高考文科数学《数列》题型归纳与训练.docx
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高考文科数学《数列》题型归纳与训练
2020年高考文科数学《数列》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一
等差数列的基本运算
例1
（1）等差数列{an}的首项为
1，公差不为
0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（
）
A．24
B
．3
C
．3
D
．8
（2）设{an}为等差数列，公差d
2,
Sn为其前n项和，若S10
S11，则a1
（
）
A
．18
B
．20
C
．22
D．24
（3）设等差数列{
an
}的前n
项和为
Sn
，
Sm1
＝－，
＝
，
Sm1
＝，则
m
＝（
）
2Sm
0
3
A．3
B
．4
C
．5
D．6
（4）等差数列{a
}前9项的和等于前
4项的和．若a
1，a
k
a
0，则
k
=_____．
n
1
4
【答案】
（1）A
（2）
B（3）
C
（4）10
【解析】
（1）设{an}的公差为d（d
0），由a32
a2a6，得（1
2d）2
（1
d）（1
5d），
所以d
2，S6
61
6
5
（2）
24．选A．
2
（2）由S10
S11，得a11
S11
S100，a1
a11
（1
11）d
0（
10）
（2）20．
（3）有题意知Sm
=m（a1
am）
0，∴a1=
am=
（Sm
Sm
1）=
2，
2
am1=
Sm1
Sm
3，∴公差d=am1
am=1，∴3=am1=
2
m，∴m
5，故选C.
（4）设{an}的公差为d，由S9
S4及a11，
得91
9
8d
41
4
3d
，所以d
1
．又ak
a4
0，
2
2
6
所以[1
（k
1）（
1）]
[1
（4
1）（
1）]
0，即k
10．
6
6
【易错点】等差数列求和公式易记错
【思维点拨】等差数列基本运算的解题方法
（1）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体
1
现了用方程的思想来解决问题．
（2）数列的通项公式和前
n项和公式在解题中起到变量代换作用，而
a1和d是等差数列的两个基本量，用
它们表示已知和未知是常用方法．
题型二等差数列的判定与证明
例1在数列a
中，若a
2，已知
2an112an
，则数列a
n
前
10
项的和为______.
n
1
【答案】5
2
an1
1
，S10
10a1
45d
20
45
5
【解析】由已知可得
an
2
2
2
例2已知数列an
满足a1
1,an
1
2n
1ann（n
N）
an
2
（1）证明数列
2n
为等差数列；
an
（2）求数列an
的通项公式.
【答案】见解析
【解析】
（1）2n1
2n
an
2n
2n
1，所以数列
2n
是首项为
2，公差为1的等差数列.
an1
an
an
an
an
（2）由
（1）知2n
2
n
1
n1，所以an
2n
.
an
n
1
例3若数列an
的前n项和为Sn，且满足an
2SnSn1
0n
2
，a1
1
.
2
（1）求证：
1成等差数列；
Sn
（2）求数列an的通项公式.
【答案】见解析
【解析】
（1）证明
当
n2时，由an
2SnSn1
0，
得Sn
Sn1
2SnSn1
，所以
1
1
2，故
1是首项为2，公差为2的等差数列.
Sn
Sn1
Sn
（2）解
由
（1）
可得1
2n，∴Sn
1
.
Sn
2n
2
当n
1时，a1
1
当n2时，
an
1
.
不适合上式.
SnSn1
2
2nn
1
1
1
n
故an
2
1
n
2
2nn
1
【易错点】忘记写：
当n
2时或者不知道使用：
an
Sn
Sn1
【思维点拨】等差数列的证明方法：
（1）定义法：
an1
an
d（n
N
）或an
an1
d
（n
N,n2）
an为等差数列.
（2
）等差中项法：
2an1
an
an2
nN
an
为等差数列.
（3
）通项法：
an
An
B（A,B为常数）
an
为等差数列.
（4
）前N项和法：
Sn
An2
Bn（A,B为常数）
an
为等差数列.
题型三
等差数列前
n项和及其最值
例1
（1）等差数列
an
的前n项和为Sn，已知a1
13，S3
S11，当Sn最大时，n的值是（）
A.5
B.6
C.7
D.8
（2）若等差数列
an
满足a7
a8a9
0，a7
a10
0，则当n
__时an
的前n项和最大．
【答案】
（1）C
（2）
8
【解析】
（1）由S3
S11，根据等差数列的性质，可得
a7
a8
0.根据首项等于
13可推知这个数列递减，
从而得到a7
0，a8
0
，故n7时Sn最大.
（2）∵数列
a
是等差数列，且a7
a8a9
3a80，a8
0．又
n
a7
a10
a8
a9
0，∴a9
0．当n8
时，其前n项和最大．
【易错点】求最值的时候计算出错，以及去掉绝对值求和时也易出错。
【思维点拨】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：
（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
（3）将等差数列的前n项和SnAn2Bn（A,B为常数）看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.
3
题型四
等比数列的基本运算
例1
（1）等比数列{an}满足a13，a1
a3
a5
21，则a3
a5
a7=（
）
A．21
B
．42
C
．63
D
．84
（2）等比数列
an
的前n项和为Sn，已知S3
a2
10a1，a5
9，则a1=（
）
A．1
B
．1
C．1
D
．
1
3
3
9
9
（3）已知数列
an
为等比数列，Sn是是它的前n项和,若a2a32a1，且a4
与2a7的等差中项为
5，
4
则S5
（
）
A．35
B
．33
C
．3l
D
．29
（4）设sn为等比数列{an}的前n项和，8a2
a5
0
则S5
（
）
S2
A．－11
B
．－8
C
．5
D
．11
【答案】
（1）B
（2）
C
（3）
C
（4）A
【解析】
（1）由于a1（1+q2+q4）=21，a1=3，所以q4
+q2-6=0，所以q2
=2
（
q2=-3舍去），所以a3=6，a5=12，a7
=24
，所以a3+a5+a7=42．
（2）设等比数列
an
的公比为q，∵S3
a2
10a1，∴a1
a2
a3
a2
10a1，
即a3
9a1，∴q2
9，由a59，即a1q4
9，∴a1
1．
9
（3）设
an的公比为q，则由等比数列的性质知，
a2
a3
a1a4
2a1，
即a4
2．由a4与2
a7的等差中项为
5知，a4
2a7
2
5
，
4
4
a7
1（2
5
a4）
1．∴q3
a7
1，即q
1．a4
a1q3
a1
1
2，
2
4
4
a4
8
2
8
4
16（1
15）
a116，S5
2
31．
1
1
2
（4）通过8a2a50，设公比为
q，将该式转化为8a2
a2q3
0，
解得q=－2，所以S5
1
q5
1
32
11．
S2
1
q2
1
4
【易错点】等比数列求和公式易记错
【思维点拨】等比数列基本运算的解题方法
（1）等比数列的通项公式及前
n项和公式，共涉及五个量
a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体
现了用方程的思想来解决问题．
（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而
a1和q是等比数列的两个基本量，用
它们表示已知和未知是常用方法．
题型五
等比数列的判定与证明
例1已知数列
an满足a1=1，an1
3an
1．证明an
1是等比数列，并求
an的通项公式；
2
【答案】
见解析
【解析】由an1
3an1得an
1
1
3（an
1）．
2
2
又a1
1
3
，所以an
1
是首项为
3，公比为3
的等比数列．
2
2
2
2
1
3n
3n
1
an
，因此an的通项公式为an
．
2
2
2
【易错点】等比数列的定义证明方法
【思维点拨】证明一个数列为等比数列常用方法：
（1
）定义法：
an1
q（常数）（n
N
）或an
q（常数）（nN,n2）
an为等比数列.
an
an1
（2
）等比中项法：
an
2
anan2n
N
an
为等比数列.
1
（3
）通项法：
an
a1
qn1
a10,q
0
an
为等比数列.
5
题型六
等差数列等比数列求前
n项和
例1在等比数列{an}中，a2
3,a581.
（1）求an；
（2）设bn
log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】见解析
a1q
3
a1
1
n1
【解析】
（1）设{an}的公比为q，依题意得
，解得
q
，因此，an
3
.
a1q4
81
3
（2）因为bnlog3ann
1，∴数列{bn}的前n项和Sn
n（b1bn）
n2
n
2
2
.
例2
已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1
b11，a2
a4
10，
b2b4
a5
（1）求{an}的通项公式；
（2）求和：
b1b3b5b2n1.
【答案】见解析
【解析】（
1）设{an}的公差为d，由a1
1，a2
a410，得d
2，所以an
2n1.
（2）由（
1）知a5
9.设{bn}的公比为q，由b1
1，b2b4
a5，得，所以q2
3，
所以b2n
1
是以b1
1为首项，q
q2
3
为公比的等比数列，
所以b1
b3b5
11
3n
3n
1
b2n1
3
2
.
1
【易错点】等比数列求和时项数的确定
【思维点拨】
（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.
（2）通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.
题型七分组转化法求和
例1在等差数列an中，a24，a4a715．
（1）求数列an的通项公式；
（2）设bn2an2n，求b1b2b3b10的值．
6
【答案】见解析
【解析】
（1）设等差数列
an
的公差为d．由已知得
a1
d4
a1
3
a1
3d
，解得
d
．
a16d15
1
所以an
a1
n1dn2nN*．
（
2
）由（
）可得
bn
2n
n，
1
所以bbb
b
21
22
2
23
3
210
10
1
2
3
10
2
22
23
210
1
2
3
10
21
210
1
10
10
211
2
55
211
53
2101
.
1
2
2
【易错点】通项求错以及等比数列的求和公式记错
【思维点拨】若数列cn
的通项公式为cn
an
bn，且an
，bn为等差或等比数列，可采用分组求和法
求数列cn的前n项和.
题型八裂项相消法求和
例1
已知等差数列
an
满足：
a
7
，
a
a
26
，
an
的前
n
项和为Sn．
3
5
7
（1）求an及Sn；
（2）令
bn
1
n
N
，求数列
b
的前n项和Tn．
an
2
1
n
【答案】
（1）an
2n
1
Snn2
2n
（2）Tn
n
4n1
【解析】略
【易错点】裂项时易出错，解不等式时也易出错
【思维点拨】
（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前
面剩两项，后面也剩两项.
（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等
.
7
【巩固训练】
题型一等差数列的基本运算
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3
S2
S4，a1
2，则a5
（
）
．
12
．
10
．10
．
12
A
B
C
D
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵3S3
S2
S4，∴3S3
S3
a3
S3
a4，
∴S3
a4
a3，∴3a1
32d
d，
2
∵
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