正弦定理和余弦定理讲解文档格式.docx

正弦定理和余弦定理讲解文档格式.docx

《正弦定理和余弦定理讲解文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正弦定理和余弦定理讲解文档格式.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

c2a2b22abcosC余弦定理还有另一种形式：

若令C90，则c2a2b2，这就是勾股定理

2）利用余弦定理，可以解决以下两类三角形的相关问题：

1已知三边，求三个角；

2已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

3.在解三角形问题时，须掌握的三角关系式

在ABC中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运用.

（1）ABC；

11

SabsinC，SbcsinA，

22

4.实际应用问题中的有关名词、术语

1）仰角和俯角：

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标

视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角

（2）方向角：

从指定方向线到目标方向线的水平角.

（3）方位角：

从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角

（4）坡度：

坡面与水平面所成的二面角的度数

5.须熟悉的三角形中的有关公式

比如：

解斜三角形时主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，

Pabc（P为三角形的周长）

1

Saha（ha表示a边上的高）

2

111

SabsinCacsinBbcsinA

222

Sabc（可用正弦定理推得）

4R

Sr（abc）（r为内切圆半径）

此处还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.

6.关于已知两边和其中一边的对角，解三角形的讨论

已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题的过程中

当A为直角或钝角时

知识点一：

正弦定理与余弦定理

abc

（1）定理的表示形式：

abckk0；

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC（k0）

（2）正弦定理的应用范围：

①已知三角形的两角和任一边，求其他两边及一角；

②已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边及角

例2：

在ABC中，已知a23，c62，B45，求b及A的值.思路分析：

本题的已知条件显然符合余弦定理求解的条件.

222

解题过程：

∵b2a2c22accosB

=（23）2（62）2223（62）cos45°

=12（62）243（31）=8

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

a23

解法二：

∵sinAsinBsin45，又∵62>

2.4+1.4=3.8，

b22

23<

21.83.6,∴a<

c，即0<

A<

90∴A60

解题后反思：

使用解法二时应注意确定A的取值范围.

例3：

在△ABC中，已知a=3，b=2，B=45°

，求A、C及c.

可用正弦定理求解，但先要判

思路分析：

这是一道已知两边及一边的对角解三角形的问题，定△ABC是否有解，有几个解，亦可用余弦定理求解

∵B=45°

<

90°

，且b<

a，∴△ABC有两解：

由正弦定理得：

sinA=asinB3sin453，

∴A=60°

或120°

.

①当A=60°

时，C=75°

c=bsinC2sin7562.

sinBsin452

②当A=120°

时，C=15°

c=bsinC2sin1562.sinBsin452

故A=60°

，C=75°

，c=62或A=120°

，C=15°

，c=62.

22解题后反思：

因sinA=sin（π－A），故在解三角形中要考虑多种情况，灵活使用正、余弦定理，关键是将“条件”与情况对应.

知识点二：

三角形中的几何计算

例4：

已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为2.

（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.

利用正、余弦定理可以进行边角互化，解题时要注意有意识地进行边角关系的统

（1）由22（sinA－sinC）=（a－b）sinB得

又∵0°

C<

180°

，∴C=60°

113

2）SABC=absinC=×

ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°

－A）ABC222

=23sinA（sin120°

cosA－cos120°

sinA）=3sinAcosA+3sin2A=3sin2A－3cos2A+3=3sin（2A－30°

）+3.

2222∴当2A=120°

，即A=60°

时，Smax=33.

求最值往往是先建立函数关系式，然后借助函数的方法去求解

BC7

例5：

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos2A.22

（1）求角A的度数；

（2）若a=3，b+c=3，求b和c的值.

在三角形的求解中，会经常用到ABC，显然把BC转化成A可是解题过程更为简便.

（1）由4sin2cos2A及ABC180，得：

21cosBC2cos2A17，

41cosA4cos2A5

即4cos2A4cosA10，

cosA，0A180，A60

b2c2a2

2）由余弦定理得：

cosAbca

bc3

ba

得：

或

bc2

c2

由

此外，还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式

知识点三：

应用性问题

例6：

如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯

塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）

解斜三角形的问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解.

在△ADC中，∠DAC=30°

，∠ADC=60°

－∠DAC=30，所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°

－60°

=60°

，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，

即AB=ACsin60326sin1520

测量距离问题、测量高度问

故B，D的距离约为0.33km.

利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：

题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等

解三角形的相关题目时应根据已知与未知条件，合理选择使用正、余弦定理，使解题过程简洁，并达到算法简炼，算式工整、计算准确.

解斜三角形应用题的步骤：

①准确理解题意，分清已知和未知条件，准确理解应用题中的有关名词、术语，如仰角、俯角、视角、方向角、方位角及坡度、经纬度等；

②根据题意画出图形；

3将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，最后作答.

1.

在△ABC中，

a＝3，b＝7，c＝2，

那么B等于（

）

A.

30°

B.45°

C.

60°

D.

120

2.

a＝10，B=60°

，C=45°

，则c等于

（

103

B.1031C.

31

3.

a＝23，b＝22，

B＝45°

，则

A等于（

B.60°

或150°

4.

a＝12，b＝13，C＝60°

，此三角形的解的情况是（）

无解

B.一解C.

两解

不能确定

5.

已知a2b2c2bc，则角A为（

B.C.

3

6

6.

若acosAbcosB，

则△ABC的形状是（

等腰三角形

B.直角三角形C.

等腰直角三角形

等腰或直角三角形

二、填空题

7.在△ABC中，若∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，则a:

b:

c.

8.在△ABC中，a33,c2,B150°

，则b＝.

9.在△ABC中，A＝60°

，B＝45°

，ab12，则a＝；

b＝.

10.已知△ABC中，a181,b209,A121°

，则此三角形解的情况是.

11.已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为.

12.在△ABC中，bc:

ca:

ab4:

5:

6，则△ABC的最大内角的度数是

三、解答题

13.在△ABC中，已知AB102，A＝45°

，在BC边的长分别为20，203，5的3情况下，求相应角C的度数.

14.在△ABC中，

BC＝a，AC＝b，a，b是方程x223x20的两个根，且

2cosAB1.求：

（1）角C的度数；

（2）AB的长度.

15.在△ABC中，

cosAcosB11证明：

2222.

a2b2a2b2

16.在△ABC中，的最小值.

ab10，cosC是方程2x3x20的一个根，求△ABC周长

17.在△ABC中，若sinAsinBsinCcosAcosB.

（1）判断△ABC的形状；

（2）在上述△ABC中，若角C的对边c1，求该三角形内切圆半径的取值范围.

、选择题

题号

4

5

答案

C

B

D

、填空题

7.1:

3:

28.79.36126，12624

10.无解11.112.120°

ABsinA1013.解：

由正弦定理得sinC

BCBC

（1）当BC＝20时，sinC＝；

BCABACC30°

（2）当BC＝203时，sinC＝3；

32

ABsin45BCABC有两解C60或120°

（3）当BC＝5时，sinC＝2>

1；

C不存在

14.解：

（1）cosCcosABcosAB1C＝120°

2）由题设：

ab2

AB2

2222

AC2BC22ACBCcosCa2b22abcos120

abab2ab232210

AB10

x12,x2

又cosC是方程2x23x20的一个根.

cosC

由余弦定理可得：

c2a2b22ab1ab2ab

则：

c2100a10aa5275

当a5时，c最小且c7553此时abc1053

△ABC周长的最小值为1053

17.解：

（1）由sinAsinBsinCcosAcosB

2C

可得2sin1cosC0即C＝90°

△ABC是以C为直角顶点的直角三角形

2）内切圆半径rabcsinAsinB1

2sinA121

2422

内切圆半径的取值范围是