高中三角函数知识点与常见习题类型解法.docx
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高中三角函数知识点与常见习题类型解法
三角函数知识点与常见习题类型解法
1、任意角的三角函数：
（1）弧长公式：
l
aR
R
为圆弧的半径，
a为圆心角弧度数，l为弧长。
（2）扇形的面积公式：
S
1lR
R
为圆弧的半径，
l为弧长。
2
（3）同角三角函数关系式：
①倒数关系：
tanacota
1
②商数关系：
tana
sina，
cota
cosa
cosa
sina
③平方关系：
sin2a
cos2a
1
（4）诱导公式：
（奇变偶不变，符号看象限）
k
所谓奇偶指的是整数
k的奇偶性；
2
函数
x
sinx
cosx
tanx
cotx
a
sina
cosa
tana
cota
2
a
sina
cosa
tana
cota
a
cosa
sina
cota
tana
2
2、两角和与差的三角函数：
（1）两角和与差公式：
cos（
）
cosacos
sinasin
sin（a
）
sinacos
cosasin
tana（a
）
tana
tan
1
tanatan
【注：
公式的逆用或者变形】
．．．．．．．．．．
（2）二倍角公式：
sin2a
2sinacosa
cos2a
cos2asin2a12sin2a
2cos2a1
tan2a
2tana
1
tan2a
1cos2a
1cos2a
从二倍角的余弦公式里面可得出：
降幂公式：
cos2a
，
sin2a
2
2
（3）半角公式（可由降幂公式推导出）
：
sina
1
cosa，cosa
1
cosa
，
2
2
2
2
tana
1
cosa
sina
1
cosa
2
1
cosa
1cosa
sina
1
3、三角函数的图像和性质：
（其中kz）
三角函数ysinxycosx
图像
ytanx
xk
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
单调性
对称性
零值点
最值点
（-∞，+∞）（-∞，+∞）
[-1,1][-1,1]
T
2
T
2
奇
偶
[2k
2k
]单调递增
[（2k
1）,2k
]单调递增
2
2
[2k
2k
3
]单调递减
[（2k
（2k
1）]单调递减
2
2
对称轴：
x
k
2
对称轴：
x
k
对称中心：
（k
0）
对称中心：
（k
0）
2
x
k
x
k
2
x
2k
ymax
1
x
2k
ymax
1
2
x
2k
ymax
1
x
（2k1）
ymax1
2
2
（-∞，+∞）
T
奇
（k,k）单调递增
22
对称中心：
（k,0）
2
xk
无
4、函数yAsin（x）的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如yAsin（x）图像及性质）
（1）函数yAsin（x
）和yAcos（x
2
）的周期都是T
（2）函数yAtan（x）和yAcot（x）的周期都是T
（3）五点法作yAsin（x）的简图，设tx，取0、、、3、2来求相应x的值以
22
及对应的y值再描点作图。
（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。
切记每一个变换总是对字
母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
2
【函数的平移变换】：
①
y
f（x）
y
f（x
a）（a
0）
将y
f（x）图像沿x轴向左（右）平移
a个单位（左加右减）
②
y
f（x）
y
f（x）
b（b
0）
将y
f（x）图像沿y轴向上（下）平移
b个单位（上加下减）
【函数的伸缩变换】：
①y
f（x）
y
f（wx）（w
0）将y
f（x）图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的
1倍（w1
缩
0
w
w
短，
伸长）
1
②
y
f（x）
y
Af（x）（A
0）
将y
f（x）图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的
A倍（A
1
伸长，
0
A
缩短）
1
【函数的对称变换】：
①y
f（x）
y
f（x））将y
f（x）图像绕y轴翻折180°（整体翻折）；
（对三角函数来说：
图像关于
x轴对称）
②y
f（x）
y
f（x）将y
f（x）图像绕x轴翻折180°（整体翻折）；
（对三角函数来说：
图像关于
y轴对称）
③y
f（x）
y
f（x）
将y
f（x）图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函
数局部翻折）；
④y
f（x）
y
f（x）保留y
f（x）在x轴上方图像，x轴下方图像绕
x轴翻折上去（局部翻动）
5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：
特别是用“1”的代换；
如1
sin2a
cos2a
tanx
cotx
tan45等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：
sin2a
2cos2a
（sin2a
cos2a）cos2a1cos2a；
配凑角：
（
）
；
2
等。
2
（3）降次与升次；切化弦法。
（4）引入辅助角。
yasin
bcosa2
b2sin（）a2
b2cos（），这里辅助角
所在象限由
a、b的符号确定，
角的值由tan
b
确定。
a
【典型例题】：
1、已知tanx
2，求sinx,cosx的值．
3
解：
因为tanx
sinx
2，又sin2a
cos2a1，
cosx
sinx
2cosx
联立得
cos2
，
sin2x
x1
sinx
2
5
2
5
5
sinx
5.
解这个方程组得
cosx
5
cosx
5
5
5
2、求tan（120）cos（210）sin（480）的值。
tan（690）sin（150）cos（330）
解：
原式
tan（120180）cos（180
30）sin（360
120）
tan（72030o）sin（
150）cos（360
30）
tan60（cos30）（sin120）
33.
tan30（sin150）cos30
3、若sinx
cosx
2,，求sinxcosx的值．
sinx
cosx
解：
法一：
因为sinx
cosx
2,
sinx
cosx
所以sinx
cosx
2（sinx
cosx）
得到sinx
3cosx，又sin2acos2a1
，联立方程组，解得
310
sinx
310
sinx
10
10，
，
cosx
10
cosx
10
10
10
所以sinxcosx
3
10
法二：
因为sinx
cosx
2,
sinx
cosx
所以sinx
cosx2（sinx
cosx），
所以（sinx
cosx）2
4（sinxcosx）2，所以1
2sinxcosx48sinxcosx，
3
所以有sinxcosx
10
4
4、求证：
tan2xsin2xtan2xsin2x。
证明：
法一：
右边＝tan2x
sin2x
tan2x
（tan2xcos2x）
tan2
x（1
cosx2）
tan2xsinx2；
法二：
左边=tan2xsin2xtan2x
（1cos2
x）tan2
xtan2xcosx2
tan
2x（1
cosx2）
tan2xsinx2
5、求函数y2sin（x
π
]上的值域。
）在区间[0,2
2
6
解：
因为0
x2
]，所以0
x
，
x
6
7由正弦函数的图象，得到
2
6
2
6
y2sin（x
π
1,1
所以y
2sin（x
π
1,2
）
）
2
6
2
，
2
6
6、求下列函数的值域．
（1）ysin2xcosx
2；
（）
y2sinxcosx（sinxcosx））
2
解：
（1）ysin2x
cosx
2
1
cos2
x
cos
x
2（cos2
x
cos
x
）
3
=
令tcosx，则t
[1,1],y
（t2
t）3
（t
1）2
13
（t
1）2
13,
[1,13].
2
4
2
4
利用二次函数的图象得到
y
4
5
（2）
y2sinxcosx
（sinx
cosx）
=（sinx
cosx）2
1（sinxcosx）
令t
sinx
cosx
2sin（x
π
[
2,
2]
），则t
4
5
则y
t2
t
1,利用二次函数的图象得到y
[
1
2].
4
7、若函数
y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）的图象的一个最高点为
（2,2），它到其相邻的最低点之
间的图象与x轴交于（6，0），求这个函数的一个解析式。
解：
由最高点为（2,
2），得到A
2，最高点和最低点间隔是半个周期，
从而与x轴交点的间隔是1
4
个周期，这样求得
T
4
，T=16，所以
π
4
8
又由2
2sin（π
2），得到可以取
π
π
π
.y
2sin（x
）.
8
4
8
4
8、已知函数f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x
π
1
sinx
[0,],求f（x）的最大值、最小值．数y
的值域．
2
3
cosx
解：
（Ⅰ）因为f（x）=cos
4x－2sinxcosx－sin4x＝（cos2x－sin
2x）（cos2x＋sin2x）－sin2x
（cos2xsin2x）
π
π
sin2xcos2xsin2x2sin（2x）
2sin（2x）
4
4
所以最小正周期为
π．
6
π
，则
π
π3π
，所以当x=0时，f（x）取最大值为
2sin（
π
当x
3π
（Ⅱ）若x[0,
]
（2x
）[
]
）1;
时，
2
4
4
4
4
8
f（x）取最小值为
2.
9、已知tan
2
，求（
1）cos
sin
；
（2）sin2
sin.cos
2cos2
的值.
cos
sin
cos
sin
1
sin
1
tan
1
2
解：
（1）
cos
32
2；
cos
sin
sin
1
tan
1
2
1
cos
sin2
cos2cos2
（2）
2
2
sin
sin
sincos
2cos
sin2
cos2
sin2
sin
2
2
22
4
2
cos2
cos
.
sin
2
2
1
3
1
cos2
说明：
利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到）
，进行弦、切互化，就会使解题过
程简化。
10、求函数y1sinxcosx（sinxcosx）2的值域。
解：
设t
sinx
cosx
2sin（x
π）[
2，2]，则原函数可化为
1）2
3
4
y
t2
t1（t
，因为t
[
2，2]，所以
2
4
当t
2时，ymax
3
2，当t
1
3
2
时，ymin
，
4
所以，函数的值域为
y
[3，3
2]。
4
7
11、已知函数f（x）4sin2
x2sin2x2，x
R；
（1）求f（x）的最小正周期、
f（x）的最大值及
此时x的集合；
（2）证明：
函数
f（x）的图像关于直线
x
π
对称。
8
解：
f（x）
4sin2
x
2sin2x
2
2sinx
2（1
2sin2x）
2sin2x
2cos2x
2
2sin（2x
π）
4
（1）
所以f（x）的最小正周期T
π，因为x
R，
所以，当
π
π
x
π
2
2；
2x
2kπ
，即
kπ3时，f（x）最大值为
4
2
8
（2）
证明：
欲证明函数f（x）的图像关于直线x
π
R，有
对称，只要证明对任意x
8
π
f（
π
x）成立，
f（
x）
8
8
π
x）
2
2sin[2（
π
x）
π
2
π
2x）
2
2cos2x，
因为f（
8
]
2sin（
8
4
2
π
2
2sin[2（
π
x）
π
2
π
2x）
2
2cos2x，
f（
x）
8
]
2sin（
8
4
2
π
x）
f（
π
f（x）的图像关于直线
x
π
所以f（
x）成立，从而函数
对称。
8
8
8
12、已知函数y=1cos2x+
3
2
2
sinx·cosx+1（x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x
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