2014年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析Word下载.doc
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∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
3．（5分）（2014•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
34
55
78
89
程序框图；
程序框图的三种基本逻辑结构的应用．菁优网版权所有
算法和程序框图．
写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．
第一次循环得z=2，x=1，y=2；
第二次循环得z=3，x=2，y=3；
第三次循环得z=5，x=3，y=5；
第四次循环得z=8，x=5，y=8；
第五次循环得z=13，x=8，y=13；
第六次循环得z=21，x=13，y=21；
第七次循环得z=34，x=21，y=34；
第八次循环得z=55，x=34，y=55；
退出循环，输出55，
故选B
本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．
4．（5分）（2014•安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
点的极坐标和直角坐标的互化；
直线与圆的位置关系；
参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
坐标系和参数方程．
先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．
直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程为x﹣y﹣4=0；
圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，
即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．
弦心距d==＜r，∴弦长为2=2=2，
本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．
5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
或﹣1
2或
2或1
2或﹣1
简单线性规划．菁优网版权所有
不等式的解法及应用．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
作出不等式组对应的平面区域如图：
（阴影部分ABC）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，
综上a=﹣1或a=2，
D
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．
6．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（ ）
﹣
抽象函数及其应用；
函数的值．菁优网版权所有
函数的性质及应用．
利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．
∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（）=f（）
=f（）+sin
=f（）+sin+sin
=f（）+sin+sin+sin
=sin+sin+sin
=
本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
7．（5分）（2014•安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
21+
18+
21
18
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
空间位置关系与距离．
判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．
由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，
几何体的表面积为：
S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．
本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．
8．（5分）（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°
的共有（ ）
24对
30对
48对
60对
排列、组合及简单计数问题；
异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
排列组合．
利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．
正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，
同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，
不满足题意的共有：
3×
6=18．
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°
的共有：
66﹣18=48．
本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．
9．（5分）（2014•安徽）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
5或8
﹣1或5
﹣1或﹣4
﹣4或8
带绝对值的函数；
函数最值的应用．菁优网版权所有
选作题；
不等式．
分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．
＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；
﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；
x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，
∴﹣1=3或a﹣2=3，
∴a=8或a=5，
a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；
≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；
﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；
x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，
∴2﹣a=3或﹣+1=3，
∴a=﹣1或a=﹣4，
a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；
综上，a=﹣4或8．
本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．
10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
1＜r＜R＜3
1＜r＜3≤R
r≤1＜R＜3
1＜r＜3＜R
向量在几何中的应用．菁优网版权所有
平面向量及应用；
直线与圆．
不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．
∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，
不妨令=（1，0），=（0，1），
则=（+）=（，），
=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），
故P点的轨迹为单位圆，
Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，
∵|OQ|=2，
故1＜r＜R＜3，
A
本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键．
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．
11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
三角函数的图像与性质．
根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．
将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，
则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，
故答案为：
．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
12．（5分）（2014•安徽）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= 1 ．
等比数列的通项公式．菁优网版权所有
等差数列与等比数列．
设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．
设等差数列{an}的公差为d，
由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，
得：
，
整理得：
即+5a1+a1+4d．
化简得：
（d+1）2=0，即d=﹣1．
∴q==．
1．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn．若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a= 3 ．
二项式定理的应用；
二项式系数的性质．菁优网版权所有
二项式定理．
求出（1+）n的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，列出方程组，求出a的值．
（1+）n的展开式的通项为，
由图知，a0=1，a1=3，a2=4，
∴，，
，，
a2﹣3a=0，
解得a=3，
3．
本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题．
14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：
x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 x2+=1 ．
椭圆的标准方程；
椭圆的简单性质．菁优网版权所有
圆锥曲线的定义、性质与方程．
求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．
由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，
∴A点坐标为（c，b2），
设B（x，y），则
∵|AF1|=3|F1B|，
∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）
∴B（﹣c，﹣b2），
代入椭圆方程可得，
∵1=b2+c2，
∴b2=，c2=，
∴x2+=1．
x2+=1．
本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 ②④ （写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若⊥，则Smin与||无关；
③若∥，则Smin与||无关；
④若||＞4||，则Smin＞0；
⑤若||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为．
命题的真假判断与应用；
平行向量与共线向量．菁优网版权所有
依题意，可求得S有3种结果：
S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误；
进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，即S中最小为S3；
再对②③④⑤逐一分析即可得答案．
∵xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，
∴S=xiyi可能情况有三种：
①S=2+3；
②S=+2•+2；
③S=4•+．
S有3种结果：
S1=++++，
S2=+•+•++，
S3=•+•+•+•+，故①错误；
∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，
∴S中最小为S3；
若⊥，则Smin=S3=，与||无关，故②正确；
③若∥，则Smin=S3=4•+，与||有关，故③错误；
④若||＞4||，则Smin=S3=4||•||cosθ+＞﹣4||•||+＞﹣+=0，故④正确；
⑤若||=2||，Smin=S3=8||2cosθ+4=8，
∴2cosθ=1，∴θ=，
即与的夹角为．
综上所述，命题正确的是②④，
②④．
本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．
16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sin（A+）的值．
正弦定理；
两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有
综合题；
三角函数的求值．
（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；
（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+）的值．
（Ⅰ）∵A=2B，，b=3，
∴a=6cosB，
∴a=6，
∴a=2；
（Ⅱ）∵a=6cosB，
∴cosB=，
∴sinB=，
∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，
∴sin（A+）=（sinA+cosA）=．
本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．（12分）（2014•安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
离散型随机变量及其分布列；
离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
概率与统计．
（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．
（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；
以及均值．
用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，
则P（Ak）=，P（Bk）=，k=1，2，3，4，5
（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×
（）2+×
×
（）2=．
（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．
P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，
P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，
P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，
P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，
或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，
故分布列为：
X
3
4
5
P
E（X）=2×
+3×
+4×
+5×
本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．
18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
利用导数求闭区间上函数的最值；
利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
导数的综合应用．
（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．
（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，
由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，
∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；
由f′（x）＞0得＜x＜；
故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，
在（，）上单调递增；
（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，
①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，
因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f
（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．
19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：
y2=2p1x（p1＞0）和E2：
y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．
（Ⅰ）证明：
A1B1∥A2B2；
（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
向量与圆锥曲线．
（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．
由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，
设l1：
y=k1x，l2：
y=k2x．
联立，解得．
∴A1B1∥A2B2；
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，
同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此，
又，
∴．
故．
本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．
20．（13分）（2014•安徽）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．
Q为BB1的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
二面角的平面角及求法；
棱柱、棱锥、棱台的体积；
用空间向量求平面间的夹角．菁优网版权所有
（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q为BB1的中点；
（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则==，VQ﹣ABCD==ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；
（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA1==1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
∴平面QBC∥平面A1D1DA，
∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D
∴△QBC∽△A1AD，
∴=，
∴Q为BB1的中点；
连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，
设BC=a，则AD=2a，∴==，VQ﹣ABCD==ahd，
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