合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cosα＝
.
③过河路径最短（v2>v1时）：
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：
如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：
cosα＝
，最短航程：
s短＝
＝
d.
4.关联体：
通过绳子、轻杆或者其他之间联系的两个相互作用的物体
【高考领航】
【2016·全国卷Ⅰ】（多选）一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则（ ）
A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D．质点单位时间内速率的变化量总是不变
【答案】BC
【解析】施加一恒力后，质点的速度方向可能与该恒力的方向相同，可能与该恒力的方向相反，也可能与该恒力方向成某一角度且角度随时间变化，但不可能总是与该恒力的方向垂直，若施加的恒力方向与质点初速度方向垂直，则质点做类平抛运动，质点速度方向与恒力方向的夹角随时间的增大而减小，A错误，B正确。
质点开始时做匀速直线运动，说明原来作用在质点上的合力为零，现对其施加一恒力，根据牛顿第二定律，质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同，且大小不变，由a＝
可知，质点单位时间内速度的变化量Δv总是不变的，但速率的变化量不确定，C正确，D错误。
【2014·四川·4】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝
，回程渡河所用时间t2＝
.由题知
＝k，联立以上各式得v0＝
，选项B正确，选项A、C、D错误．
【技巧方法】
解决办法
易错警示
小船渡河问题
实际效果分解，平行四边形定则
必须先判断水速和船在静水中速度的大小，情况不同，解决方法不一样；但渡河时间只与垂直于河岸的分速度有关，与水速无关
绳（杆）端速度分解问题
沿绳（杆）和垂直于绳（杆）进行分解
利用沿绳（杆）方向速度相等来联系绳（杆）两端的速度关系
【最新考向解码】
【例1】（2019·湖南永州市高三第二次模拟）在光滑的水平面上有一冰球以速度v0沿直线匀速从a点运动到b点，忽略空气阻力，如右图为俯视图。
当冰球运动到b点时受到垂直于速度方向的力快速打击，打击之后冰球有可能沿哪一条轨迹运动（ ）
【答案】C
【解析】由于小球受到的是快速打击，速度改变后小球受合力仍为零，故小球不可能做曲线运动，B、D错误；小球受到垂直于初速度方向的力快速打击，获得一沿力方向的速度，打击后小球的速度是两个相互垂直方向的速度的合速度，A错误，C正确。
【例2】．（2019·四川成都石室中学高三一诊）一条小船在静水中的速度为3m/s，它要渡过一条宽为60m的长直河道，河水流速为4m/s，则（ ）
A．这条船不可能渡过这条河B．这条船过河时间可能为15s
C．这条船可以渡过这条河，而且过河时的合速度可以为9m/sD．这条船能够过河的最小位移为80m
【答案】D
【解析】当静水船速与河岸不平行时，船就能渡过河，A错误；当船头方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为：
tmin＝
＝20s>15s，B错误；若小船可以渡河，则要求船头方向与水流方向的夹角大于0°而小于180°，则渡河的合速度小于7m/s，故C错误；当静水船速与合速度垂直时，船的位移最小，设合速度与河岸间的夹角为θ，sinθ＝
＝
，解得xmin＝80m，D正确。
【例3】（2019·山东济南市高三模拟）曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件。
如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P，在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0
【答案】A
【解析】当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度v0分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，则此时v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线时，P沿杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，C、D错误。
【例4】（2019·山东师范大学附属中学高三上学期第二次模拟）质量为2kg的质点在xOy平面上做曲线运动，它在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示。
下列说法正确的是（ ）
A．质点的初速度为5m/sB．2s末质点速度大小为6m/s
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直D．质点所受的合外力为3N
【答案】AD
【解析】质点在x方向的初速度为vx＝3m/s，y方向的初速度为vy＝－4m/s，故质点的初速度为v0＝
＝5m/s，A正确；2s末质点的速度大小为v＝
m/s＝2
m/s，B错误；合外力沿x方向，而初速度方向既不沿x方向，也不沿y方向，故质点初速度的方向与合外力方向不垂直，C错误；质点的加速度a＝1.5m/s2，所受的合力F合＝ma＝3N，D正确。
【微专题精练】
1.（2019·牡丹江一中月考）双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，
乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员
的恒力可能是图中的（ ）
A．F1B．F2C．F3D．F4
【答案】C
【解析】根据图示物体由M向N做曲线运动，物体在vM方向的速度减小，同时在vN方向的速度增大，故合外力的方向指向F2方向下方，故F3的方向可能是正确的，C正确，A、B、D错误．
2.（多选）（2019·山东实验中学段考）一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，
y＝3t2＋6t（式中的物理量单位均为国际单位），关于物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线D．物体运动的轨迹是一条曲线
【答案】：
BC
【解析】对应位移时间公式x＝v0t＋
at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：
v0x＝－4m/s，v0y＝6m/s；加速度：
ax＝－4m/s2，ay＝6m/s2；物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误．
3.质量为m的物体，在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F1、F2不变，仅将F3的方向改变90°（大小不变）后，物体可能做（ ）
A．加速度大小为
的匀变速直线运动B．加速度大小为
的匀变速直线运动
C．加速度大小为
的匀变速曲线运动D．匀速直线运动
【答案】BC
【解析】由牛顿第二定律得a＝
＝
，显然a恒定，应为匀变速运动。
若a的方向与v的方向在一条直线上，则是匀变速直线运动，否则是匀变速曲线运动。
故正确选项为B、C。
4.（2019·石家庄检测）一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）。
将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则（ ）
A．v2＝
v1 B．v2＝2v1C．v2＝v1D．v2＝
v1
【答案】C
【解析】球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin30°＝
v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos60°＝
v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。
5.（2019·河南名校联考）如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图．已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．C点的速率小于B点的速率B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【答案】C.
【解析】质点做匀变速曲线运动，B点到C点的过程中加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以，C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；若质点从A点运动到C点，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误．
6.（2019·天津河西区模拟）如图所示，A、B是两个游泳运动员，他们隔着水流湍急的河流站在岸边，A在上游的位置，且A的游泳技术比B好，现在两个人同时下水游泳，要求两个人尽快在河中相遇，试问应采取下列哪种方式比较好（ ）
A．A、B均向对方游（即沿图中虚线方向）而不考虑水流作用
B．B沿图中虚线向A游；A沿图中虚线偏上方向游
C．A沿图中虚线向B游；B沿图中虚线偏上方向游
D．A、B均沿图中虚线偏上方向游；A比B更偏上一些
【答案】A
【解析】游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动．游泳的方向是人相对于水的方向．选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间线段最短，所以选A.
7.（2019·苏州模拟）如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图象如图乙所示，人顶杆沿水平地面运动的x－t图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（ ）
A．猴子的运动轨迹为直线B．猴子在2s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8m/sD．t＝2s时猴子的加速度大小为4m/s2
【答案】BD
【解析】由题图乙、丙看出，猴子在竖直方向做初速度vy＝8m/s、加速度a＝－4m/s2的匀减速直线运动，人在水平方向做速度vx＝－4m/s的匀速直线运动，故猴子的初速度大小为v＝
m/s＝4
m/s，方向与合外力方向不在同一条直线上，故猴子做匀变速曲线运动，故选项B正确，A、C均错误；由题图乙、丙可得，t＝2s时，ay＝－4m/s2，ax＝0，则合加速度大小a合＝4m/s2，故选项D正确．
8.（2019·江苏泰州中学高三模拟）一质点在xOy平面内运动轨迹如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．质点沿x方向可能做匀速运动
B．质点沿y方向可能做变速运动
C．若质点沿y方向始终匀速运动，则x方向可能先加速后减速
D．若质点沿y方向始终匀速运动，则x方向可能先减速后反向加速
【答案】BD
【解析】质点做曲线运动过程中合力指向轨迹凹的一侧，则加速度大致指向轨迹凹的一侧，由图可知：
加速度方向指向弧内，x轴方向有分加速度，所以x轴方向不可能匀速，y方向可能有分加速度，故质点沿y方向可能做变速运动，A错误，B正确；质点在x方向先沿正方向运动，后沿负方向运动，最终在x轴方向上的位移为零，所以x方向不能一直加速运动，也不能先加速后减速，只能先减速后反向加速，故C错误，D正确．
9.一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看做质点，如图4所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】船的速度产生了两个效果：
一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcosθ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcosθ－Ff＝ma，得a＝
，C对，D错．
10.（2019·金华模拟）如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于
B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速
度v1≠0，若这时B的速度为v2，则（ ）
A．v2＝v1B．v2>v1C．v2≠0D．v2＝0
【答案】：
D
【解析】如图所示，
分解A上升的速度v，v2＝vcosα，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α＝90°，故v2＝0，即B的速度为零，D正确．
11.（多选）河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（ ）
A．船渡河的最短时间是60sB．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线D．船在河水中的最大速度是5m/s
【答案】：
BD
【解析】要使船以最短时间过河，船头应始终与河岸垂直，tmin＝
＝100s，选项A错误，B正确；船的轨迹由合速度确定，因v船⊥v水，v水发生变化，则合速度的大小和方向均发生变化，轨迹是曲线，选项C错误；vm＝
m/s＝5m/s，选项D正确。
12.如图所示，顶角θ＝60°、光滑V字形轨道AOB固定在竖直平面内，且AO竖直．一水平杆与轨道交于M、N两点，已知杆自由下落且始终保持水平，经时间t速度由6m/s增大到14m/s（杆未触地），则在0.5t时，触点N沿倾斜轨道运动的速度大小为（g取10m/s2）（ ）
A．10m/sB．17m/sC．20m/sD．28m/s
【答案】C
【解析】杆自由下落，由运动学公式，v＝v0＋gt，则t＝
＝
s＝0.8s；则在0.5t时，杆的下落速度为v′＝v0＋g·
＝（6＋10×0.4）m/s＝10m/s；根据运动的分解，杆下落的速度可分解成如图所示的两分运动：
则有：
触点N沿倾斜轨道运动的速度大小v″＝
＝
m/s＝20m/s，故C正确，A、B、D错误．
13.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，现用一枝铅笔贴着细线的左侧水平向右以速度v匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线保持竖直，则在铅笔未碰到橡皮前，橡皮的运动情况是（ ）
A．橡皮在水平方向上做匀速运动B．橡皮在竖直方向上做加速运动
C．橡皮的运动轨迹是一条直线D．橡皮在图示虚线位置时的速度大小为v
【答案】AB
【解析】悬挂橡皮的细线一直保持竖直，说明橡皮水平方向具有和铅笔一样的速度，A正确；在竖直方向上，橡皮的速度等于细线收缩的速度，把铅笔与细线接触的地方的速度沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度v1＝vsinθ，θ增大，沿细线方向的分速度增大，B正确；橡皮的加速度向上，与初速度不共线，所以做曲线运动，C错误；橡皮在题图虚线位置时的速度vt＝
＝v
，D错误．
14．玻璃生产线上，宽12m的成型玻璃以8m/s的速度向前运动，在切割工序处，割刀速度为10m/s，为了使割的玻璃板都成规定尺寸的矩形，则下列说法正确的是（ ）
A．割刀在沿玻璃板运动方向的分速度与玻璃板移动的速度相同
B．割刀与运动方向的夹角为37°
C．切割一次的时间为1.5s
D．若玻璃板以2m/s的速度连续不断地向前运动，要将玻璃切割成一角为45°的平行四边形，可使割刀朝着沿玻璃板运动方向的分速度为8m/s的方向进行切割
【答案】ABD
【解析】玻璃板被切成矩形，说明割刀在沿玻璃板运动方向的分速度与玻璃板移动的速度相同，选项A正确；如图甲所示，有cosα＝
＝
，故割刀实际移动方向与玻璃板移动方向间的夹角为α＝37°，割刀相对玻璃板的速度为v相＝
＝6m/s，
故切割一次的时间为t＝
＝2s，选项B正确，C错误；切割为平行四边形时，割刀在沿玻璃板运动方向的分速度与玻璃板移动的速度不相同，又要求平行四边形有一个角为45°，故沿玻璃板运动方向割刀相对玻璃的速度Δvx与垂直玻璃运动方向的相对速度Δvy相等，即Δvx＝Δvy，
由于玻璃板只沿一个方向运动，故Δvy就是割刀的另一分速度，如图乙所示，则（Δvx＋2m/s）2＋Δv
＝v
，又v刀＝10m/s，故Δvx＝6m/s（Δvx＝－8m/s舍去），故割刀沿玻璃板运动方向的分速度为8m/s，D正确．
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