），

cos〈，〉＝＝，

〈，〉＝60°

因为PD与平面PBC所成的角和〈，〉互余，

故PD与平面PBC所成的角为30°

例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分）

如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.

（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（2）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

图1－4

（1）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．

在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2.

所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.

（2）证明：

由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.

（3）在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.

由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．

在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得∠PCD＝30°

在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°

＝.

由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.

在Rt△PCB中，PB＝＝.

在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝.

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.

例3（2012高考浙江文20）（本题满分15分）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

（i）EF∥A1D1；

（ii）BA1⊥平面B1C1EF；

（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

图1－5

【答案】解：

（ⅰ）因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1DA，

又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，

所以C1B1∥EF，

所以A1D1∥EF.

（ⅱ）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，

所以BB1⊥B1C1.

又因为B1C1⊥B1A1，

所以B1C1⊥平面ABB1A1，

所以B1C1⊥BA1.

在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝，

即∠A1B1F＝∠AA1B，

故BA1⊥B1F，

所以BA1⊥平面B1C1EF.

（2）设BA1与B1F交点为H，连结C1H.

由

（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．

在矩形AA1B1B中，AB＝，AA1＝2，得BH＝.

在直角△BHC1中，BC1＝2，BH＝，得

sin∠BC1H＝＝，

所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.