七年级数学第17讲识多边形Word格式.docx

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△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；

（2）六边形共有9条对角线.

【变式题组】

01．下列图形中，凸多边形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

02．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m＝______，n＝______，k＝________.

03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是.

【例２】

（1）八边形的内角和是多少度？

（2）几边形的内角和是八边形内角和的2倍？

【解法指导】

（1）多边形的内角和公式的推导：

从n边形一个顶点作对角线，可以作（n－3）条对角线，并且将n边形分成（n－2）个三角形，这（n－2）个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于（n－2）·

1800；

（2）内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和；

②已知多边形内角和，求其边数.

解：

（1）八边形的内角和为（8－2）×

1800＝10800；

（2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，

则有（n－2）×

1800＝10800×

2，解得n＝14.故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.

01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.

02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（）

A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形

03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）

A．8B．7C．6D．5

04．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，则

∠AED的度数为（）

A．1100B．1080C．1050D．1000

5.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）

A．都不变B．内角和增加1800，外角和不变

C．内角和增加1800，外角和减少1800D．都增加1800

【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？

蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为

＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×

6＝30（cm）才能回到点A．

【解法指导】多边形的外角和为3600.

（1）多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.

（2）多边形的外角和的推导方法：

由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·

n，外角和等于n·

1800－（n－2）·

1800＝3600.

（3）多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：

从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.

（4）多边形的外角和为3600的作用：

①已知各相等外角度数求多边形边数；

②已知多边形边数，求各相等外角的度数.

01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.

02．（永州）如图所示，已知△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝_____

03．（资阳）n（n为整数，且n≥3）边形的内角和比（n+1）边形的内角和少____度.

04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米.

【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:

5，求这两个多边形的边数.

【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:

5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.

设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得：

（2x－2）·

1800+（5x－2）·

1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，

故这两个多边形的边数分别为4和10.

01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________

02．若一个多边形的外角和是其内角和的

，则此多边形的边数为_____

03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的

，则这个多边形是（）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

04．内角和与其外角和相等的多边形是___________

【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（）

A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形

【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：

在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.

选C．

01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（）

A．正三角形B．正方形C．长方形D．正五边形

02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（）

A．正三角形、正方形、正六边形B．正三角形、正方形、正五边形

C．正方形、正五边形D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形

03．只用下列正多边形•能作平面镶嵌的是（）

A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形

04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；

然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；

再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；

……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（）

A．669B．670C．671D．672

【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.

【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.

因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为（n－2）×

1800＝（11－2）×

1800＝16200.

因为1200×

11＜16200＜1500×

11，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m个，1500的角有n个，则有1200m+1500n＝16200，即4m+5n＝54

此方程有唯一正整数解

，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.

01．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为0.5m，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________.

02．（黄冈）小明的书房地面为210cm×

300cm的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为（）

A．30cm×

30cm的正方形，B．50cm×

50cm的正方形，

C．60cm×

60cm的正方形，D．120cm×

120cm的正方形，

03．正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为3600，求

的值.

演练巩固·

反馈提高

01．在一个顶点处，若正n边形的几个内角的和为______，则此正n边形可铺满地面，没有空隙.

02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：

当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n2（n为正整数）块时，黑色瓷砖为______块.

03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案：

则第n个图案中白色的地板砖有______块.

04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n层有______个白色正六边形.

05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）

A．3B．4C．5D．6

06．下列不能镶嵌的正多边组合是（）

A．正三角形与正六边形B．正方形与正六边形

C．正三角形与正方形D．正五边形与正十边形

07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）

A．边长相同

B．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800

C．边长之间互为整数倍

D．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等

08．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（）

A．4B．5C．6D．8

09．[自贡（课改）]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）

A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形

10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，

（1）为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？

（2）你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形.

11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？

请说明理由.

12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：

白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图

（1）、

（2）、（3）]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）

A．n2+n+2，2n+1B．2n+2，2n+1C．4n，n2－n+3D．4n，2n+1

培优升级·

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01．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20020，则这个多边形的边数为（）

A．12B．12或13C．14D．14或15

02．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）

A．216块B．288块C．384块D．512块

03．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数等于（）

A．3600B．4500C．5400D．7200

04．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的

，那么此n边形的内角和为___________.

05．如图，已知DC∥AB，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠D＝1300，求∠B的度数.

06．如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转300，再沿直线前进10米，又向左转300，……，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______米.

07．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（）

A．6300B．7200C．8000D．9000

08．将一个宽度相等且足够长的纸条打开个结，如

（1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图

（2）所示的正五边形，ABCDE，其中∠BAC＝_________.

09．矩形ABCD的边长为16，宽为12，沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，将这两个三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m，周长最小为n，则m+n的值为（）

A．120B．128C．136D．144

10．对正方形ABCD分划如图①，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”

（1）如果设正方形OGFN的边长为1，这七块部件的各块长中，从小到大的四个不同值分别为1、x1、x2、x3，那么x1＝______；

各内角中最小内角是_____度，最大内角是_____度；

用它们拼成一个五边形如图②，其面积是_____.

（2）请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上（格点图中上下左右相邻两点距离都为1）.

（3）某合作学习小组在玩七巧板时发现：

“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”.你认为这个结论正确吗？

11．（方案设计题）我们常见到如图的图案地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.

（1）你能不能另外想一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图；

（2）请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图.

12．（俄罗斯萨温布竞赛题）如图，在凸六边形ABCDEF中，已知∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F成立，试证明：

该六边形必有两条对边是平行的.