二次函数与直角三角形存在问题.docx

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二次函数与直角三角形存在问题

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00--__:

00

课题

名称

直角三角形的存在问题

教学

重点

教

学

过

程

【经典练习讲解】

1.（2011•济南）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣

x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；

②当S最大时，在抛物线y=﹣

x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）。

点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动。

其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。

过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ。

求：

（1）点　　　（填M或N）能到达终点；

（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t和取值范围，当t为何值时，S的值最大；

（1）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？

若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。

3.（2010•铜仁地区）如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2，OA=3，点P是OA上的任意一点，PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合．

（1）设OP=x，OE=y，求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值；

（2）当PD⊥OA时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式；

（3）请探究：

在

（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得△EPM为直角三角形？

若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

4.（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

5.（2011•徐州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，﹣2）．

（1）求此函数的关系式；

（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

6.（2009•防城港）如图，在平面直角坐标系中，直线

与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折，使点Ｏ刚好落在直线AD上的点C处．

（1）求BD的长．

（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），

当点N运动到什么位置时，S1与S2的积的值最大，求出此时点N的坐标．

（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？

若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为

（

）．

1当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形；

2设BP=t，AQ=s求s与t之间的函数关系式．

8.（2009•湛江）已知矩形纸片OABC的长OA=４，宽OC=３，以OA所在的直线为x轴，以OC所在的直线为y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系。

点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△OPC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．

（1）若点Ｅ落在BC边上，如图①，求过P、C、D三点的抛物线的解析式；

（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP=x，AD=y当x为何值时，y取得最大值？

（3）在

（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

9.（2009•营口）如图，正方形ABCO的边长为

，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转

后得到正方形A1B1C1O（

＜45º），B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A1、B1、C1．

（1）求tan

的值；

（2）求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；

（3）求抛物线的解析式及其对称轴；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB1C1为直角三角形？

若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10.（2011•西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（﹣1，0）．如图所示，B点在抛物线y=

x2+

x﹣2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为﹣3．

（1）求证：

△BDC≌△COA；

（2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11.（2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ=

AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

温馨提示：

考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

12.（2011•朝阳）平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，﹣

）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（

，0），且BC=5，AC=3（如图

（1））．

（1）求出该抛物线的解析式；

（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在

（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s．

①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图

（1）、图

（2）中画出探求）；

3当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？

若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

13.（2010•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．

（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；

①求S与t的函数关系式；

②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？

（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？

若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

14.（2010•达州）如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O．

（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；

（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

课后小结

上课情况：

课后需再巩固的内容：

配合需求：

家长_________________________________

学管师_________________________________