高中数学步步高大一轮复习讲义文科第一章 11.docx

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高中数学步步高大一轮复习讲义文科第一章11

§1.1　集合的概念与运算

1．集合与元素

（1）集合元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N＋（或N*）

Z

Q

R

2．集合间的关系

（1）子集：

对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B（或B⊇A）．

（2）真子集：

若A⊆B，且A≠B，则AB（或BA）．

（3）空集：

空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B（B≠∅）．

（4）若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．

（5）集合相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

3．集合的运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形

符号

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

4．集合的运算性质

并集的性质：

A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

交集的性质：

A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

补集的性质：

A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A.

1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（2）{1,2,3}＝{3,2,1}．（　√　）

（3）∅＝{0}．（　×　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

（5）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.（　√　）

（6）若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁UP＝{2}．（　√　）

2．（2013·北京）已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于（　　）

A．{0}B．{－1,0}

C．{0,1}D．{－1,0,1}

答案　B

解析　∵－1,0∈B,1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．

3．（2013·山东）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3

C．5D．9

答案　C

解析　x－y∈

.

4．（2013·课标全国Ⅱ）已知集合M＝{x|（x－1）2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于

（　　）

A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}

答案　A

解析　化简集合M得M＝{x|－1

5．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，

因为函数y＝f（x）＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f（0）＝－1<0，

根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，

则这个整数为2，

所以有f

（2）≤0且f（3）>0，

即

所以

即

≤a<

.

题型一　集合的基本概念

例1

（1）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A．3B．6C．8D．10

（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝________.

思维启迪　解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”．

答案　

（1）D　

（2）2

解析　

（1）由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y，

当y＝1时，x可取2,3,4,5，有4个；

当y＝2时，x可取3,4,5，有3个；

当y＝3时，x可取4,5，有2个；

当y＝4时，x可取5，有1个．

故共有1＋2＋3＋4＝10（个），选D.

（2）因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，

所以a＋b＝0，得

＝－1，

所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

思维升华　

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

（1）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

（2）若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.

答案　

（1）C　

（2）0或

解析　

（1）集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图像，可得图像有两个交点，即A∩B的元素个数为2.

（2）∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．

当a＝0时，x＝

符合要求．

当a≠0时，Δ＝（－3）2－4a×2＝0，∴a＝

.

故a＝0或

.

题型二　集合间的基本关系

例2

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1B．2C．3D．4

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

思维启迪　对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B⊆A不要忽略B＝∅的情形．

答案　

（1）D　

（2）（－∞，4]

解析　

（1）用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．

由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

，解得2

综上，m的取值范围为m≤4.

思维升华　

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，

否则会造成漏解；

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间

端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．

（1）设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（　　）

A．6个B．5个C．4个D．3个

（2）已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝________.

答案　

（1）A　

（2）4

解析　

（1）集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8（个），集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6（个）．

（2）由log2x≤2，得0

即A＝{x|0

而B＝（－∞，a），

由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.

题型三　集合的基本运算

例3

（1）（2013·湖北）已知全集为R，集合A＝

，B＝

，则A∩（∁RB）等于（　　）

A．{x|x≤0}

B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x<2或x>4}

D．{x|0

（2）（2012·天津）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

思维启迪　集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn图计算．

答案　

（1）C　

（2）－1　1

解析　

（1）A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}

∴A∩（∁RB）＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}

＝{x|0≤x<2或x>4}．

（2）先求出集合A，再根据集合的交集的特点求解．

A＝{x|－5

B＝{x|（x－m）（x－2）<0}，所以m＝－1，n＝1.

思维升华　

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

（1）设集合A＝

，B＝{x∈Z|x－2>0}，则A∩B＝（　　）

A．{x|2

C．{2,3}D．{x|－1≤x<2}

（2）设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．若（∁UA）∩B＝∅，则m的值是________．

答案　

（1）B　

（2）1或2

解析　

（1）A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x∈Z|x>2}，

∴A∩B＝{x∈Z|2

（2）A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，

∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.

∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）·（－2）＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）·（－2）＝2，由这两式得m＝2.

经检验知m＝1和m＝2符合条件．

∴m＝1或2.

遗忘空集致误

典例：

（5分）若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________．

易错分析　从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，易遗忘S＝∅的情况．

解析　P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；

当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－

，

为满足S⊆P可使－

＝－3或－

＝2，

即a＝

或a＝－

.故所求集合为

.

答案　

温馨提醒　

（1）根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．

（2）在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如a＝0时，S＝∅；二是易忽略对字母的讨论．如－

可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.

方法与技巧

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．

失误与防范

1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

3．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩（∁UB）＝∅这五个关系式的等价性．

A组　专项基础训练

（时间：

30分钟）

一、选择题

1．（2013·重庆）已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A．{1,3,4}B．{3,4}

C．{3}D．{4}

答案　D

解析　因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以∁U（A∪B）＝{4}，故选D.

2．下列集合中表示同一集合的是（　　）

A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}

B．M＝{2,3}，N＝{3,2}

C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}

D．M＝{2,3}，N＝{（2,3）}

答案　B

解析　选项A中的集合M表示由点（3,2）所组成的单点集，集合N表示由点（2,3）所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．

3．已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁SA＝{3}，则实数a等于（　　）

A．0或2B．0

C．1或2D．2

答案　D

解析　由题意，知

则a＝2.

4．设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则（∁ZM）∩N等于（　　）

A．{0,1}B．{－1,0,1}

C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}

答案　B

解析　由已知，得∁ZM＝{－2，－1,0,1}，

N＝{－1,0,1,2,3}，所以（∁ZM）∩N＝{－1,0,1}．

5．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）

A．2个B．4个C．6个D．8个

答案　B

解析　∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．

∴M∩N的子集共有22＝4个．

6．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1

A．ABB．BA

C．A＝BD．A∩B＝∅

答案　B

解析　因为A＝{x|x2－x－2<0}，

所以A＝{x|－1

又B＝{x|－1

7．（2013·辽宁）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于（　　）

A．（0,1）B．（0,2]C．（1,2）D．（1,2]

答案　D

解析　A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．

8．

设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝

}，B＝{x∈Z|－

1

A．3B．4C．7D．8

答案　C

解析　因为A＝{x∈N|y＝

}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，

由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，

所以其真子集有：

∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．

二、填空题

9．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝__________.

答案　－1或2

解析　由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.

10．已知集合A＝{（0,1），（1,1），（－1，2）}，B＝{（x，y）|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝__________.

答案　{（0,1），（－1,2）}

解析　A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．

11．（2013·天津改编）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝________.

答案　{x|－2≤x≤1}

解析　易知A＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤1}．

12．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a

答案　（－∞，－1]

解析　因为C∩A＝C，所以C⊆A.

①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－

；

②当C≠∅时，要使C⊆A，则

解得－

B组　专项能力提升

（时间：

15分钟）

1．若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N＋}，B＝{y|

∈N＋}，则A∩B中元素个数为（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

答案　D

解析　∵A＝{x|x2－9x<0，x∈N＋}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{y|

∈N＋}＝{1,2,4}，所以A∩B＝{1,2,4}，含有3个元素，选D.

2．已知集合M＝{x|

≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于（　　）

A．∅B．{x|x≥1}

C．{x|x>1}D．{x|x≥1或x<0}

答案　C

解析　由

≥0，得

∴x>1或x≤0，

∴M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥1}，

M∩N＝{x|x>1}．

3．已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝

，x>2}，则∁UP＝________.

答案　

解析　∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，

P＝{y|y＝

，x>2}＝{y|0

}，

∴∁UP＝{y|y≥

}＝

.

4．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．

答案　[1，＋∞）

解析　

A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，

c），

因为A⊆B，画出数轴，如右图所示，得c≥1.

5．已知集合A＝{（x，y）|y＝a}，B＝{（x，y）|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．

答案　（1，＋∞）

解析　由于集合B中的元素是指数函数y＝bx的图像向上平移一个单位长度后得到的函数图像上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝bx＋1（b>0，b≠1）与y＝a的图像只能有一个交点，所以实数a的取值范围是（1，＋∞）．