韦达定理讲解.ppt

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韦达定理,执教者：

虞申君,一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式：

X1,2=,算一算,

（1）x2-7x+12=0,

（2）x2+3x-4=0,（3）2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：

3,4,12,7,1,-3,-4,-4,-1,-,-2,一元二次方程的根与系数的关系：

如果方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=,-,（韦达定理）,注：

能用韦达定理的前提条件为0,韦达（15401603）,韦达定理的证明：

X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=,P,q,推论,说一说：

说出下列各方程的两根之和与两根之积：

1、x2-2x-1=0,2、2x2-3x+=0,3、2x2-6x=0,4、3x2=4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2=-,典型题讲解：

例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。

求：

（1）

（2）x12+x22,解：

由题意可知x1+x2=-,x1x2=-3,

（1）,=,=,=,

（2）（x1x2）2x12+x222x1x2,x12+x22（x1x2）2-2x1x2,（-）2,-2（-3）6,典型题讲解：

例2、已知方程x2-（k+1）x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。

解：

设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得4-2（k+1）+3k=0,解这方程，得k=-2,由韦达定理，得x123k,即2x16,x13,答：

方程的另一个根是3,k的值是2。

典型题讲解：

例2、已知方程x2-（k+1）x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。

解二：

设方程的另一个根为x1.,由韦达定理，得,x12=k+1,x12=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：

方程的另一个根是3,k的值是2。

你会做吗？

你会做吗？

已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:

（1）x1=1,x2=2,

（2）x1=3,x2=-6,（3）x1=-,x2=,（4）x1=-2+,x2=-2-,由韦达定理，得,解：

x1+x2=-,x1x2=,p=-3（x1+x2）q=3x1x2,

（1）p=-9q=6,

（2）p=9q=-54,（3）p=0q=-21,（4）p=12q=-3,试一试,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。

2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求（x1+1）（x2+1）的值。

解：

设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16,解：

由韦达定理，得,x1+x2=-2,x1x2=,（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=-2+（）+1=,今天我学会了.,1、韦达定理及其推论,2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：

（1）二次项系数a0,

（2）根的判别式0,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-（k+1）x+k+3=0的两根差为1。

解：

设方程两根分别为x1,x2（x1x2），则x1-x2=1,（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2,由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,解得k1=9,k2=-3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。

2、设x1，x2是方程x2-2（k-1）x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。

拓广探索,解：

由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由韦达定理得x1+x2=2（k-1）,x1x2=k2,X12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（k-1）2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22=4，得2k2-8k+44,解得k1=0,k2=4,经检验，k2=4不合题意，舍去。

k=0,谢谢！