高三数学 第80课时 导数的应用教案.docx

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高三数学第80课时导数的应用教案

2019-2020年高三数学第80课时导数的应用教案

教学目标：

理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.

（一）主要知识及主要方法：

利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:

求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数

①为增函数（为减函数）.

②在区间上是增函数≥在上恒成立；

在区间上为减函数≤在上恒成立.

极大值：

一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.

极小值：

一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.

极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.

（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>.

（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

当在点连续时，判别是极大、极小值的方法:

若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.

求可导函数的极值的步骤:

确定函数的定义区间，求导数求方程的根

用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点.

函数的最大值和最小值:

一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．

说明：

在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；

函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：

求在内的极值；

将的各极值与、比较得出函数在上的最值p

求参数范围的方法：

①分离变量法；②构造（差）函数法.

构造函数法是证明不等式的常用方法：

构造时要注意四变原则：

变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.

通过求导求函数不等式的基本思路是：

以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最（极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.

（二）典例分析：

问题1．（届云南平远一中五模）函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为

已知，的反函数为，则

（大连一模）设均是定义在上的奇函数，当时，

，且，则不等式的解集是

问题2．如果函数在区间上单调递增，并且方程的根都在区间内，则的取值范围为

（届高三浙江上虞市调研）已知，那么

在区间上单调递增在上单调递增

在上单调递增在上单调递增

函数，

（Ⅰ）求的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围.

（Ⅲ）已知当时，≥恒成立，求实数的取值范围.

问题3．（天津）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．

问题4．（湖北）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用表示，并求的最大值；（Ⅱ）求证：

≥（）．

问题5．利用导数求和：

（,）.

（）.

（三）课后作业：

已知函数，则方程在区间上的根有

个个个个

（郑州一中等四校联考）若函数在上可导且满足不等式

恒成立，且常数满足，则下列不等式一定成立的是

求满足条件的的范围：

使为上增函数，则的范围是

使为上增函数，则的范围是

使为上增函数，则的范围是

证明方程在上至多有一实根.

（届高三陕师大附中八模）如果是二次函数,且的图象开口向上,

顶点坐标为,那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是

（届厦门双十中学高三月考）如图，是函数

的大致图像，则等于

（天津）函数的定义域是开区间,

导函数在内的图象如图所示，则函数

在开区间内有极小值点

个个个个

（届高三哈尔滨第三中学第一次月考）

函数的图象如图所示，

且，则有

已知：

，证明不等式：

设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间

（届高三福建质检）已知函数在处取得极值．求实数的值；若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；证明：

对任意的正整数，不等式都成立．

（四）走向高考：

（陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足≤．

对任意正数，若，则必有

≤≤≤≤

（江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有≥，则的最小值为

（全国）函数在下面哪个区间内是增函数

（重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则

（全国）已知是正整数且，求证：

（重庆）已知函数

在处取得极值，其中为常数．（Ⅰ）试确定的值；（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

（海南）设函数

（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

（全国Ⅰ）设函数．

（Ⅰ）证明：

的导数；

（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．

（全国Ⅱ文）若函数

在区间内为减函数，在区间内为增函数，试求实数的取值范围.

2019-2020年高三数学第81课时第十四章复数教案

教学目标：

了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义；掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算；了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想

（一）主要知识及主要方法：

虚数单位:

它的平方等于，即　;

实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

与－1的关系:

就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是.

的周期性：

,,.

复数的定义：

形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示

复数的代数形式:

复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.

复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：

对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数

复数集与其它数集之间的关系：

两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，，，，那么,

复平面、实轴、虚轴：

复数与有序实数

对是一一对应关系.建立一一对应的关系.点的横坐标是，

纵坐标是，复数可用点表示，这个

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，

轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

复数复平面内的点

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

复数与的和的定义：

复数与的差的定义：

复数的加法运算满足交换律:

复数的加法运算满足结合律:

乘法运算规则：

设，（、、、）是任意两个复数，那么它们的积

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

乘法运算律：

（1）

复数除法定义：

满足

的复数（、）叫复数除以复数的商，记为：

或者

除法运算规则：

①设复数（、），除以（，），其商为（、），

即∵

∴

由复数相等定义可知解这个方程组，得

于是有:

②利用于是将的分母有理化得：

原式

.

∴（

点评：

①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法.

共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

（二）典例分析：

（全国Ⅰ）设是实数，且是实数，则

（全国Ⅱ）设复数满足，则

（北京）

（福建）复数等于

（安徽）若为实数，，则等于

（天津）是虚数单位，

（四川）复数的值是

（江西）化简的结果是

（湖南）复数等于

（湖北）复数，且，若是实数，则有序实数对可以是（写出一个有序实数对即可）

（上海，）对于非零实数、，以下四个命题都成立：

①；②；

③若，则；④若，则．

那么，对于非零复数、，仍然成立的命题的所有序号是

（重庆）复数的虚部为

（浙江）已知复数，，则复数

（上海）若复数同时满足－＝，＝（为虚数单位），则＝

（浙江）已知，其中、是实数，是虚数单位，则

（湖北）设、为实数，且，则

（福建）设则复数为实数的充要条件是（）

（江西）已知复数满足，则＝

（全国Ⅰ）如果复数是实数，则实数

（四川）复数的虚部为

.

（重庆）复数的值是