高二数学第三章《导数》教案Word文件下载.docx
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m）与起跳后的时间t（单位：
s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：
和的平均速度
在这段时间里，
；
探究：
计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：
如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以
，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
3.精讲点拨
平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率
2．若设,（这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样）
3．则平均变化率为
观察函数f（x）的图象
平均变化率表示什么?
f（x2）
y=f（x）
y
△y=f（x2）-f（x1）
f（x1）
直线AB的斜率
△x=x2-x1
x2
x1
x
O
例1．已知函数f（x）=的图象上的一点及临近一点,则．
解：
∴
例2．求在附近的平均变化率。
所以在附近的平均变化率为
例3．过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
4.达标检测
1.在内的平均变化率为（）
A．3B．2C．1D．0
2.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）
A．B．
C．D．
3.质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（）
4.已知，从到的平均速度是_______
5.在附近的平均变化率是____
5.归纳延伸
本节课我们主要学习了
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
6.课后作业
1.已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]
2.国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？
为什么？
3.水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器
甲中水的体积（单位：
），
计算第一个10s内V的平均变化率.
预习：
《创新导学案》导数的概念（知识梳理，牛刀小试）
【教学反思】
§
3.1.2导数的概念
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
（重点）
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
（一）平均变化率
（二）探究：
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，时的瞬时速度是多少？
考察附近的情况：
当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：
当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2导数的概念
从函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数，记作或，即
说明：
（1）导数即为函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以
例1．
（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：
先求Δf=Δy=f（１＋Δx）-f（１）=6Δx+（Δx）2
再求再求
法一定义法（略）
法二：
（2）求函数f（x）=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：
）为
，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：
一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
例3.例2已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动（位移单位：
cm，时间单位：
s），
（1）当t=2，Δt=0.01时，求.
（2）当t=2，Δt=0.001时，求.
（3）求质点M在t=2时的瞬时速度
1.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（）
Ａ．从时间到时，物体的平均速度；
Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为时物体的速度；
Ｄ．从时间到时物体的平均速度
2.在=1处的导数为（）
A．2B．2C．D．1
3.在
中，不可能（）
A．大于0B．小于0
C．等于0D．大于0或小于0
4.如果质点A按规律运动，则在时的瞬时速度为
5.若，则等于
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量；
第二步：
求平均变化率；
第三步：
取极限得导数.
1.高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度是：
（单位:
m）,求运动员在时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
2.一质量为3kg的物体作直线运动,设运动距离s（单位：
cm）与时间（单位：
s）的关系可用函数表示，并且物体的动能.求物体开始运动后第5s时的动能.
《创新导学案》导数的几何意义（知识梳理，牛刀小试）
3.1.3导数的几何意义
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f（x）在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？
（一）曲线的切线及切线的斜率：
如图3.1-2，当
沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：
⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即
（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:
1）与该点的位置有关;
2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;
如不存在,则在此点处无切线;
3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：
函数y=f（x）在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率
，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数f（x）在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f（x）的导函数.记作：
或，
即:
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数
（3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。
例1:
（1）求曲线y=f（x）=x2+1在点P（1,2）处的切线方程.
（2）求函数y=3x2在点处的导数.
（1）
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即
（2）因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即
例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数
在附近单调递减．
（3）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数
从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度（单位：
）随时间（单位：
）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．
血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：
所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率
-0.7
-1.4
1.已知曲线上一点,则点处的切线斜率为（）
A.4B.16C.8D.2
2.曲线在点处的切线方程为（）
3.在可导，则（）
A．与、都有关B．仅与有关而与无关
C．仅与有关而与无关D．与、都无关
4.若函数在处的导数存在，则它所对应的曲线在点的切线方程为
5.已知函数在处的导数为11，则
=
函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率.
即=
导数的物理意义：
如果把函数看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量表示时间），那么导数表示运动物体在时刻的速度，，即在的瞬时速度.即
而运动物体的速度对时间的导数，即称为物体运动时的瞬时加速度.
1.如图,试描述函数在=附近的变化情况.
2．已知函数的图象,试画出其导函数图象的大致形状.
课本几个常用函数的导数
3.2.1几个常用函数的导数
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
1．函数的导数
根据导数定义，因为
函数
导数
表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：
当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；
当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
5．函数的导数
（2）推广：
若，则
例1画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程.
变式1：
求出曲线在点处的切线方程.
变式2：
求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程.
利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.
例2.求曲线的斜率等于4的切线方程.
1.的导数是（）
A．0B．1C．不存在D．不确定
2.已知,则（）
A．0B．2C．6D．9
3.在曲线上的切线的倾斜角为的点为（）
A．B．C．D．
4.过曲线上点且与过这点的切线平行的直线方程是
5.物体的运动方程为，则物体在时的速度为，在时的速度为.
1.利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：
，，.
2.利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.
1.已知圆面积，根据导数定义求.
2.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么天后，氡气的剩余量为，问氡气的散发速度是多少？
《创新导学案》基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（知识梳理，牛刀小试）
3.2.2
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
五种常见函数、、、、的导数公式及应用
（一）基本初等函数的导数公式表
（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：
元）与时间（单位：
年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
根据基本初等函数导数公式表，有
（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
（6）；
（7）
【点评】
①求导数是在定义域内实行的．
②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：
元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）
（2）
净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
（1）因为
，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
（2）因为
，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
1.函数的导数是（）
2.函数的导数是（）
A．B．
3.的导数是（）
4.函数，且，
则=
5.曲线在点处的切线方程为
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.
※知识拓展
1．复合函数的导数：
设函数在点x处有导数，函数y=f（u）在点x的对应点u处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且
2．复合函数求导的基本步骤是：
分解——求导——相乘——回代．
1.求描述气球膨胀状态的函数的导数
2.已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数在点处的切线方程.
《创新导学案》函数的单调性与导数（知识梳理，牛刀小试）
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