因动点产生的直角三角形问题Word格式.docx

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图4

如图4,已知A（3,0）,B（1,-4）,如果直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上,求点C的坐标.

我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C.

如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB.

设OC=m,那么

=

.

这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点.

例11　2016年义乌市绍兴市中考第24题

如图,在矩形ABCO中,点O为坐标原点,点B的坐标为（4,3）,点A、C在坐标轴上,点P在BC边上,直线l1:

y=2x+3,直线l2:

y=2x-3.

（1）分别求直线l1与x轴、直线l2与AB的交点坐标;

（2）已知点M在第一象限,且是直线l2上的点,若△APM是等腰直角三角形,求点M的坐标;

（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形称为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上,Q是坐标平面内的点,且点N的横坐标为x,请直接写出x的取值范围（不用说明理由）.

请打开几何画板文件名“16义乌绍兴24”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,有3个点M可以落在直线y=2x-3上.点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,有4个点N随点P运动.

1.第

（2）题:

设M（x,2x-3）,擦去两条直线,在BC上取点P.

2.以AP为斜边构造等腰Rt△APM,再以MA和MP为斜边构造直角三角形全等.

3.以AP为直角边构造等腰Rt△APM,再以AP和PM为斜边构造直角三角形全等.

4.第（3）题与

（2）题相同的是∠AMP=∠ANP.求x关于m的关系式.

例12　2017年达州市中考第25题

如图1,点A的坐标为（2,0）,以OA为边在第一象限内作等边△OAB,点C为x轴上一动点,且在点A的右侧,连结BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,连结AD交BC于点E.

（1）①直接回答:

△OBC与△ABD全等吗?

②试说明:

无论点C如何移动,AD始终与OB平行;

（2）当点C运动到使AC2=AE·

AD时,如图2,经过O、B、C三点的抛物线y1.试问:

y1上是否存在动点P,使△BEP为直角三角形且BE为直角边?

若存在,求出点P的坐标;

若不存在,请说明理由;

（3）在

（2）的条件下,将y1沿x轴翻折得y2,设y1与y2组成的图形为M,函数y=

x+

m的图象l与M有公共点.试写出:

l与M的公共点为3个时,m的取值.

图1图2

请打开几何画板文件名“17达州25”,拖动y轴上的点H可以平移直线l,可以体验到,当直线l与开口向下的抛物线左侧相切,或与开口向上的抛物线右侧相切时,直线l与两条抛物线的公共点有3个.

1.△CBO绕着点B逆时针旋转60°

与△DBA重合,把图形中60°

的角都标记出来.

2.第

（2）题要分三步完成:

先确定点C,再求抛物线的解析式,最后分两种情况讨论点P,共有3个符合条件的点P.

3.第（3）题采用数形结合思想,当直线与抛物线相切时,联立方程组消去y,那么Δ=0.

例13　2017年上海市中考第25题

如图,已知☉O的半径长为1,AB、AC是☉O的两条弦,且AB=AC,BO的延长线交AC于点D,连结OA、OC.

（1）求证:

△OAD∽△ABD;

（2）当△OCD是直角三角形时,求B、C两点的距离;

（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积为S1、S2、S3,若S2是S1和S3的比例中项,求OD的长.

请打开几何画板文件名“17上海25”,拖动点A运动,可以体验到,△OAB和△OAC是两个全等的等腰三角形,4个底角保持相等,△OCD可以两次成为直角三角形.观察面积比的度量值,可以体验到,当两个面积比相等时,比值就是黄金分割数.

1.把相等的弦所对的圆心角标记出来,由此得到的等腰三角形的底角都相等.

2.直角三角形OCD存在两种情况,不存在∠OCD为直角的可能.

3.第（3）题中的三个三角形都是等高三角形,把面积比转化为对应底边的比.

1.4　因动点产生的平行四边形问题

我们先思考三个问题:

1.已知A、B、C三点,以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?

2.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?

3.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分?

如图1,过△ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D.

如图2,已知A（0,3）,B（-2,0）,C（3,1）,如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D的坐标呢?

点B先向右平移2个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C（3,1）先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D（5,4）.

如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直）,点A、C到这条直线的距离相等,点B、D到这条直线的距离相等.

关系式xA+xC=xB+xD和yA+yC=yB+yD有时候用起来很方便.

我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.

如图4,点A是抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的一个动点,AB⊥x轴于点B,线段AB交直线y=x-1于点C,那么点A的坐标可以表示为（x,-x2+2x+3）,点C的坐标可以表示为（x,x-1）.

线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为

AB=yA=-x2+2x+3,

线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标表示为

AC=yA-yC=-x2+2x+3-（x-1）=-x2+x+4.

通俗地说,数形结合就是:

点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.

例14　2016年泰安市中考第28题

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2,9）,与y轴交于点A（0,5）,与x轴交于点E、B.

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;

（2）过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点（点P在AC上方）,作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?

并求出最大面积;

（3）若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.

请打开几何画板文件名“16泰安28”,拖动点P在AC上方的抛物线上运动,可以体验到,S随P变化的图象是开口向下的抛物线的一部分.拖动点N在对称轴上运动,可以体验到,两个点M都有机会落在抛物线上.

1.设抛物线的顶点式比较简便.

2.四边形APCD的对角线互相垂直,面积等于对角线积的一半.

3.因为AE与MN平行且相等,所以M、N两点间的水平距离、竖直距离与A、E两点间的水平距离、竖直距离分别相等.

例15　2017年上海市普陀区中考模拟第24题

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x+m（m>

0）的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A,与x轴交于点B,抛物线的图象与y轴交于点C,且OC=3OB.

（1）求点A的坐标;

（2）求直线AC的表达式;

（3）点E是直线AC上一动点,点F在x轴上方的平面内,且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形,直接写出点F的坐标.

请打开几何画板文件名“17普陀24”,可以体验到,以A、B、E、F为顶点的菱形存在四种情况,其中一种情况点F在x轴的下方.

1.从待定系数的二次函数的解析式中可以得到抛物线的对称轴是直线x=1,然后这道题目和抛物线没有什么关系了.

2.第（3）题以AB为分类标准,分两种情况讨论菱形.两种情况的菱形都可以画出准确的示意图.

例16　2017年成都市中考第28题

如图1,在平面直角坐标系中,抛物线C:

y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,顶点为D（0,4）,AB=4

.设点F（m,0）是x轴正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°

得抛物线C'

（1）求抛物线C的函数表达式;

（2）若抛物线C'

与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围;

（3）如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C'

上的对应点为P'

.设M是C上的动点,N是C'

上的动点,试探究四边形PMP'

N能否成为正方形?

若能,求出m的值;

若不能,请说明理由.

请打开几何画板文件名“17成都28”,拖动点F运动,可以体验到,正方形PMP'

N的顶点M、N共有三次机会同时落在两条抛物线上,其中一次点F运动到原点.

1.用m表示抛物线C'

的顶点坐标,设抛物线C'

的顶点式.

2.抛物线C'

与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,一个临界时刻是抛物线C'

经过点D,另一个临界时刻是B、F重合.

3.第（3）题:

先构造正方形,用m表示点M的坐标,再把点M代入抛物线C的解析式求解m的值.

例17　2017年菏泽市中考第24题

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点B（4,0）,与过点A的直线相交于另一个点D

过点D作DC⊥x轴,垂足为C.

（1）求抛物线的表达式;

（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合）,过点P作PN⊥x轴,交直线AD于点M,交抛物线于点N,连结CM,求△PCM面积的最大值;

（3）若点P是x轴正半轴上一动点,设OP的长为t,是否存在t,使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形?

若存在,求出t的值;

若不存在,请说明理由.

请打开几何画板文件名“17菏泽24”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,N在M上方时,不存在NM=DC的情况;

M在N上方时,存在MN=DC.

1.点N、M、P的横坐标都用t表示,点N、M的纵坐标分别用抛物线和直线AD的解析式表示.

2.第

（2）题先求S△PCM关于t的二次函数,再求这个二次函数的最大值.

3.第（3）题根据NM与DC相等列方程,分两种情况:

N在M上方,M在N上方.

例18　2017年威海市中考第25题

如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）.点M、N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.

（1）求二次函数的表达式;

（2）过点N作NF⊥x轴,垂足为点F,若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧）,求该正方形的面积;

（3）若∠DMN=90°

MD=MN,求点M的横坐标.

图1备用图

请打开几何画板文件名“17威海25”,拖动点M在抛物线上运动,可以体验到,MD=MN存在四种情况.

1.设MN与抛物线的对称轴交于点H,那么MN=2MH.因此ME、MN的长就可以用点M的坐标表示了.

2.第（3）题中MN=MD,点M与D、N的位置关系存在四种情况.

例19　2017年宿迁市中考第25题

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）,将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连结AC、BC.

（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;

（2）求△ABC外接圆的半径;

（3）点P为曲线M或曲线N上的一个动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.

请打开几何画板文件名“17宿迁25”,拖动点Q在x轴上运动,可以体验到,点P和点P'

各有四次机会落在抛物线上,其中一次机会与点C重合.

1.翻折以后的抛物线与x轴的交点不变,开口方向改变了,可以直接写出交点式.

2.观察△ABC的三个顶点,发现AB边和BC边的垂直平分线都是特殊的直线,这两条直线的交点就是△ABC外接圆的圆心.

3.第（3）题的平行四边形,以BC为分类标准,按照边或者对角线分两种情况讨论.