线性代数同济四word版习题答案 第四章Word下载.docx

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6判定下列向量组是线性相关还是线性无关

（1）（131）T（210）T（141）T

（2）（230）T（140）T（002）T

解

（1）以所给向量为列向量的矩阵记为A因为

所以R（A）2小于向量的个数从而所给向量组线性相关

（2）以所给向量为列向量的矩阵记为B因为

所以R（B）3等于向量的个数从而所给向量组线性无关

7问a取什么值时下列向量组线性相关？

a1（a11）Ta2（1a1）Ta3（11a）T

解以所给向量为列向量的矩阵记为A由

知当a1、0、1时R（A）3此时向量组线性相关

8设a1a2线性无关a1ba2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式

解因为a1ba2b线性相关故存在不全为零的数12使

1（a1b）2（a2b）0

由此得

设

则

bca1（1c）a2cR

9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？

试举例说明之

解不一定

例如当a1（12）T,a2（24）T,b1（11）T,b2（00）T时有

a1b1（12）Tb1（01）T,a2b2（24）T（00）T（24）T

而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的

10举例说明下列各命题是错误的

（1）若向量组a1a2am是线性相关的则a1可由a2am线性表示

解设a1e1（1000）a2a3am0则a1a2am线性相关但a1不能由a2am线性表示

（2）若有不全为0的数12m使

1a1mam1b1mbm0

成立则a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关

解有不全为零的数12m使

1a1mam1b1mbm0

原式可化为

1（a1b1）m（ambm）0

取a1e1b1a2e2b2amembm其中e1e2em为单位坐标向量则上式成立而a1a2am和b1b2bm均线性无关

（3）若只有当12m全为0时等式

才能成立则a1a2am线性无关,b1b2bm亦线性无关

解由于只有当12m全为0时等式

由1a1mam1b1mbm0

成立所以只有当12m全为0时等式

1（a1b1）2（a2b2）m（ambm）0

成立因此a1b1a2b2ambm线性无关

取a1a2am0取b1bm为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2am线性相关

（4）若a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关则有不全为0的数12m使

1a1mam01b1mbm0

同时成立

解a1（10）Ta2（20）Tb1（03）Tb2（04）T

1a12a20122

1b12b201（3/4）2

120与题设矛盾

11设b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关

证明由已知条件得

a1b1a2a2b2a3a3b3a4a4b4a1

于是a1b1b2a3

b1b2b3a4

b1b2b3b4a1

从而b1b2b3b40

这说明向量组b1b2b3b4线性相关

12设b1a1b2a1a2bra1a2ar且向量组a1a2ar线性无关证明向量组b1b2br线性无关

证明已知的r个等式可以写成

上式记为BAK因为|K|10K可逆所以R（B）R（A）r从而向量组b1b2br线性无关

13求下列向量组的秩,并求一个最大无关组

（1）a1（1214）Ta2（9100104）Ta3（2428）T

解　由

知R（a1a2a3）2因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1a2是一个最大无关组

（2）a1T（1213）a2T（4156）a3T（1347）

解由

知R（a1Ta2Ta3T）R（a1a2a3）2因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1Ta2T线性无关所以a1Ta2T是一个最大无关组

14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组

（1）

解因为

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

（2）

所以第1、2、3列构成一个最大无关组

15设向量组

（a31）T（2b3）T（121）T（231）T

的秩为2求ab

解设a1（a31）Ta2（2b3）Ta3（121）Ta4（231）T

因为

而R（a1a2a3a4）2所以a2b5

16设a1a2an是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2en能由它们线性表示证明a1a2an线性无关

证法一记A（a1a2an）E（e1e2en）由已知条件知存在矩阵K使

EAK

两边取行列式得

|E||A||K|

可见|A|0所以R（A）n从而a1a2an线性无关

证法二因为e1e2en能由a1a2an线性表示所以

R（e1e2en）R（a1a2an）

而R（e1e2en）nR（a1a2an）n所以R（a1a2an）n从而a1a2an线性无关

17设a1a2an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示

证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2an线性无关而a1a2ana是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2an线性表示且表示式是唯一的

充分性已知任一n维向量都可由a1a2an线性表示故单位坐标向量组e1e2en能由a1a2an线性表示于是有

nR（e1e2en）R（a1a2an）n

即R（a1a2an）n所以a1a2an线性无关

18设向量组a1a2am线性相关且a10证明存在某个向量ak（2km）使ak能由a1a2ak1线性表示

证明因为a1a2am线性相关所以存在不全为零的数12m使

1a12a2mam0

而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10矛盾因此存在k（2km）使

k0k1k2m0

于是

1a12a2kak0

ak（1/k）（1a12a2k1ak1）

即ak能由a1a2ak1线性表示

19设向量组Bb1br能由向量组Aa1as线性表示为

（b1br）（a1as）K其中K为sr矩阵且A组线性无关证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R（K）r

证明　令B（b1br）A（a1as）则有BAK

必要性设向量组B线性无关

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有

rR（B）R（AK）min{R（A）R（K）}R（K）

及R（K）min{rs}r

因此R（K）r

充分性因为R（K）r所以存在可逆矩阵C使

为K的标准形于是

（b1br）C（a1as）KC（a1ar）

因为C可逆所以R（b1br）R（a1ar）r从而b1br线性无关

20设

证明向量组12n与向量组12n等价

证明将已知关系写成

将上式记为BAK因为

所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价

21已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x且向量组xAxA2x线性无关

（1）记P（xAxA2x）求3阶矩阵B使APPB

APA（xAxA2x）

（AxA2xA3x）

（AxA2x3AxA2x）

所以

（2）求|A|

解由A3x3AxA2x得A（3xAxA2x）0因为xAxA2x线性无关故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解所以R（A）3|A|0

22求下列齐次线性方程组的基础解系

解　对系数矩阵进行初等行变换有

于是得

取（x3x4）T（40）T得（x1x2）T（163）T

取（x3x4）T（04）T得（x1x2）T（01）T

因此方程组的基础解系为

1（16340）T2（0104）T

解对系数矩阵进行初等行变换有

取（x3x4）T（190）T得（x1x2）T（214）T

取（x3x4）T（019）T得（x1x2）T（17）T

1（214190）T2（17019）T

（3）nx1（n1）x22xn1xn0.

解原方程组即为

xnnx1（n1）x22xn1

取x11x2x3xn10得xnn

取x21x1x3x4xn10得xn（n1）n1

取xn11x1x2xn20得xn2

1（1000n）T

2（0100n1）T

n1（00012）T

23设

求一个42矩阵B,使AB0,且

R（B）2.

解显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性无关的解因为

所以与方程组AB0同解方程组为

取（x3x4）T（80）T得（x1x2）T（15）T

取（x3x4）T（08）T得（x1x2）T（111）T

方程组AB0的基础解系为

1（1580）T2（11108）T

因此所求矩阵为

24求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为

1（0123）T2（3210）T

解显然原方程组的通解为

即

（k1k2R）

消去k1k2得

此即所求的齐次线性方程组.

25设四元齐次线性方程组

I

II

求

（1）方程I与II的基础解系

（2）I与II的公共解

解

（1）由方程I得

取（x3x4）T（10）T得（x1x2）T（00）T

取（x3x4）T（01）T得（x1x2）T（11）T

因此方程I的基础解系为

1（0010）T2（1101）T

由方程II得

取（x3x4）T（10）T得（x1x2）T（01）T

因此方程II的基础解系为

1（0110）T2（1101）T

（2）I与II的公共解就是方程

III

的解因为方程组III的系数矩阵

所以与方程组III同解的方程组为

取x41得（x1x2x3）T（112）T方程组III的基础解系为

（1121）T

因此I与II的公共解为xc（1121）TcR

26设n阶矩阵A满足A2AE为n阶单位矩阵,证明

R（A）R（AE）n

证明因为A（AE）A2AAA0所以R（A）R（AE）n

又R（AE）R（EA）可知

R（A）R（AE）R（A）R（EA）R（AEA）R（E）n

由此R（A）R（AE）n

27设A为n阶矩阵（n2）A*为A的伴随阵证明

证明当R（A）n时|A|0故有

|AA*|||A|E||A|0|A*|0

所以R（A*）n

当R（A）n1时|A|0故有

AA*|A|E0

即A*的列向量都是方程组Ax0的解因为R（A）n1所以方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量即基础解系的秩为1因此R（A*）1

当R（A）n2时A中每个元素的代数余子式都为0故A*O从而R（A*）0

28求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系

解对增广矩阵进行初等行变换有

与所给方程组同解的方程为

当x30时得所给方程组的一个解（81302）T

与对应的齐次方程组同解的方程为

当x31时得对应的齐次方程组的基础解系（1110）T

当x3x40时得所给方程组的一个解

（1200）T

分别取（x3x4）T（10）T（01）T得对应的齐次方程组的基础解系

1（9170）T2（1102）T

29设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3已知123是它的三个解向量且

1（2345）T23（1234）T

求该方程组的通解

解由于方程组中未知数的个数是4系数矩阵的秩为3所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量且由于123均为方程组的解由非齐次线性方程组解的结构性质得

21（23）（12）（13）（3456）T

为其基础解系向量故此方程组的通解

xk（3456）T（2345）T（kR）

30设有向量组Aa1（210）Ta2（215）Ta3（114）T及b（11）T问为何值时

（1）向量b不能由向量组A线性表示

（2）向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一

（3）向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一并求一般表示式

解

（1）当40时R（A）R（Ab）此时向量b不能由向量组A线性表示

（2）当4时R（A）R（Ab）3此时向量组a1a2a3线性无关而向量组a1a2a3b线性相关故向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一

（3）当40时R（A）R（Ab）2此时向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一

当40时

方程组（a3a2a1）xb的解为

cR

因此b（2c1）a3（3c1）a2ca1

即bca1（3c1）a2（2c1）a3cR

31设a（a1a2a3）Tb（b1b2b3）Tc（c1c2c3）T证明三直线

l1a1xb1yc10

l2a2xb2yc20（ai2bi20i123）

l3a3xb3yc30

相交于一点的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关

证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组

即

有唯一解上述方程组可写为xaybc因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由ab唯一线性表示而c能由ab唯一线性表示的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关

32设矩阵A（a1a2a3a4）其中a2a3a4线性无关a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解

解由ba1a2a3a4知（1111）T是方程Axb的一个解

由a12a2a3得a12a2a30知（1210）T是Ax0的一个解

由a2a3a4线性无关知R（A）3故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量因此（1210）T是方程Ax0的基础解系

方程Axb的通解为

xc（1210）T（1111）TcR

33设*是非齐次线性方程组Axb的一个解,12nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明

（1）*12nr线性无关

（2）**1*2*nr线性无关

证明

（1）反证法,假设*12nr线性相关因为12nr线性无关而*12nr线性相关所以*可由12nr线性表示且表示式是唯一的这说明*也是齐次线性方程组的解矛盾

（2）显然向量组**1*2*nr与向量组*12nr可以相互表示故这两个向量组等价而由

（1）知向量组*12nr线性无关所以向量组**1*2*nr也线性无关

34设12s是非齐次线性方程组Axb的s个解k1k2ks为实数满足k1k2ks1.证明

xk11k22kss

也是它的解.

证明因为12s都是方程组Axb的解所以

Aib（i12s）

从而A（k11k22kss）k1A1k2A2ksAs

（k1k2ks）bb

因此xk11k22kss也是方程的解

35设非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的秩为r12nr1是它的nr1个线性无关的解试证它的任一解可表示为

xk11k22knr1nr1（其中k1k2knr11）.

证明　因为12nr1均为Axb的解所以121231nrnr11均为Axb的解

用反证法证12nr线性无关

设它们线性相关则存在不全为零的数12nr使得

1122nrnr0

即1（21）2（31）nr（nr11）0

亦即（12nr）11223nrnr10

由12nr1线性无关知

（12nr）12nr0

矛盾因此12nr线性无关12nr为Axb的一个基础解系

设x为Axb的任意解则x1为Ax0的解故x1可由12nr线性表出设

x1k21k32knr1nr

k2（21）k3（31）knr1（nr11）

x1（1k2k3knr1）k22k33knr1nr1

令k11k2k3knr1则k1k2k3knr11于是

xk11k22knr1nr1

36设

V1{x（x1x2xn）T|x1xnR满足x1x2xn0}

V2{x（x1x2xn）T|x1xnR满足x1x2xn1}

问V1V2是不是向量空间？

为什么？

解V1是向量空间因为任取

（a1a2an）TV1（b1b2bn）TV1R

有a1a2an0

b1b2bn0

从而（a1b1）（a2b2）（anbn）

（a1a2an）（b1b2bn）0

a1a2an（a1a2an）0

所以（a1b1a2b2anbn）TV1

（a1a2an）TV1

V2不是向量空间因为任取

（a1a2an）TV1（b1b2bn）TV1

有a1a2an1

b1b2bn1

（a1a2an）（b1b2bn）2

所以（a1b1a2b2anbn）TV1

37