全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一Word下载.doc

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12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知向量，，且，则=　　．

14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为　　．

15．（5分）在等比数列{an}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设bn=a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{bn}的前2n项和为　　．

16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．

（1）求a及角A的大小；

（2）求的值．

18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°

．

（1）求证：

BD⊥CC1；

（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．

19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，

（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．

附：

①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；

②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544．

20．（12分）已知椭圆C：

的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：

y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值？

若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．

（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；

（2）已知函数g（x）=ex﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g

（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：

坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．

（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；

（2）分别记直线l：

，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．

[选修4-5：

不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|2x+1|．

（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；

（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：

f（m）+f（﹣2n）≥16．

参考答案与试题解析

【解答】解：

A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，

={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，

则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，

C={x|x=2n，n∈N}，

可得（A∪B）∩C={0，2，4}，

故选：

C．

由，

得x+yi==2+i，

∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．

A．

∵等差数列{an}的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，

∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，

∴a1+a10=9，

∴=45．

D．

设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，

∴S△BCI=×

×

=，

S平行四边形EFGH=2S△BCI=2×

∴所求的概率为

P===．

设双曲线C：

的右焦点F（c，0），

双曲线的渐近线方程为y=x，

由x=a代入渐近线方程可得y=b，

则A（a，b），可得AF的中点为（，b），

代入双曲线的方程可得﹣=1，

可得4a2﹣2ac﹣c2=0，

由e=，可得e2+2e﹣4=0，

解得e=﹣1（﹣1﹣舍去），

∵，

=∫cos2tdt=

==，

∴

=（）+（﹣cosx）

=﹣2．

第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；

第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3；

第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4；

…

第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；

第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019

第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，

故输出的S值为2，

函数=sin（2ωx）﹣•+

=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，

∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos（4x﹣）．

故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，

B．

展开式中所有各项系数和为（2﹣3）（1+1）6=﹣64；

=（2x﹣3）（1+++…），

其展开式中的常数项为﹣3+12=9，

∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为

﹣64﹣9=﹣73．

如图，可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，

设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，

则该几何体的外接球的半径R=，

∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．

抛物线C：

y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：

y=k1（x﹣1），直线l2：

y=k2（x﹣1），

由题意可知，则，

联立，整理得：

k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，

设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：

x3+x4=2+，

由抛物线的性质可得：

丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，

∴|AB|+|DE|=8+==，

当且仅当=时，上式“=”成立．

∴|AB|+|DE|的最小值24，

根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，

分析可得：

当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f

（1）=﹣，

当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，

又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；

则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，

则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f

（2）=16f（0）=8，

则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；

对于函数，有g′（x）=﹣+x+1==，

在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，

在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，

则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f

（1）=+m，

若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，

必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，

解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；

13．（5分）已知向量，，且，则=　　．

根据题意，向量，，

若，则•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，

又由sin2α+cos2α=1，则有或，

则=（，）或（﹣，﹣），

则||=，

则=2+2﹣2•=；

故答案为：

14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为　　．

由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（2，4），

令t=5x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，

直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2．

∴目标函数的最小值为．

15．（5分）在等比数列{an}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设bn=a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{bn}的前2n项和为　　．

等比数列{an}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，

设首项为a1，公比为q，

则：

，

整理得：

解得：

所以：

bn=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4，

T2n==．

16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为　（0，）　．

∵PF⊥AF，PF⊥EF，AF∩EF=F，

∴PF⊥平面ABCD．

设PF=x，则0＜x＜1，且EF=DF=x．

∴五边形ABCEF的面积为S=S梯形ABCD﹣S△DEF=×

（1+2）×

1﹣x2=（3﹣x2）．

∴五棱锥P﹣ABCEF的体积V=（3﹣x2）x=（3x﹣x3），

设f（x）=（3x﹣x3），则f′（x）=（3﹣3x2）=（1﹣x2），

∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，1）上单调递增，又f（0）=0，f

（1）=．

∴五棱锥P﹣ABCEF的体积的范围是（0，）．

（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得

﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，

即﹣2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，

在△ABC中，sinB＞0，所以．

又A∈（0，π），所以．

在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7，

所以．

（2）由，

得=，

（1）连接A1B，A1D，AC，

因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°

所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，

于是A1B=A1D．

设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，

又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．

又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，

又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．

（2）由，及，知A1B⊥A1D，

于是，从而A1O⊥AO，

结合A1O⊥BD，A1∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，

所以OA、OB、OA1两两垂直．

如图，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），

，，，

由，得D1（﹣1，﹣1，1）．

设（λ∈[0，1]），

则（xE+1，yE+1，zE﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1），

设平面B1BD的一个法向量为，

由得令x=1，得，

设直线DE与平面BDB1所成角为θ，

则，

解得或（舍去），

所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．

（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．

（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=26.5，σ≈11.95，

∴P（14.55＜Z＜38.45）=P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，

∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.6826．

②根据题意得X～B（4，），；

；

；

∴X的分布列为

X

1

2

3

4

P

∴．

（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，

所求椭圆方程为．

（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，

则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

设存在点D（0，m），则，，

所以==．

要使kAD+kBD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，

故2m﹣1=0，解得，

当时，kAD+kBD=0．

综上所述，存在点，使得kAD+kBD为定值，且定值为0．

（1）根据题意，函数f（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，

其导数为f'

（x）=ex﹣2（a﹣1），

当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'

（x）=ex﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立，

∴2（a﹣1）≤（ex）min=1（其中x∈[0，1]），解得；

当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'

（x）=ex﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，

∴2（a﹣1）≥（ex）max=e（其中x∈[0，1]），解得．

综上所述，实数a的取值范围是．

（2）函数g（x）=ex﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，

则g'

（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，

分析可得f（x）=g'

（x）．

由g（0）=g

（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，

设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，

所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，

同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，

所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．

由

（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．

当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，

故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；

令f'

（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），

所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递