高中数学竞赛辅导第七讲三角恒等式和三角不等式Word文件下载.doc

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相加减

要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式.为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.

上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.

此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.

三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：

配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等.其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.

三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型.解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°

这一结论及其变形形式.如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一.求三角形面积的海伦公式，大家往往不甚熟悉，但十分有用.

赛题精讲

例1：

已知

【思路分析】条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.

【证法1】

【证法2】

例2：

证明：

【思路分析】等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为、

的表达式，但相对较繁.观察到右边的次数较高，可尝试降次.

【证明】因为

从而有

【评述】本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.另本题也可利用复数求解.令，展开即可.

例3：

求证：

【思路分析】等式左边同时出现、，联想到公式.

【证明】

【评述】本题方法具有一定的普遍性.仿此可证

等.

例4：

例5：

证明：

【评述】这是三倍角的正弦的又一表示.类似地，有

.利用这几个公式可解下例.

例6：

①

②sin1°

sin2°

sin3°

…sin89°

=

【证明】①cos6°

cos42°

cos66°

cos78°

=cos6°

cos54°

②sin1°

=（sin1°

sin59°

sin61°

）（sin2°

sin58°

sin62°

）…（sin29°

sin31°

sin89°

）sin30°

sin60°

又

即

所以

例7：

对任一自然数n及任意实数为任一整数），有

【思路分析】本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.

同理

……

【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.

②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：

.

例8：

所以，

【评述】①本题也可借助复数获证.

②类似地，有

利用上述公式可快速证明下列各式：

针对性训练题

1．证明：

sin47°

+sin61°

－sin11°

－sin25°

=cos7°

2．证明：

3．已知：

sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0.

求证：

sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.

4．已知

5．已知的最大值.

6．已知、、、的最大值.

7．△ABC中，C=2B的充要条件是

8．△ABC中，已知、、成等差数列，求证：

、、也成等差数列.

9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，求B的最大值.

10．若、能否以、、的值为边长构成一个三角形.

11．求函数的值域.

12．求函数的值域.

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