高三统一质量检测理科数学含答案文档格式.docx

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3.右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为

A．B．C．D．

4.双曲线的渐近线方程为

A．B．C．D．

5.执行右图所示的程序框图，则输出的结果是

A．B．C．D．

6.函数图象的一条对称轴方程可以为

A．B．C．D．

7.过点作圆的两条切线，切点分别为和，则弦长

A．　　　B．　　　C．　　　D．

8.已知实数满足约束条件

，则的最小值是

A．B．C．D．1

9.由曲线，直线所围成封闭的平面图形的面积为

A．B．C．D．

10.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：

（1）对任意，；

（2）对任意，

．

关于函数的性质，有如下说法：

①函数的最小值为；

②函数为偶函数；

③函数的单调递增区间为．

其中所有正确说法的个数为

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.已知（），其中为虚数单位，则；

12.已知随机变量服从正态分布，若，为常数,则；

13.二项式展开式中的常数项为；

14.如图所示是一个四棱锥的三视图，

则该几何体的体积为；

15.已知函数

，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为.

三、解答题：

本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在中,分别是角的对边，且

.

（Ⅰ）求的大小;

（Ⅱ）若，,求的面积.

17．（本小题满分12分）

年月“神舟”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为、、、，并且各个环节的直播收看互不影响．

（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这名同学至少有名同学收看发射直播的概率;

（Ⅱ）若用表示该班某一位同学收看的环节数,求的分布列与期望．

18．（本小题满分12分）

如图几何体中，四边形为矩形，，，，，.

（Ⅰ）若为的中点，证明：

面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

19．（本小题满分12分）

已知是等差数列，首项，前项和为.令,的前项和.数列是公比为的等比数列，前项和为，且，.

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）证明：

20．（本小题满分13分）

已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为．若点满足：

，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：

是否存在两个定点，使得为定值？

若存在，求的坐标；

若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，对于，求证：

．

青岛市高三统一质量检测

数学（理科）参考答案及评分标准

本大题共10小题．每小题5分，共50分．

CACBCDADBC

11.12.13.14．15．或

本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

解：

（Ⅰ）由

得：

………………………………………………………2分

，………………………………………………………………………4分

，又

……………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由余弦定理得：

，………………………………………………………………8分

又，，……………………………10分

………………………………………………12分

解:

（Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件,

则

.…………………………………………………4分

（Ⅱ）由条件可知可能取值为.

即的分布列

…………………………………………………………………10分

的期望

.………………………12分

（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接

因为点为中点，所以为的中位线，

所以………………………………………………………………………2分

面，面，

所以面………………4分

（Ⅱ）取中点，的中点，连接，则，

所以共面

作于，于，则且

，

和全等，

，为中点，

又，，面

，面…………………………………………………………6分

以为原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，

设面的法向量

由

，令

………………………………………………………………………………8分

……………………………………………………………………………10分

设二面角的平面角为，

…………………………………12分

（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为

所以

解得，所以……………………………………………………4分

所以，

所以………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

要证，

只需证

即证：

……………………………………………………………………………8分

当时，

下面用数学归纳法证明：

（1）当时，左边，右边，左右，不等式成立

（2）假设，

则时，

时不等式成立

根据

（1）

（2）可知：

综上可知：

对于成立

………………………………………………………12分

（I）由

抛物线与直线相切，

……………………………………………………2分

抛物线的方程为：

，其准线方程为：

离心率，，

故椭圆的标准方程为…………………………………………………………5分

（II）设，，

当点在椭圆上运动时，动点的运动轨迹

的轨迹方程为：

………………………………………………………7分

由得

设分别为直线，的斜率，由题设条件知

因此…………………………………………9分

因为点在椭圆上，

故

所以，从而可知：

点是椭圆上的点，

存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为．…………………………………………………13分

（Ⅰ）函数的定义域为，．

当时，，在上为增函数，没有极值；

……………1分

当时，，

若时，；

若时，

存在极大值，且当时，

当时，没有极值；

当时，存在极大值，且当时，

…………………………………………………………4分

（Ⅱ）函数的导函数，

，，……………………………………5分

，使得不等式成立，

，使得成立，

令，则问题可转化为：

对于，，由于，

，，

，从而在上为减函数，

………………………………………………………………………………………9分

（Ⅲ）当时，，令，则，

，且在上为增函数

设的根为，则，即

当时，，在上为减函数；

当时，，在上为增函数，

由于在上为增函数，

…………………………………………………………………………14分2286426FE2濢324917EEB绫=249856199憙D

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