届高考数学人教A版文科一轮复习考点规范练39+.docx
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届高考数学人教A版文科一轮复习考点规范练39+
考点规范练39 直线、平面平行的判定与性质
基础巩固
1.对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是（ ）
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,n⊂α,则m∥n
C.若m∥α,n⊥α,则m∥n
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A.①③B.②③C.①④D.②④
3.设l表示直线,α,β表示平面.给出四个结论:
①若l∥α,则α内有无数条直线与l平行;
②若l∥α,则α内任意的直线与l平行;
③若α∥β,则α内任意的直线与β平行;
④若α∥β,对于α内的一条确定的直线a,在β内仅有唯一的直线与a平行.
以上四个结论中,正确结论的个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3
4.平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是（ ）
A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α
B.如果m⊂α,n与α相交,那么m,n是异面直线
C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
D.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α
6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ）
A.MC⊥AN
B.GB∥平面AMN
C.平面CMN⊥平面AMN
D.平面DCM∥平面ABN
7.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;
②若m∥l,且m∥α,则l∥α;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;
④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
8.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.
9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为 .
10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件 时,有平面D1BQ∥平面PAO.
11.
（2017安徽淮南一模）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.
（1）若BE=3EC,求证:
DE∥平面A1MC1;
（2）若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.
12.
（2017福建南平一模）如图,在多面体ABCDE中,平面ABE⊥平面ABCD,△ABE是等边三角形,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB⊥BC,AB=AD=BC=2,M是EC的中点.
（1）求证:
DM∥平面ABE;
（2）求三棱锥M-BDE的体积.
能力提升
13.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4.又H,G分别为BC,CD的中点,则（ ）
A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形
14.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
15.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且 ,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有（ ）
A.①②B.②③
C.①③D.①②③
16.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为 .
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.
（1）在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
（2）证明:
平面PAB⊥平面PBD.
高考预测
18.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=2.
（1）求五棱锥A'-BCDFE的体积;
（2）在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?
若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.
答案：
1.D 解析:
对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.
2.C 解析:
对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.
3.C 解析:
②中α内的直线与l可异面,④中可有无数条.
4.D 解析:
若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,
则a∥α,a∥β,故排除A.
若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.
若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,
则a∥β,b∥α,故排除C.选D.
5.C 解析:
如图
（1）可知A错;如图
（2）可知B错;
如图（3）,m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.
∵n∥α,∴n与α无公共点,∵m⊂α,∴n与m无公共点,
又m,n共面,∴m∥n,故选C.
6.C 解析:
显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中（如图）,取AN的中点H,连接HB,MH,则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以A正确;
由题意易得GB∥MH,
又GB⊄平面AMN,MH⊂平面AMN,
所以GB∥平面AMN,所以B正确;
因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,
所以平面DCM∥平面ABN,所以D正确.
7.B 解析:
对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正确;对②,直线l可能在平面α内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故③错误;对④,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上①④正确.故选B.
8.6 解析:
过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
9.平行 解析:
取PD的中点F,连接EF,AF,
在△PCD中,EFCD.
∵AB∥CD且CD=2AB,∴EFAB,
∴四边形ABEF是平行四边形,∴EB∥AF.
又EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
10.Q为CC1的中点 解析:
如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,
所以QB∥PA.
连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.
又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,
所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.
又D1B∩QB=B,
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.
11.
（1）证明:
如图1,取BC中点N,连接MN,C1N.
∵M是AB中点,∴MN∥AC∥A1C1,
∴M,N,C1,A1共面.
∵BE=3EC,∴E是NC的中点.
又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.
∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,
∴DE∥平面A1MC1.
（2）解:
如图2,当AA1=1时,AM=1,A1M=,A1C1=.
∴三棱锥A-MA1C1的体积
AM·AA1·A1C1=.
图1
图2
12.
（1）证法一取BE的中点O,连接OA,OM,
∵O,M分别为线段BE,CE的中点,∴OM=BC.
又AD=BC,∴OM=AD,
又AD∥CB,OM∥CB,∴OM∥AD.
∴四边形OMDA为平行四边形,
∴DM∥AO,又AO⊂平面ABE,MD⊄平面ABE,
∴DM∥平面ABE.
证法二取BC的中点N,连接DN,MN（图略）,
∵M,N分别为线段CE,BC的中点,∴MN∥BE,
又BE⊂平面ABE,MN⊄平面ABE,∴MN∥平面ABE,
同理可证DN∥平面ABE,
MN∩DN=N,∴平面DMN∥平面ABE,
又DM⊂平面DMN,∴DM∥平面ABE.
（2）解法一∵平面ABE⊥平面ABCD,AB⊥BC,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥平面ABE,∵OA⊂平面ABE,∴BC⊥AO,
又BE⊥AO,BC∩BE=B,∴AO⊥平面BCE,
由
（1）知DM=AO=,DM∥AO,
∴DM⊥平面BCE,
∴VM-BDE=VD-MBE=×2×2×.
解法二取AB的中点G,连接EG,
∵△ABE是等边三角形,∴EG⊥AB,
∵平面ABE∩平面ABCD=AB,平面ABE⊥平面ABCD,且EG⊂平面ABE,
∴EG⊥平面ABCD,即EG为四棱锥E-ABCD的高,
∵M是EC的中点,
∴M-BCD的体积是E-BCD体积的一半,∴VM-BDE=VE-BDC-VM-BDC=VE-BDC,
∴VM-BDE=×2×4×.
即三棱锥M-BDE的体积为.
13.B 解析:
如图,由题意得,EF∥BD,且EF=BD.
HG∥BD,且HG=BD,
∴EF∥HG,且EF≠HG.
∴四边形EFGH是梯形.
又EF∥平面BCD,而EH与平面ADC不平行,故B正确.
14.A 解析:
（方法一）∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,
∴m∥B1D1.
∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,
∴n∥CD1.
∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.
∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,
∴m,n所成的角的正弦值为.
（方法二）由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,
补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,
m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.
因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,
故m,n所成角的正弦值为.
15.C 解析:
由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.选C.
16.
解析:
取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,
所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,
则SB∥HD.
同理SB∥FE.
又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HFACDE,
所以四边形DEFH为平行四边形.
又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,
所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=.
17.
（1）解:
取棱AD的中点M（M∈平面PAD）,点M即为所求的一个点.
理由如下:
因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥AM,且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
（说明:
取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点）
（2）证明:
由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,
因为AD∥BC,BC=AD,
所以直线AB与CD相交.
所以PA⊥平面ABCD.从而PA⊥BD.
因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.
18.
解:
（1）连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.
因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,
所以H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH.
从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,
又A'H∩CH=H,所以EF⊥平面A'HC,且EF⊂平面ABCD.
从而平面A'HC⊥平面ABCD.
过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,则A'O⊥平面ABCD.
因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,故A'H=2,CH=4,
所以cos∠A'HC=.
所以HO=A'H·cos∠A'HC=,则A'O=.
所以五棱锥A'-BCDFE的体积
V=.
（2）线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=.
证明如下:
连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过O点.
A'M=A'C,HO=HC,
所以OM∥A'H.
又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,
所以OM∥平面A'EF.
又BD∥EF,BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF,
所以BD∥平面A'EF.
又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF,
因为BM⊂平面MBD,所以BM∥平面A'EF.
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