同构式下的函数体系张海4.docx

同构式下的函数体系张海4.docx

《同构式下的函数体系张海4.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同构式下的函数体系张海4.docx（59页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

同构式下的函数体系张海4

专题6同构式下的函数体系

秒杀秘籍：

第一讲同构式的三问三答

又到了最后一个章节，自从2018年跟大家交流同构式开始，全国各地的老师和学生似乎都很迷这个“神招”，同构式并不神秘，和很多之前的专题一样，我们需要细化它，透彻理解它，所以我们需要一个同构式的“说明书”．——广东张羊利．

同构式源于指对跨阶的问题，ex+x与x+lnx属于跨阶函数，而ex+lnx属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进

⎧xex

⎪

行同构，即h（x）=⎨x+ex

⎧xlnx

⎨

⎩

⇒h（lnx）=⎪x+lnx

我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶

⎪x

⎪⎩e

-x-1

⎪x-lnx-1

函数的同构，变成了两阶问题，类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列，所以，通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算．

同构式是属于跨阶的复合函数，所以复合函数能解决的一切问题，同构式均能解决．在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数以及复合函数的最值保值性来快速解题．

同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用h（x）表示，这个母函数需要满足：

①指对跨阶；②单

⎧xex

⎪

调性和最值易求；通常，h（x）=⎨x+ex

，基本上搞定这三个母函数，就看内函数，即子函数的构造了．

⎪x

⎪⎩e

-x-1

下面，我们分别利用同构式的单调性、保值性和零点个数问题来对同构式进行系统分析．

秒杀秘籍：

考点1利用同构式单调性秒杀

l

，

e

e

=1，故答案为[1,+∞）.

max

知h（x）在区间（0,+∞）为增函数，即λx≥lnx恒成立，λ≥（lnx）

x

故不等式两边同乘以x，构成λxeλx≥xlnx，乘法的式子构造h（x）=xex，故不等式满足h（λx）≥h（lnx），易

λ

【解析】eλx-lnx≥0⇒λeλx≥lnx，由于指数和对数的“跳阶”问题，故需要构造连续的“跨阶”函数来化简

范围是．

⎧xex

⎪

注意：

h（x）=⎨x+ex

在区间（0,+∞）为增函数，当构造h（p（x））≥h（q（x））恒成立的时候，只需要p（x）≥q（x）

⎪x

⎪⎩e

-x-1

恒成立即可.由于h（x）=xex在（-1,+

，这个在秒1中已经详细介绍，这里不再详述.p（x）=lnx在区间

）

x

（0,e），在（e,+

），易知p（x）

max

=p（e）=1.

e

2

【例2】设k>0，若存在正实数x，使得不等式logx-k2kx≥0成立，则k的最大值为（）

A．1loge

B．1ln2

C．elog

eD．1ln2

2

e

k≤1loge，故选A.

，即

≥k

1

eln2

ex

x

在正实数x，使得lnx≥kx⋅ln2，即lnx≥k⋅ln2，易知1≥lnx，故

两边需要乘以x即可，即xlnx≥kx⋅ln2⋅ekx⋅ln2⇒h（lnx）≥h（kx⋅ln2），由于h（x）=xex为单增函数，故只需存

ln2

2

kx⋅ln2

ln2kx

lnx

kx

x

连续的“跨阶”函数，故构造h（x）=xe，此题中，logx≥k⋅2⇒≥k⋅（e）⇒lnx≥kln2⋅e，显然

【解析】关于指对“跳阶”中出现的原函数和反函数问题，一定可以使用同构式构造，由于同构式必须要构造

e2e22

注意：

我们会介绍几个重要的“亲戚函数”，xex、xlnx、

x、lnx利用它们之间的同构式原理来快速求出

最值．

exx

上恒成立，则实数m的取值范围是．

+∞）

【解析】法一：

f（x）=m⋅ln（x+1）-3x-3>mx-3ex⇒m⋅ln（x+1）-3（x+1）>mx-3ex，令h（x）=mx-3ex即

h（ln（x+1））>h（x）恒成立，由于x≥ln（x+1），故函数h（x）↓对x∈（0,+∞）上恒成立，即h'（x）=m-3ex≤0，

解得m≤3ex

min

=3，故答案为m≤3.

法二：

f（x）=m⋅ln（x+1）-3x-3>mx-3ex⇒3ex-3（x+1）>mx-m⋅ln（x+1），构造函数h（x）=ex-x-1，则3h（x）>mh（ln（x+1）），这里要用到我们接下来讲的同构式“保值性”，由于x≥ln（x+1）恒成立，取等条件为

x=0，不在定义域内，故x>ln（x+1）恒成立，所以当m≤3时，3h（x）>mh（ln（x+1））恒成立，故答案为m≤3.

A．-1

2e

B．-2e

C．-1

e

D．-e

max

，即a³-e，故选D.

x

lnx

xa

立，此时a³-

1

ln对x>1恒成

x

1

xa

xaxa

ln1

ln=exaln

-alnx11

xa

【解析】由题意得：

xa+1exalnx0xex

秒杀秘籍：

考点2同构式问题构造恒等式：

x+ex≥ex+lnex

构造函数h（x）=x+ex，易知h（x）在区间（0,+∞）↑，根据p（x）=ex-x-1≥0恒成立，则p（lnx）=x-lnx-1≥0恒成立，当仅当lnx=0，即x=1时等号成立.由此能得到恒等式：

x≥lnx+1=lnex，所以再利用同构式h（x）≥h（lnex），即x+ex≥ex+lnex恒成立，当仅当x=1时等号成立.

【解析】此题构造乘法的同构显然不可能，因为不等式两边同时乘以x，kx将变成平方，无处遁形，并且出现ex和lnx，常数项为1，构造函数h（x）=x+ex，根据题意，ex≥kx+lnex⇒ex+x≥kx+lnex+x，在此基础上进行同构式转换，即kx+lnex+x=kx+x-ex+lnex+ex=h（lnex）+（k+1-e）x，原不等式可以转化为同构式h（x）≥h（lnex）+（k+1-e）x，由于h（x）≥h（lnex）恒成立，且当仅当x=1时等号成立.故k+1-e£0，即

k£e-1．

．

注意：

若h（p（x））≥h（q（x））恒成立，且h（p（x））≥h（q（x））+ϕ（x），则一定要满足ϕ（x）≤0，此方法属于同构式

的单调性和同构式的“保值性”综合题，有一定难度，原理其实很简单，同构式一旦搞定，剩下的就是基本的函数方程不等式的简单思想.以此题为背景的考题非常多，从选填题压轴到解答题压轴，无处不在，常规方法我们不在这里讲述了，大家可以去看一下常规的解答方案.

A．（0,e]

B．（0,e2）

C．[1,e2]

D．（1,e2）

【解析】由题意可知：

ex>aln（ax-a）-a=alna+aln（x-1）-a，由于ex和ln（x-1）明显存在“差一”的错

位，无法构造出乘法同构式，思考加法的同构，由于不等式的右边可以提出公因式a，故将其除去，得到式子

ex

a

>lna+lnx-1-1Þe

（）

xlna

-

>lna+ln（x-1）-1，式子右边没有参数a，但左边存在，根据同构式的形式相

似原理，我们需要将lna移至不等式左边，即ex-lna-lna>ln（x-1）-1，显然不等式的两边都加上x即可同

构成功，ex-lna+x-lna>eln（x-1）+ln（x-1），构造函数h（x）=x+ex，h（x-lna）>h（ln（x-1）），易知h（x）在区

间（0,+∞）↑，只需x-lna>ln（x-1）Þx-ln（x-1）>lna，两边取指数得：

x-1>a，这里求最值也可以利

ex

用同构式来解决，令g（x）=，易知g（x）≥e，=⋅e=eg（x-1）≥e>a，\a

ex

exex-1

2

2

x

x-1x-1

注意：

指数和对数的变量中出现ex和lnx+1，或者ex-1和lnx，或者ex和ln（x+1），这些有着明显的指对不等式恒成立的式子，通常是加法同构式h（x）=x+ex的常客，在内函数的解不等式中，经常需要几个“亲戚函数”来帮忙，所以我们接下来介绍一下同构式的保值性.

秒杀秘籍：

考点3利用同构式的保值性秒杀

同构式保值性：

若h（x），h（p（x）），h（q（x））中，x∈D，p（x）∈D，q（x）∈D，故h（x），h（p（x）），h（q（x））的最值相等.概括起来就是构造了同构式，可以根据外函数的性质直接求出函数的最值．

同构式倍值性：

在h（x）和g（x）=m⋅h（p（x））满足x∈D，p（x）∈D，则g（x）=m⋅h（p（x））的最值是h（x）的m倍

我们将这个性质概括为同构式的倍值性．

下面我们仅以“亲戚函数”的图像和性质来验证这个理论．关于f（x）=x⋅ex的亲戚函数

一、通过平移和拉伸得到的同构函数

如图1：

根据求导后可知：

f（x）=x⋅ex在区间（-∞,-1）↓，在区间（-1,+∞）↑，f（x）min

=f（-1）=-1．

e

图1图2图3图4

如图2：

（x-1）⋅ex=e⋅（x-1）⋅ex-1=ef（x-1），即将f（x）向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍，故可得y=（x-1）⋅ex在区间（-∞,0）↓，在区间（0,+∞）↑，当x=0时，ymin=-1．

如图3：

（x-2）⋅ex=e2⋅（x-2）⋅ex-2=e2f（x-2），即将f（x）向右平移2个单位，再将纵坐标扩大为原来的e2

倍，故可得y=（x-2）⋅ex在区间（-∞,1）↓，在区间（1,+∞）↑，当x=1时，ymin=-e．

如图4：

（x+1）⋅ex=e-1⋅（x+1）⋅ex+1=e-1f（x+1），即将f（x）向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的1

e

倍，故可得y=（x+1）⋅ex在区间（-∞,-2）↓，在区间（-2,+∞）↑，当x=-2时，y

二、通过乘除和取倒数导致凹凸反转同构函数

min

=-1．

e2

如图5：

y=x

ex

=x⋅e-x=-f（-x），即将f（x）关于原点对称后得到y=x

ex

，故可得y=x

ex

在区间（-∞,1）↑，

在区间（1,+∞）↓，当x=1时，y

max

=1．

e

图5图6图7图8

如图6：

y=x-1=1（x-1）⋅e-（x-1）=-1f（-（x-1）），即将f（x）关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐

exee

标缩小1倍，得到y=x-1，故可得y=x-1在区间（-∞,2）↑，在区间（2,+∞）↓，当x=2时，y=1．

eexex

ex111

maxe2

ex

如图7：

y=

x=--x⋅e-x=-f（-x）（x>0），属于分式函数，将f（x）关于原点对称后得到，故可得y=x在

区间（0,1）↓，在区间（1,+∞）↑，当x=1时，ymin=e．

ex

如图8：

y==-

x+1

11=-11

e（-x-1）⋅e-x-1ef（-（x+1））

（x>0），属于分式函数，将

1

f（x）

关于原点对称后，左

移一个单位，再将纵坐标缩小

1倍，故可得y=

e

ex

x+1

在区间（-1,0）↓，在区间（0,+∞）↑，当x=0时，ymin=1．

三、通过取反函数构成的同构函数

图9图10图11图12

如图9：

xlnx=elnx⋅lnx=f（lnx），当lnx∈（-∞,-1），即x∈⎛0,1⎫↓，当lnx∈（-1,+∞），即x∈⎛1,+∞⎫↑，

ymin

=-1．

e

ç⎪

⎝e⎭

ç⎪

⎝e⎭

如图10：

lnx=-lnx-1⋅x-1=-f（-lnx），实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当

x

-lnx∈（-∞,-1），即x∈（e,+∞）↓，当-lnx∈（-1,+∞），即x∈（0,e）↑，y

max

=1．

e

如图11lnx+1=elnex=-ef（-lnex），当-lnex∈（-∞,-1），即x∈（1,+∞）↓，当-lnex∈（-1,+∞），即x∈（0,1）↑，

：

xex

ymax=1．

lnx=1lnx2=-1（-2）

-2∈（-∞-）

∈（+∞）↓

-2∈（-

+∞）

如图12：

x2

2x2

flnx

2

，当lnx

1，即xe,

，当lnx

1,，即

x∈（0,

e）↑，y

max

=1．

2e

注意：

y=lnx可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一

x

系列函数的同构原理，达到举一反三的目的．例题中我们会以y=lnx为模板进行求最值讨论.

x

数a的取值范围是（）

1212

A．a„e

2

B．a>e

C．a„e

D．a>e

2

【解析】由题意得：

f'（x）=ex-2ax=0有两个实根，即y=2a=g（x）=e有两个交点，如图7所示，y=e

x

x

x

x

在区间（0,1）↓，在区间（1,+∞）↑，当x=1时，y=e；∴2a∈（e,+∞），a>e，故选D．

min

2

122121

则实数a的取值范围是（）

]

A．（-∞e

B．（-∞,-e]

C．[0,e]D．[-e,0]

【解析】由题意可知函数f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数，且f（x）为偶函数，则f（x）在区间（0，+∞）单调

递增，当x>0时，f（x）=e-ax，f（x）=e-2ax≥0对x∈（0,+∞）恒成立，即2a≤（）min=e，∴a≤，

x2

'

x

ex

e

x

2

故选A．

2222

xx

A．（-∞,1）

B．（0,1）C．（0,e）

D．（1,+∞）

【解析】f（x）=1+lnx=e⋅lnex，由于函数lnx在区间（0,e）↑，（e,+∞）↓，则f（x）=e⋅lnex，当ex∈（0,e），

x

ex

x

ex

即x∈（0,1）时，f（x）↑，故选B．

A．

1

（0,）

2

B．（-∞,0）

C．（0,1）D．（0,+∞）

【解析】f'（x）=lnx+1-2mx=0有两个根，则2m=elnex，由于函数lnx在区间（0,e）↑，（e,+∞）↓，最大

exx

值为1

，参考图10，故2m=e

lnex

⇒

2m

=

lnex

有两根时满足0<

2m

<

1

，即0

1，故选A．

e

ex

e

ex

e

e

2

lnx1

x

4e

4e

范围为（）

4e

A．[1

，1）2e

B．（1

，1）2e

C．[1

e2

，1]

D．[1

e2

，1]

e

【解析】f（x）=lnx-kx=0⇒k=lnx=1lnx，当x∈[e,e]时，x∈[e,e]，由于函数在区间（0,e）↑，

2

1

4

2

1

2

2

lnx

x

x2

2

x2

x

（e,+∞

）↓，则当x∈[e,e]时，

2

1

2

lnx2∈1

1

lnx221

1

2

x

2

[,]，当x∈[e,e]时，

2

2

2e

e

x

2

∈[2,]，由于>，故当

e

e

2e

e2

秒杀秘籍：

第二讲同构式保值性定理

x

2e

4e

∈[,）时，f（x）=-kx有两个不同零点，故选A．

x2

2

lnx

11

1lnx2

k=

保值性定理1：

若h（p（x））≥h（q（x））恒成立，且满足h（p（x））≥h（q（x））+ϕ（x），则一定要满足ϕ（x）≤0；

保值性定理2：

若h（p（x））≥h（q（x））恒成立，且满足h（p（x））≥m⋅h（q（x））（h（x）≥0），则一定要满足m≤1；若要满足h（p（x））=mh（q（x））有实根，则一定要满足m≥1；

保值性定理3：

若h（p（x））≥0，h（q（x））≥0，且满足当x=m时，h（p（x））=h（q（x））=0，则一定满足不等式

h（p（x））+h（q（x））≥0；若h（p（x））=0时和h（q（x））=0时的x取的值不相等，则h（p（x））+h（q（x））>0

A．（-∞,-e）

B．（-∞,-2e）

C．（e,+∞）

D．（2e,+∞）

【解析】由f'（x）=ex+alnx+a=0，得ex=-alnex⇒xex=-a⋅exlnex．构造h（x）=xex，则

e

由于h（x）在（0,+∞）↑，且x≥lnex，故h（x）≥h（lnex）恒成立，若h（x）=-ah（lnex）有两不等实根，则一定需

e

要-a>1，解得a<-e，故选：

A．

e

（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；

（2）证明：

当a≥1时，f（x）≥0．

造函数h（x）=xex，易知h（x）在区间（0,+∞）为增函数，故不等式满足h（x）≥h（lnex），即f（x）≥0恒成立．注意:

此题也可以采用反证法，当f（x）≥0，只需aex≥lnex，只需ae⋅xex≥exlnex恒，只需ae⋅h（x）≥h（lnex）

恒成立，故只需ae≥1，即a≥1.

e

=g

（1）=0，故x≥lnex恒成立，构

min

x

xex≥exlnex恒成立，由于g（x）=x-lnex中，g'（x）=1-1，易知g（x）

e

e

e

e

（2）当a≥1时，aex-lnx-1≥1⋅ex-lnex，故只需证1ex≥lnex，故只需证1⋅exex≥exlnex，即证明

【解析】

（1）略；

e

y=e（x-1）+2.

（1）求a,b；

（2）证明：

f（x）>1.

lnx+

bex-1x

，曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为

【解析】

（1）函数f（x）的定义域为（0,+∞），f'（x）=aexlnx+aex-bex-1+bex-1，由题意可得f

（1）=2，

x

x2

x

f'

（1）=e，故a=1，b=2；

（2）由

（1）知，f（x）=exlnx+2ex-1，要证f（x）>1，，只需xlnx>xe-x-2⇒xlnx+（-x）e-x>-2，

x

e

e

构造函数h（x）=xex，显然h（x）³-

1

e

，当仅当x=-1时等号成立，xlnx+（-x）e-x=h（lnx）+h（-x），根据同

构式的保值性可得h（lnx）≥-1，当lnx=-1⇒x=1时等号成立，同理h（-x）≥-1，当