立体几何中的向量问题空间角与距离[高考数学总复习][高中数学课时训]文档格式.doc

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由·

=||||cos〈,〉,

可得2m=.

解得m=,所以=（,,1）.

（1）因为cos〈,〉==,

所以〈,〉=45°

即DP与CC′所成的角为45°

（2）平面AA′D′D的一个法向量是=（0,1,0）.

因为cos〈,〉==,

所以〈,〉=60°

可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°

例2在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示.

求点B到平面CMN的距离.

解取AC的中点O，连接OS、OB.

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO，AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，

平面SAC∩平面ABC=AC，

∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz，

则B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），

M（1，，0），N（0，，）.

∴=（3，，0），=（-1，0，），=（-1，，0）.

设n=（x,y,z）为平面CMN的一个法向量，

则，取z=1，

则x=,y=-,∴n=（，-，1）.

∴点B到平面CMN的距离d=.

例3（16分）如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（2）求证：

无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；

（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°

（1）解当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.

又EF平面PAC，而PC平面PAC，

∴EF∥平面PAC. 4分

（2）证明以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

则P（0，0，1），B（0，1，0），

F（0，，），D（，0，0）.

设BE=x，则E（x，1，0），

·

=（x，1，-1）·

（0，，）=0，

∴PE⊥AF. 10分

（3）解设平面PDE的法向量为m=（p,q,1）,

由

（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）

由，得m=. 12分

而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°

∴sin45°

==，

∴=, 14分

得BE=x=-或BE=x=+＞（舍去）.

故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°

. 16分

1.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6，

OE∥AD.

（1）求二面角B-AD-F的大小；

（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.

解

（1）∵AD与两圆所在的平面均垂直，

∴AD⊥AB，AD⊥AF，

故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.

依题意可知，ABFC是正方形，

∴∠BAF=45°

即二面角B—AD—F的大小为45°

;

（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），

则O（0，0，0），

A（0，-3，0），B（3，0，0），D（0，-3，8），

E（0，0，8），F（0，3，0），

∴=（-3，-3，8），=（0，3，-8）.

cos〈,〉===-.

设异面直线BD与EF所成角为，则

cos=|cos〈,〉|=.

即直线BD与EF所成的角的余弦值为.

2.已知：

正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.

（1）求证：

平面B1EF⊥平面BDD1B1；

（2）求点D1到平面B1EF的距离.

（1）证明建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），

B（2，2，0），E（2，，0），

F（，2，0），D1（0，0，4），

B1（2，2，4）.

=（-，，0），=（2，2，0），=（0，0，4），

∴·

=0，·

=0.

∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD=D，

∴EF⊥平面BDD1B1.

又EF平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.

（2）解由

（1）知=（2，2，0），

=（-，，0），=（0，-，-4）.

设平面B1EF的法向量为n,且n=（x,y,z）

则n⊥,n⊥

即n·

=（x，y，z）·

（-，，0）=-x+y=0，

n·

（0，-，-4）=-y-4z=0，

令x=1,则y=1,z=-,∴n=（1,1,-）

∴D1到平面B1EF的距离

d===.

3.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，

BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

解方法一

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、

E（0，，1），

从而=（，1，0），=（，0，-2）.

设与的夹角为，

则cos===，

∴AC与PB所成角的余弦值为.

（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z）,则=（-x，，1-z），由NE⊥平面PAC可得

，即,

化简得,∴

即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，.

方法二

（1）设AC∩BD=O，

连接OE，AE，BD，

则OE∥PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.

在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，

∴由余弦定理得

cos∠EOA=,

即AC与PB所成角的余弦值为.

（2）在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=.连接PF,则在Rt△ADF中,

DF==,

AF=AD·

tan∠ADF=.

设N为PF的中点，连接NE，则NE∥DF.

∵DF⊥AC，DF⊥PA，

∴DF⊥平面PAC，从而NE⊥平面PAC.

∴N点到AB的距离为AP=1，

N点到AP的距离为AF=.

一、填空题

1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin〈,〉的值等于.

2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为.

3.（2008·

全国Ⅰ理，11）已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于.

4.P是二面角—AB—棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°

，∠MPN=60°

，那么二面角—AB—的大小为.

答案90°

5.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为.

6.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°

，

点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是.

7.如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与

平面B1DC所成角的正弦值为.

8.正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是.

答案30°

二、解答题

9.如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°

BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.

求AB与平面BDF所成角的正弦值.

解以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.

∴=（0，2，1），=（1，-2，0）.

设平面BDF的一个法向量为

n=（2，a，b），

∵n⊥，n⊥，

∴

即

解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.

设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，

∴cos（-）===,

即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.

10.在五棱锥P—ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=

∠DEA=90°

PA⊥平面ABCDE；

（2）求二面角A—PD—E的余弦值.

（1）证明以A点为坐标原点，以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，则由已知得

A（0，0，0），P（0，0，2a），

B（2a，0，0），C（2a，a，0），

D（a，2a，0），E（0，2a，0）.

∴=（0，0，2a），=（2a，0，0），=（0，2a，0），

=0·

2a+0·

0+2a·

0=0，

∴⊥.同理⊥.

又∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE.

（2）解设平面PAD的法向量为m=（1,y,z）,

则m·

=0，得a+2ay=0，∴y=-.

又m·

=0，得2az=0，∴z=0.

∴m=（1，-，0）.

再设平面PDE的法向量为n=（x,1,z）,

而=（a，0，0），=（a，2a，-2a），

则n·

=0，得ax=0，∴x=0.

又n·

=0，得ax+2a-2az=0，∴z=1.

∴n=（0，1，1）.

令二面角A—PD—E的平面角为，

则cos=-==，

故二面角A—PD—E的余弦值是.

11.如图所示，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，

OP⊥底面ABC.

（1）若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小；

（2）当k取何值时，二面角O—PC—B的大小为？

解∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，

从而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O—xyz.

（1）设AB=a，则PA=a，PO=a，

A（a，0，0），B（0，a，0），

C（-a，0，0），P（0，0，a），

则D（-a，0，a）.

∵=（a，0，-a），=（-a，-a，a），

∴cos〈,〉===-,

则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为.

（2）设AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，

∴=（0，a，0）为平面POC的一个法向量.

不妨设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z），

∵A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，0，h），

∴=（-a,-a,0）,=（-a,0,-h）,

由

不妨令x=1，则y=-1，z=-，

即n=（1,-1,-）,则cos=

==2+=4h=a,

∴PA===a,

而AB=kPA,∴k=.

故当k=时,二面角O—PC—B的大小为.

12.（2008·

湛江模拟）如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，

E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.

（1）求CE的长；

A1C⊥平面BED；

（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.

（1）解如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），A1（2，0，4），

B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.

∵BE⊥B1C，

=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.

（2）证明由

（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），

又=（-2，2，-4），=（2，2，0），

=4+0-4=0，

且·

=-4+4+0=0.

∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.

即A1C⊥平面BED.

（3）解由

（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,

∴cos〈,〉==.

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为.

希望大家高考顺利