小学数学四年级拓展校本课程.docx
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小学数学四年级拓展校本课程
数学拓展校本课程第一讲速算与巧算
例1计算9＋99＋999＋9999＋99999
使用凑整法、这是小学数学中常用的一种技巧、
例2计算199999＋19999＋1999＋199＋19
此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法、
例3计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）
先把两个括号内的数分别相加，再相减、第一个括号内的数相加， 从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加，从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990、
1990×497＋995—1990×497＝995、
例4计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数、
例5计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数、
例6计算54＋99×99＋45
此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了、
例7计算9999×2222＋3333×3334
此题如果直接乘，数字较大，容易出错、如果将9999变为3333×3，规律就出现了、
例81999＋999×999
变成1000＋999＋999×999
有多少个零、
习题一
1、计算899998＋89998＋8998＋898＋88
2、计算799999＋79999＋7999＋799＋79
3、计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）
4、计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋1993
5、时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推、从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？
6、求出从1～25的全体自然数之和、
7、计算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101
8、计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87
9、计算（125×99＋125）×16
10、计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9
11、计算999999×78053
12、两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？
数学拓展校本课程第二讲速算与巧算
例1比较下面两个积的大小：
A＝987654321×123456789，
B＝987654322×123456788、
例2不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由、
241×249242×248243×247
244×246245×245、
一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大、
如：
10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5
则5×5＝
例3求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和、
例42、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个、
对于2n＋1个连续自然数可以表示为：
x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x，x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中x是这2n＋1个自然数的平均值、
例5将1～1001各数按下面格式排列：
一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：
①1986，②2529，③1989，能否办到？
如果办不到，请说明理由、
习题二
1、右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）、右图填满后，这30个数的总和是多少？
2、有两个算式：
①98765×98769，②98766×98768，
请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？
3、比较568×764和567×765哪个积大？
4、在下面四个算式中，最大的得数是多少？
①1992×1999＋1999②1993×1998＋1998
③1994×1997＋1997④1995×1996＋1996
5、五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数、
6、45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数、
7、把从1到100的自然数如下表那样排列、在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？
数学拓展校本课程第三讲定义新运算
例1设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，
①求3△2，2△3；
②这个运算“△”有交换律吗？
③求（17△6）△2，17△（6△2）；
④这个运算“△”有结合律吗？
⑤如果已知4△b＝2，求b.
例2定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；
②求12※（3※4），（12※3）※4；
③这个运算“※”有交换律、结合律吗？
④如果3※（5※x）＝3，求x.
③这个运算有交换律和结合律吗？
例5x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：
x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
解：
因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
m=1，n=2或m=3，n=1
①当m=1，n=2时：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.
②当m=3，n=1时：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
所以m=l，n=2，k=2.
（1△2）*3=（2×1×2）*3
=4*3
=1×4+2×3
=10.
习题三
计算：
①10*6②7*（2*1）.
3.有一个数学运算符号°，使下列算式成立：
5.对于任意的整数x、y，定义新运算“△”，
如果1△2=2，则2△9=？
7、规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b-1），（a、b均为自然数，b＞a）如果x△10=65，那么x=？
数学拓展校本课程第四讲等差数列及其应用
例1下面的数列中，哪些是等差数列？
若是，请指明公差，若不是，则说明理由.
①6，10，14，18，22，…，98；②1，2，1，2，3，4，5，6；
③1，2，4，8，16，32，64；④9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
例2求等差数列1，6，11，16…的第20项.
例3已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？
例4如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
例5计算1+5+9+13+17+…+1993.
例6建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？
这堆砖共有多少块？
例7求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
例8连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？
例9100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？
例10把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
例11把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.
例12从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？
习题四
1.求值：
①6+11+16+…+501.
②101+102+103+104+…+999.
2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？
4+2，5+8，6+14，7+20，…
3.11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？
4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？
5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少？
6.100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
7.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？
8.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和.
1，2，3，4，5，6…98，99，100
2，3，4，5，6，7…99，100，101
3，4，5，6，7，8…100，101，102
..........
100，101，102，103，104，105…197，198，199
数学拓展校本课程第五讲倒推法的妙用
例1一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：
“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？
例2马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？
例3树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：
原来每棵树上各落多少只鸟？
例4篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：
篮子里原有梨多少个？
例5甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：
售货员从两个桶里各卖了多少千克油？
例6菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？
习题五
1、某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.
2、生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？
3、有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：
最初弟弟准备挑几块砖？
4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，他说：
“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。
”你知道阿凡提一共带了多少钱？
买鱼用了多少钱？
5、甲、乙和丙合伙做水果生意。
这天，他们一共赚了42个森林币。
按协议，谁投入本钱多谁分得的红利就多。
这次生意，乙出的本钱是丙的2倍；甲出的本钱是乙的2倍。
这样，乙分得的钱应是丙的2倍；甲分得的钱也应是乙的2倍。
现在，请大家算一算，甲应得个森林币，乙应得个森林币，丙应得个森林币。
？
6、黑、白两种棋子堆成一堆，黑棋子是白棋子的2倍。
现从这堆棋子中每次取黑棋子4个、白棋子3个，若干次后，白棋子取尽，而黑棋子还有16个。
请问，原来黑棋子有多少个，白棋子有多少个？
数学拓展校本课程第六讲行程问题
（一）
例1甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：
二人几小时后相遇？
例2一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：
当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？
例3两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.
例4甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？
例5甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？
例6某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？
例7甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.
习题六
1.甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：
两车出发后多长时间相遇？
2.东、西镇相距45千米，甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后两人相遇，问两人的速度各是多少？
3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
4.甲、乙二人从相距100千米的A、B两地出发相向而行，甲先出发1小时.他们二人在乙出后的4小时相遇，又已知甲比乙每小时快2千米，求甲、乙二人的速度.
5.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？
6.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？
2008年2月份培优测试
1、计算
9＋99＋999＋9999＋99999（125×99＋125）×16
2、有两个算式：
①98765×98769，②98766×98768，
用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？
3、五个连续奇数的和是65，求其中最大和最小的数。
5、吉尔丹刚刚学会编织手套，她是从这个星期三开始编织的，今天是星期天，算上今天编织的手套，她一共编织了100副。
因为她已经越来越熟练了，所以每一天她编织的手套都比前一天多6副，那么你知道她第一天编织了多少副手套？
6、黑、白两种棋子堆成一堆，黑棋子是白棋子的2倍。
现从这堆棋子中每次取黑棋子4个、白棋子3个，若干次后，白棋子取尽，而黑棋子还有16个。
请问，原来黑棋子有多少个，白棋子有多少个？
7、生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？
8、.甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：
两车出发后多长时间相遇？
9、两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.
10、豆豆用数字卡片做游戏，剩下许多写有4、7和8的卡片，而其余数字卡片都用完了。
她用这些剩下的卡片可以组合成多少个不同的三位数。
数学拓展校本课程第七讲几何中的计数问题
（一）
例1数一数下列图形中各有多少条线段.
例2数出右图中总共有多少个角.
例3如右图中，各个图形内各有多少个三角形？
例4如右图中，数一数共有多少条线段？
共有多少个三角形？
例5如右图中，共有多少个角？
小结：
由本题可以推出一般情况：
若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是n（n-1）+1.
习题七
1、数一数下图中，各有多少条线段？
2、数一数下图中各有多少角？
3、数一数下图中，各有多少条线段？
4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？
数学拓展校本课程第八讲几何中的计数问题
（二）
例1、如下图，数一数下列各图中长方形的个数？
例2如右图数一数图中长方形的个数.
小结：
一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：
（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）
.
例3数一数各图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）
小结：
一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：
n×n（个），边长为2个长度单位的正方形个数有（n-1）×（n-1）（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：
2×2（个）：
，边长为长度单位的正方形个数有：
1×1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：
1×1+2×2+3×3+…+n×n（个）.
例4.数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.
①以一条基本线段为边的正方形个数共有：
6×5=30（个）.
②以二条基本线段为边的正方形个数共有：
5×4=20（个）.
③以三条基本线段为边的正方形个数共有：
4×3=12（个）.
④以四条基本线段为边的正方形个数共有：
3×2=6（个）.
⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：
2×1=2（个）.
所以，正方形总数为：
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1
=30+20+12+6+2=70（个）.
小结：
一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：
m×n+（m-1）×（n-1）+（m-2）×（n-2）+…+（m-n+1）×1
显然例3是结论的特殊情况.
习题八
1.下图中有多少个长方形？
2.下图中有多少个正方形？
3.下图中有多少个长方形？
4.下图中有多少个正方形？
数学拓展校本课程第九讲几何中的计数问题（三）
例1如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形.
例2如右图，数一数图中三角形的个数.
Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种：
W①下=1+2+3+4=10
W②上=1+2+3=6
W③上=1+2=3
W④上=1
所以尖朝上的三角形共有：
10+6+3+1=20（个）.
Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种：
W①下=1+2+3=6
W②下=1
W③下=0
W④下=0
则尖朝下的三角形共有：
6+1+0+0=7（个）
所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：
20+7=27（个）.
例3、数一数图中有多少个三角形.
例4页图，数一数图中一共有多少个三角形.
例5．数一数图中一共有多少个三角形
：
Ⅰ.在小矩形AEOH中：
①由一个三角形构成的有8个.
②由两个三角形构成的
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