完整word版四边形全章知识点与常见题型总结讲解良心出品必属精品docWord格式.docx
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由于菱形的对角线互相垂直平分
SSABDSCBD
BD（OAOC）BDAC
3
A
BD
C
也可以用平行四边形的面积计算公式=底高
17.正方形的定义
一组邻边相等的矩形叫做正方形
正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱
形
18.正方形的性质
正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质
①边:
四边相等,对边平行
②角:
四个角都是直角
③对角线:
互相平分;
相等;
且垂直;
每一条对角线平分一组对角,即正
方形的对角线与边的夹角为45
④正方形是轴对称图形,有四条对称轴
19.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征②菱形+矩形的一条特征
③平行四边形+一个直角+一组邻边相等
说明一个四边形是正方形的一般思路是:
先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;
或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形
20.正方形对角线产生的三角形特点
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形
21.正方形常用的辅助线添加方法
①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题
②有垂直时做垂线构造正方形
③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用
④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解
决问题创造条件
22.平行四边形,菱形,矩形,和正方形四者之间的关系
一组邻边相等菱形
平行四边形
对角线相等
正方形
矩形
一个内角为直角对角线垂直
23.梯形定义:
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底:
梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做
上底,较长的底叫做下底
梯形的腰:
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰
梯形的高:
梯形两底之间的距离叫做梯形的高
等腰梯形:
两腰相等的梯形
直角梯形:
一腰垂直于底的梯形
24.梯形的判定
5
①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行
②一组对边平行但不相等的四边形是梯形
25.等腰梯形的性质①两底平行,两腰相等②等腰梯形在同一底上的两个角相等③等腰梯形的两条对角线相等
④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴
26.等腰梯形的判定
①两腰相等的梯形是等腰梯形
②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:
对角线相等的梯形
是等腰梯形）
27.梯形的面积
面积=（上底+下底）×
高÷
28．三角形中位线：
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
梯形中位线：
连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线．梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
梯形辅助线的添法
6
（中点
图
一）（图二）
（图三）
（图四）（图五）
（图六）
7
中点
（图七）
（图八）
基础题型
1．如图在平行四边形ABCD中，A:
B5:
3，求这个平行四边形各内
角的度数
解：
四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC，AB180
由于
A:
B
5:
故设
A5x
，则B3x
即5x
3x180
解得x
22.5因此A522.5
112.5，B3
22.567.5
平行四边形各内角度数分别是
112.5，67.5
，112.5，67.5
２．已知平行四边形ABCD的周长为38cm，AC，BD相交于O，且AOB
8
的周长比BOC的周长小于3cm，如图，求平行四边形ABCD各边的长
四边形ABCD为平行四边形
OAO，ABCD，BCAD
AOB的周长＝OAOBAB
BOC的周长＝OCOBBC
且AOB的周长比
BOC的周长小于
3cm
（OC
OB
BC）
（OA
A3B
又平行四边形ABCD的周长为38cm
BCAB19
AB
cm，BC
11
cm
CD
cm，AD
３．如图，已知：
在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AEBD于E，
CFBD于F
求证：
AECF
F
E
证明：
方法一：
AB∥CD，ABCD
ABECDF
AEBD，CFBD
AEBCFD
ABECDF（AAS）
AECF
9
OF
方法二：
连接AC，交BD于O
四边形ABCD是平行四边形
OAOC，又AEBD，CFBD
AEOCFO，而AOECOF
AEOCFO（AAS）AECF
４．如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AC，CA延长线上的点，且CEAF，则BF与DE具有怎么样的位置关系？
试说明理由
B
BF∥DE
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，ABCD，
BACDCA
BACBAF180，ACDDCE180
BAFDCE
又AFCEAFBCED（SAS）
方法二．连接BD，交AC于O
在平行四边形ABCD中，AOCO，BODO
AFCEOFOE
FOBEODBOFDOE（SAS）
FEBF∥DE
10
FF
ADAD
OO
CC
BB
EE
方法三．连接BD，交AC于O，连接DF，BE
由方法二知．OFOE，OBOD
四边形BEDF为平行四边形
BF∥DE
５．如图，已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，AC38cm，BD24cm，AD14cm，那么OBC的周长为＿＿＿＿＿
DC
AB
根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知
BCAD14cm，OB
24
BD
12cm，OCAC
3819cm
OBC的周长为BC
OC
14
121945cm
６．如图平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于O，则
该图形中的平行四边形的个数共有（）
Ａ．7Ｂ．8Ｃ．9Ｄ．10
DH
G
由题意可知图中的平行四边形分别是：
DEOH，EAGO，HOFC，OGBF，
DAGH，HGBC，DEFC，EABC，DABC所以共有9个
７.如图，平行四边形ABCD中，AF平分DAB交CD于N，交BC的延长线于F，DEAF，交AB于M，交CB延长线于E，垂足为O，试证明：
BECF
D
MO
N
EBCF
AD∥B，AB∥CD，AB
AF，ADE
E，EDC
AMD
DE
A，
AOM
AOD90
AF平分DAB，
DAF
BAF
OA
AOD（ASA）
ADM
A，MBAF
F，EDC
B，CD
CE
BF
CBE
８．如图，已知：
D，E，F分别在ABC的各边上，DE∥AF，DEAF，
延长FD到G，使FG2FD．求证：
AG与DE互相平分．
12
AA
BCBC
DD
GG
连接AD，EG
D∥EA，FDEAF
四边形AEDF是平行四边形
DF
A，DF∥AE
又FG
2FD
DG
DF
FG
AE，而DF∥AE
四边形AEGD为平行四边形
AG与DE互相平分
９．如图，已知D是ABC的边AB的中点，E是AC上的一点DF∥BE，
EF∥AB试说明：
AE与DF互相平分
连接AF，DE
DF∥BE，EF∥AB
四边形BDFE为平行四边形，EFBD
D是AB中点
13
BDAD
ADEF，AD∥EF四边形ADEF为平行四边形
AE与DF互相平分
10．如图，点M
，N分别在平行四边形
ABCD的边
BC，AD上，且BM
DN，
ME
BD，
NF
BD，垂足分别为
E，
F，求证：
MN
与EF
互相平分
NN
MM
连接EN，MF
BC∥AD，
CBD
ADB
MEF
NFE
90，
MEB
NFD
90
ME∥NF
BM
DN
BME
DNF
（AAS）
四边形EMFN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形）
MN与EF互相平分
11．如图，AF与BE互相平分，交点为M，EC与DF互相平分，交点为
N，那么，四边形ABCD是平行四边形么？
你是怎么判定的？
MNMN
ABAB
连接AE，BF，EF，DE，CF
AF与BE互相平分
四边形ABFE是平行四边形
EF∥AD，EFAD
EC与DF互相平分
四边形BCEF是平行四边形
EF∥BC，EFBC
ADBC，AD∥BC
15
12.如图，已知BE,CF是ABC的高，D是BC的中点．求证：
DEDF
BE，CF是ABC的高，
BFC，BEC均为直角三角形
D是BC的中点
是Rt
BFC斜边上的中线，
DE
是RtBEC斜边上的中线
B，CDE
BC
13.如图，先将矩形纸片ABCD对折一次折痕为EF，展开后又将纸片折
叠使点A落在EF上，此时折痕为BM，求NBC度数的大小
提示：
根据题意得
AEBE
DFFCCD
BN
过点N作NG
BC，垂足为G
则NG
1BN，
NBC
30（直角三角形中
30角所对的直角边等于
斜边的一半，反过来也成立）
14.过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF
AC分别交AB，DC于E,F，
16
点G为AE的中点，若AOG
30，求证：
OG
1DC
AGEBAGEB
连接CE
四边形ABCD是矩形
OAOC
EFAC
EF是线段
AC的垂直平分线
EA
EC
AOG
30
ACB
60，
OCE
BCE
BE
1EC
G是
AE中点
OG
AG
GE
1AE
1CE
OG
AG
GE
15.在矩形ABCD，AB6,
痕为EF，在展开，求折痕
BC8，将矩形折叠，使点
EF的长
C与点
A重合，折
AB6,BC8
由勾股定理可得AC
根据题意有AF
CF，设AFCFx，BF
8x
17
由勾股定理AB2
BF2
AF2，即62
（8
x）2
x2
25
FC
SAFCECFAB
75，SAFCE
AC
EF
EF（提示：
对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积
的一半）
16．已知：
如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分BAD，
AOD120，求AEO的度数
答案：
提示ABE为等腰直角三角形，
OAB为
等边三角形，
OBE为等腰三角形
OBE30，OEB75，
OEA7545
17.如图，MN
为过RtABC的直角顶点A的直线，且BD
MN于D，CEMN
于点E，AB
AC，F为BC的中点，求证：
DF
M
连接AF
ABC为直角三角形，F为斜边BC的中点
BFAF
CF
BAC
BAM
NAC
，CE
DBA
BDA
AEC90
18
EAC，又
EAC（AAS）
DB
AE
AC，BAC
90，F为BC的中点
ABC
FAC
45
CAF
CAN，即DBF
FAE
又DB
AE，AF
BF
DBFEAF
（SAS）DFEF
总结：
在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线
以及中位线
18．如图E是菱形ABCD边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F，
交AB于G，求证：
AB与EF互相平分
AEAE
GHGH
四边形
ABCD是菱形
BAC
ACEG，AH
AH
AHE
AHG（ASA）
AEAG
AD
AD∥BC
AEG
BGF
AGE
BGF（AAS）
EG
FG，AG
GB
即AB与EF互相平分
连接AF，BE
由AE
得AGE
AEG
BFG，则AEAGBGBF
AD，AG
AE∥BF且AE
四边形AFBE为平行四边形
AB与EF互
19
第
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相平分
19．如图，在ABC中，ACB90，AD是A的平分线，交BC于点D，
CH
是
AB边上的高，交
AD于
F，DE
AB于E．求证：
CDEF
是菱
HE
AD是
A的平分线
CAD
90，CH
CAD
CDA
90，FAH
AFH
CDA
CFD
AFAFH
CCFCD
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