圆周角定理练习题.docx

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圆周角定理练习题

1．

2．

圆周角定理》练习题

．选择题（共16小题）

如图，A、B、C三点在⊙O上，A．152°B．76°C．38°如图，⊙O是△ABC的外接圆，A．30°B．35°C．40

若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（D．14°

∠ACO=45°，则∠B的度数为（D．45

）个．

如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（

A．1B．2C．3D．4

4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠

A．25°B．30°C．40°

5．如图，已知在⊙O中，点

B．140°C．

3．

C=25°，则∠BOD的度数是（

D．50°

）

）

第4题图

6．如图，MN是⊙O的直径，

A．50°B．40°C．30°

7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为）B．50°C．60°D．70

PBN=50°，则∠MAP等于（

D．20°

A．130°

A．40°

8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）

9．如图，AB是⊙O的直径，A．25°B．30°

10．如图，∠1、∠2、∠3、

A．∠4<∠1<∠2<∠3

C．∠4<∠1<∠3∠2

11．如图，AB是半圆O的直径，

C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）

C．35°D．50°

∠4的大小关系是（）

B．∠4<∠1=∠3<∠2

D．∠4<∠1<∠3=∠2

∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（C．60°D．90°

）

12．如图，在⊙

A．15°13．在⊙O中，

A．42°14．如图所示，的度数等于（

A．90°

15．已知如图，

A．60°

第11题图

O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（

B．20°C．25°D．50

点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（

B．84°C．42°或138°D．84°或96°

在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠）

B．60°C．45°

AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，

B．50

C．40°

D．30°

∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（D．

30°

ABD

16．如图，AB是圆的直径，

A．30°B．

AB⊥CD，∠BAD=30°，

50°C．60°

则∠

第12题图

AEC的度数等于（）

D．70°

二．填空题（共8小题）

17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于

第17题图

第18题图

第19题图

18．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点，则∠C=°．

第20题图第21题图第22题图

21．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为cm．

22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同

样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：

第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．

三．解答题（共16小题）

25．28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．

26．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．

27、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：

HD=GD．

28．已知：

如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°

（1）求∠EBC的度数；

2）求证：

BD=CD．

29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．

32．如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：

AD=BD．

求证：

33．如图，已知：

AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．M是弧AB的中点．

35．已知：

如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：

BE=CF．

37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，

EC⊥CD，交BD于点F．问：

AD与BF相等吗为什么

38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：

∠FCD=∠ACE．

39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．

40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．

41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系为什么

42．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等为什么

43．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：

D是AB的中点．

44．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于

G，F，E点．

求证：

（1）F是BC的中点；

（2）∠A=∠GEF．

45．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：

CH=CP，AP=BH．

圆周角定理》22

参考答案与试题解析

A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（

解答】解：

∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC，又∵∠BOC=7°6，

∴∠A=76°×=38°．

故选C．

2．（2015眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）

A．30°B．35°C．40°D．45°【解答】解：

∵OA=OC，∠ACO=4°5，∴∠OAC=4°5，

∴∠AOC=18°0﹣45°﹣45°=90°，

）个．

3．（2010秋海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（

【解答】解：

∠

1和∠3符合圆周角的定义，

A．1B．2C．3

D．4

∠2顶点不在圆周上，

∠4的一边不和圆相交，故图中圆周角有∠1和∠3两个．

故选B．

4．（2015珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）

A．25°B．30°C．40°D．50°

【解答】解：

∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，

∴∠DOB=2∠C=50°．

故选：

D．

∠AOB=80°，则∠ACB等于（

5．（1997陕西）如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，

C．145°D．150°

【解答】解：

设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠AOB=8°0

∴∠ACB=18°0﹣∠E=140°．故选：

B．

6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）

A．50°B．40°C．30°D．20°

【解答】解：

连接OP，

可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP，

∵MN为直径，

∴∠MOP+∠NBP=18°0，

∴∠MAP+∠NBP=90°，

∵∠PBN=50°，

∴∠MAP=9°0﹣∠PBN=40°．

故选B．

7．（2007太原）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC

A．40°B．50°C．60°D．70

【解答】解：

∵∠ABD=20°

∴∠C=∠ABD=20°

∵CD是⊙O的直径

∴∠CAD=9°0

∴∠ADC=9°0﹣20°=70°．故选D．

∠ABC=50°，则∠DAB等于（）

8．（2013苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，

∴∠D=∠BOC=2°5．故选A．

10．（2013秋沙洋县校级月考）如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（

A．∠4<∠1<∠2<∠3B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2D．∠4<∠1

<∠3=∠2

【解答】解：

如图，利用圆周角定理可得：

∠1=∠3=∠5=∠6，

根据三角形的外角的性质得：

∠5>∠4，∠2>∠6，

∴∠4<∠1=∠3<∠2，故选B．

11．（2012秋天津期末）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【解答】解：

连接BC，

∵AB是半圆的直径

∴∠ACB=90°

∵∠BAC=60°，

∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，

∴∠D=∠ABC=30°．

故选A．

12．（2009塘沽区二模）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）

∴，

∴∠ADB=∠AOC=2°5．

故选C．

A．90°B．60°C．45°D．30°

【解答】解：

连接AD，

∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵CD是∠ACB的角平分线，

∴=，∴AD=BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°．

故选C．

15．（2015秋合肥校级期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）

A．60°B．50°C．40°D．30°

【解答】解：

连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠A=∠CDB=4°0，

∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．

故选B．

16．（2013万州区校级模拟）如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）

A．30°B．50°C．60°D．70

【解答】解：

∵∠BAD=30°，

∴=60°，

∵AB是圆的直径，AB⊥CD，

∴==60°，∴=180°﹣60°=120°，

∠AEC==

×120°=60

故选C．

二．填空题（共8小题）

17．（2016大冶市模拟）如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD

【解答】解：

∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，

∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，

∴∠DOE=4°0，答案为40°．

18．（2015历城区二模）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠

∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，

∴∠ABD=∠CBD，

而∠ABC=50°，

∴∠ABD=×50°=25°，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故答案为65°．

19．（2013秋滨湖区校级期末）如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上

不与A、B重合的任意一点，则∠C=130°．

【解答】解：

在优弧AB上取点D，连结AD、BD，如图，

∴∠D=∠AOB=×100°=50°，

∵∠D+∠C=180°，

∴∠C=180°﹣50°=130°．

故答案为130．

20．（2008秋苏州校级期中）球员甲带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：

第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．

【解答】解：

连接OC．根据圆周角定理，得∠PCQ=∠B，根据三角形的外角的性质，得∠PCQ>∠A，则∠B>∠A．

故答案为第二种．

解答】解：

连接OA，OB，∵∠ACB=30°，

∴∠AOB=6°0，

∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2cm，∴⊙O的直径=4cm．

22．（2014春海盐县校级期末）如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是

∴∠AOB=6°0，

∴∠APB=∠AOB=3°0，∴∠AP′B=180﹣°∠APB=150°，即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．故答案为60°；是30°或150°．

23．（2012义乌市模拟）如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为2cm．

解：

连接AD，

∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，

∴∠DEC=∠B，

又等腰△ABC，BC为底边，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠DEC=∠C，

∴DE=DC，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∴BD=CD=BC，又BC=4cm，

∴DE=2cm．

故答案为：

2

24．（2012秋哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：

第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式．

【解答】解：

设AP与圆的交点是C，连接CQ；则∠PCQ>∠A；

由圆周角定理知：

∠PCQ=∠B；所以∠B>∠A；因此选择第二种射门方式更好．故答案为：

第二．

三．解答题（共16小题）

25．（2009沈阳模拟）如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．

求证：

HD=GD．

【解答】证明：

∵∠C=∠G，△ABC的高AD、BE，

∴∠C+∠DAC=9°0，∠AHE+∠DAC=9°0，

∴∠C=∠AHE，

∵∠AHE=∠BHG=∠C，

∴∠G=∠BHG，

∴BH=BG，

又∵AD⊥BC，

∴HD=DG．

26．（2013秋虞城县校级期末）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点

P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．

【解答】解：

△ABC为等边三角形．理由如下：

∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，∴弧AC=弧BC，

∴AC=BC，又∵∠BPC=∠A=60°，∴△ABC为等边三角形．

∵∠BAC=40°，

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EBC=90°﹣∠C=20°；证明：

连结AD，如图，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

28．（2014秋高密市期中）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．

【解答】解：

如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．

∴AB===10（cm）．

∵AC=6cm，BC=8cm，

∵CD是∠ACB的平分线，

∴∠ACD=∠BCD，则=，

29．（2013秋宜兴市校级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．

解答】解：

作直径CD，连结BD，如图，CD为直径，

∠CBD=9°0，

∠D=∠A=30°，

CD=2BC=2×3=6，

⊙O的半径为3cm．

30．（2010秋瑞安市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．

1）求证：

AE=CE；

2）已知AG=10，ED：

AD=3：

4，求AC的长．

【解答】

（1）证明：

∵点C是弧AF的中点，

∴∠B=∠CAE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

即∠ACE+∠BCD=9°0，

∵CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD=9°0，

∴∠B=∠CAE=∠ACE，

∴AE=CE⋯（6分）

（2）解：

∵∠ACB=90°，

∴∠CAE+∠CGA=9°0，

又∵∠ACE+∠BCD=9°0，

∴∠CGA=∠BCD，

∵AG=10，

∴CE=EG=AE=，5

∵ED：

AD=3：

4，

∴AD=4，DE=3，

∴AC=⋯（10分）．

31．（2015秋扬中市期中）如图，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．

（1）求证：

BE=CM．

（2）求证：

AB﹣AC=2BE．

【解答】证明：

（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，

∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，

∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，

，

∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．

（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中

∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），

∴AE=AM，

∴AB﹣AC，

=AE+BE﹣AC，

=AM+BE﹣AC，

=AC+CM+BE﹣AC，

=BE+CM，

=2BE．

32．（2013宁夏模拟）如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：

AD=BD．

【解答】证明：

连结OD，如图，

∵OA为⊙C的直径，

∴∠ADO=9°0，

∴OD⊥AB，

∴AD=BD．

33．（2011秋宁波期中）如图，已知：

AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：

M是弧AB的中点．

【解答】解：

连接OM∵OD=OM，

∴∠ODM=∠OMD，∵DM平分∠ODC，∴∠ODM=∠CDM，∴∠CDM=∠OMD，∴CD∥OM，∵CD⊥AB，∴OM⊥AB，

∴弧AM=弧BM，即点M为劣弧AB的中点．

34．（2009秋哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：

∠ACD=∠BCE．

【解答】解：

连接AE，

∵CE为直径，

∴∠EAC=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠AEC，

∵CD是高，D是垂足，

∴∠BCD=9°0﹣∠B，

∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），

∴∠ACE=∠BCD，

∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，

∴∠ACD=∠BCE．

35．已知：

如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：

BE=CF．

解答】证明：

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE=90°，

∴∠E+∠BAE=90°，∵AF⊥BC于D，

∴∠FAC+∠ACB=90°，

∵∠E=∠ACB，

∴∠BAE=∠FAC，∴弧BE=弧CF，∴BE=CF．

36．（2015秋哈尔滨校级期中）已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：

AC=AB．

【解答】证明：

连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

∵弦BE=DE，

∴=，

∴∠DAE=∠BAE，

∵∠C=90°﹣∠DAE，∠B=90°﹣∠BAE，∴∠B=∠C，∴AC=AB．

37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：

AD与BF相等吗为什么

解答】解：

AD和BF相等．理由：

如图，

连接AC、BC，

∵OC⊥AB，

∴∠BOC=9°0

∴∠BDC=∠BAC=45°

∵EC⊥CD，

∴∠DCE=∠ACB=90°，

∴△DCF和△ACB都是等腰直角三角形，

∴DC=FC，AC=BC，

∵∠DCA+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，

∴∠DCA=∠FCB

在△ACD和△BCF中，

｛，∴△ACD≌△BCF

∴DA=BF．

38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：

∠FCD=∠ACE．

【解答】证明：

连接AD，AE，

∵AB是直径．AB⊥DE，

∴A