七年级上册第四章平面图形及其 位置关系的知识.docx
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七年级上册第四章平面图形及其位置关系的知识
七年级上册第四章平面图形及其位置关系
一、线段、射线和直线
1、知识网络
意义：
性质：
两点之间，线段最短
表示：
线段AB（或BA），线段b
线段比较大小：
度量法，叠合法
两点间的距离
重要概念
线段的中点
意义：
射线
表示：
射线OA
意义：
直线表示：
直线AB（或BA），直线m
性质：
两点确定一条直线
2、线段、射线、直线的区别和联系
直线、射线、线段之间的区别：
名称
区别
端点个数
延伸状态
长度
直线
无
向两方无限延伸
不确定，不可度量
射线
一个
向一方无限延伸
不确定，不可度量
线段
两个
向两方都不延伸
确定，可以度量
联系：
射线是直线的一部分。
线段是射线的一部分，也是直线的一部分
3、线段、射线、直线的表示方法
（1）线段的表示方法有两种：
一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
（2）射线的表示方法只有一种：
用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。
（3）直线的表示方法有两种：
一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
4、直线公理：
过两点有且只有一条直线。
简称两点确定一条直线。
例题：
如图，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（）
A．两点之间线段最短B．两直线相交只有一个交点
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
AB
5、线段公理：
“两点之间，线段最短”。
连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
6、线段的比较
（1）叠合比较法：
把一条线段移到另一条线段上，使一端对齐，从而进行比较
（2）度量比较法：
用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较。
例题：
作一条线段等于已知线段
现在我们来解决这个问题。
作法：
（1）作射线AM
（2）在AM上截取AB=a。
则线段AB为所求。
练习：
应用：
已知线段a、b，求作线段AB=a+b。
解：
（1）作射线AM；
（2）在AM上顺次截取AC=a，CB=b。
则AB=a+b为所求。
C
做一做：
作线段AB=a-b。
7、线段的中点：
如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。
利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：
（1）因为AM=BM=
AB，所以M是线段AB的中点．
（2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=
AB或AB=2AM=2BM．
例题：
如图
（1），点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点；
记作AM=MB或AM=MB=1/2AB或2AM=2MB=AB。
（）
如图
（2），点M、N把线段AB分成相等的三段AM、MN、NB，点M、N叫做线段AB的三等分点。
类似地，还有四等分点，等等。
例题：
线段长度的计算，线段的中点问题等在考题中常以填空题、选择题为主，重点考查学生发现问题、解决问题的能力．
【例】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）
A．A区B．C区C．B区D．A，B两区之间
1、如果线段AB=5cm，BC=3cm，那么A、C两点间的距离是（）
A．8cmB、2㎝C．4cmD．不能确定
2、已知线段AB=20㎝，C为AB中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB=3㎝，则CD=________cm．
3、已知，如图，AB＝16㎝，C是BC的中点，且AC=10㎝，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长。
4、如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是（）
A．CD=AC-DBB．CD=AD-BCC．CD=
AB-BDD．CD=
AB
结论：
平面内n条直线，最多可有
个交点；
过平面上n个点中的两个点，最多可画
条直线；
n个班进行单循环比赛，共比赛
场；
n个人相互握手的总次数为
次；
直线上有n个点，则一共有
条线段；
有公共端点的n条射线共可组成
个角；
平面内n条直线最多可将平面分成
个部分.
【例1】从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（）
A．4种B．6种C．10种D．12种
【例2】L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有１个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_______个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用含n的代数式表示）．
练习：
1、平面上有三个点，可以确定直线的条数是（）
A、1B．2C．3D．1或3
2、如图11，从A地到C地，可供选择的方案是走水路，走陆路，走空中．从A地到B地有2条水路，2条陆路，从B地到C地有3条陆路可代选择，走空中从A地直接到C地，则从A地到C地可供选择的方案有（）
A．20种B．8种C．5种D．13种
3、某市召集20名特级老师参加教研教改研讨会，与会的特级老师每两人之间都握手一次，那么他们之间一共握手________次．
二、角
静态
定义
动态
相关概念：
直角，平角，周角，锐角，钝角
角角的平分线
表示法：
∠A，∠AOB，∠1，∠α
度量与计算：
1°=60′=3600″，1′=60″
大小比较：
度量法，叠合法
知识细化
1、角的概念：
静态定义：
角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。
两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
动态定义：
角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法：
角用“∠”符号表示
（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。
（顶点必须在中间）
∠AOB
（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角
∠1。
（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角∠ａ。
（4）直接用一个大写英文字母来表示∠O。
3、角的度量：
会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位：
角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。
度、分、秒的换算：
1°=60′，1′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小
（1）平角：
角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：
角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。
（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。
6、画两个角的和，以及画两个角的差
（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线
定义：
从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
若BD是∠ABC的平分线，则有：
∠ABD=∠CBD=
∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD
注意：
1.构成角的两个要素是顶点、两边，两边都是射线，角的大小与两边的长短无关，只与两边张开的程度有关；
2.在初中阶段，如无特别说明，所涉及的角均指小于平角的角.
3.不管用哪种方法表示角，首先要写上符号“∠”，注意区分“∠”与“＜”；
4.用一个大写字母表示角，只适用于顶点处只有一个角的情形
5.角的平分线是射线，不是直线、线段
6.用一付三角板可以画出15°的整数倍的角
7.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
例（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（）
A．70°B．75°C．85°D．90°
【分析】时针每分钟转
=0.5°，分针每分钟转
=6°，从3点整到3点半时针转了0.5°×30=15°，分针转了6°×30=180°，3点钟时时针与分针夹角90°，所以3点半时针与分针夹角为180°-15°-90°=75°，故正确答案为B项．【解】选B
练习
1．已知αβ是两个钝角，计算
（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四种不同的答案分别是24°，48°，76°，86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（）
A．86°B．76°C．48°D．24°
2．甲同学看乙同学的方向为北偏东60°则乙同学看甲同学的方向为（）
A．南偏东30°B．南偏西60°C．东偏南60°D．南偏西30°
3.如图1―4－5所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120°，OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC．
（1）求∠EOF的大小；
（2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线，问：
OF、OF有怎样的位置关系？
为什么？
七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆．
【例】如图1，用一块边长为2
的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：
作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DG⊥EF于G，交AC于H；过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K；将正方形ABCE沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（）．
（1）
（2）
A．8B．6C．4D．5
【分析】本题考查了七巧板的拼摆及有关面积的计算．观察图形发现，桥的非阴影部分是两个大三角板，是正方形ABCD面积的一半，而阴影部分恰好是七巧板的剩余五块，其面积也应是正方形面积的一半．所以阴影部分面积为
=4．
【解】选C．
练习题：
一、选择题
1、如图，以O为端点的射线有（）条
A、3B、4C、5D、6
2、平面上有任意三点，经过其中两点画一条直线，可以画（）直线
A、1条B、2条C、3条D、1条或者3条
3、点C在线段AB上，不能判断点C是线段AB中点的式子是（）
A、AB=2ACB、AC+BC=ABC、BC=
D、AC=BC
4、下列画图语句中，正确的是（）
A、画射线OP=3cmB、连结A、B两点
C、画出A、B两点的中点D、画出A、B两点的距离
5、下列说法中正确的是（）
A、角是由两条射线组成的图形B、一条射线就是一个周角
C、两条直线相交，只有一个交点D、如果线段AB=BC，那么B叫做线段AB的中点
6、在同一平面内，两条直线的位置可能是（）
A、平行B、相交C、相交或平行D、以上都不对。
7、如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有（）个
A、6B、5C、4D、3
8、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线（）
A、垂直B、平行C、垂直或平行D、以上都不是
二、填空题
9、如图，点A、B、C、D在直线l上
（1）AC=_______－CD；AB+_______+CD=AD；
（2）图中共有________条线段，共有_______条射线，以点C为端点的射线是________。
10、45°=______直角=_______平角。
11、
（1）23°30′=________°；
（2）78.36°=______°____′________″。
12、如果a∥b，b∥c，那么a_____c。
13、如图，∠AOD=∠AOC+_______=∠DOB+_______。
三、解答题
14、如图，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点。
（1）如果AC=8cm，BC=6cm，求MN的长
（2）如果AM=5cm，CN=2cm，求线段AB的长
15、如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB=150°，求∠COD的度数。
16、只剪一刀，将图
（1）一分为二后，能再拼出后面图
（2）—（6），问：
应该怎么剪。
四、选择题
1、按下列线段的长度，点A、B、C一定在同一直线上的是（）
A、AB=2cm，BC=2cm，AC=2cmB、AB=1cm，BC=1cm，AC=2cm
C、AB=2cm，BC=1cm，AC=2cmB、AB=3cm，BC=1cm，AC=1cm
2、8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（）
A、70°B、75°C、80°D、60°
3、直线l上有两点A、B，直线l外两点C、D，过其中两点画直线，共可以画（）
A、4条直线B、6条直线C、4条或6条直线D、无数条直线
4、或∠1和∠2为锐角，则∠1+∠2满足（）
A、0°<∠1+∠2<90°B、0°<∠1+∠2<180°
C、∠1+∠2<90°D、90°<∠1+∠2<180°
5、下面说法正确的是（）
A、过两点有且只有一条直线B、平角是一条直线
C、两条直线不相交就一定平行D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
三、位置
定义：
同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
表示：
AB∥CD，m∥n
平行画法：
三角板，量角器，直尺圆规，方格纸等
经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线
性质：
位置平行与同一直线的两直线互相平行
定义：
相关概念：
点到直线的距离
垂直表示：
AB⊥CD，m⊥n
画法：
三角板，量角器，直尺圆规，方格纸等
性质：
同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
知识细化
1、平行线的定义：
（1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线。
（2）平行线用“∥”来表示；强调要在同一平面内，若不在同一平面内的两条直线，又不平行，又不相交，叫异面直线；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行。
2、平行的公理及推论：
（1）平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
（平行于同一直线的两直线平行）
3、画已知直线的平行线的方法
用直尺和三角板画平行线。
4、垂直的概念：
（1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
（2）两条线段互相垂直指它们所在的直线互相垂直。
（3）两条直线垂直用“⊥”来表示，如直线AB与直线CD垂直，记作：
AB⊥BC
5、垂线段的概念：
（1）过一点A做直线a的垂线，垂足为B，则线段AB叫直线a的垂线段。
（2）直线外一点A到直线a的垂线段长度叫点A到直线a的距离。
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
6、垂直的性质：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注意：
1.平行线是相互的，AB∥CD，也可记作CD∥AB;
2.一条直线有无数条直线与其平行，但过直线外一点却只有一条;
3.点到直线的距离是一个数量，不是指图形（垂线段），而是指垂线段的长度
例题：
天安门广场上五星红旗的旗杆与地面的位置关系属于（）
A．直线与直线平行B．直线与直线垂直
C．直线与平面平行D．直线与平面垂直
练习：
1．判断对错
⑴不相交的两条直线是平行线；
⑵同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线；
⑶同一平面内，两条直线不相交就重合；
⑷同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线；
⑸过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑹两条线段AB，CD没有交点，那么直线AB与直线CD平行；
⑺平行于同一直线的两条直线互相平行；
⑻同一平面内，不相交的两条射线互相平行；
⑼同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种；
⑽同一平面内，经过一个已知点能画一条直线和已知直线垂直；
⑾一条直线的垂线可以有无数条；
⑿过射线的端点与射线垂直的直线只有一条；
⒀过直线外一点和直线上一点这两个已知点，可以画已知直线的垂线.
2、如图，已知AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_______．
4、如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=70°，则∠2=____度．
5、如图，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若∠1=43°则∠2=_______度．
6、如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b，如果∠1=60°，那么∠2=______度．
7、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_________．
课后作业
1.下列说法正确的是（）
A.两点之间的连线中，直线最短
B.若P是线段AB的中点，则AP=BP
C.若AP=BP,则P是线段AB的中点
D.两点之间的线段叫做者两点之间的距离
2.如果线段AB=5cm,线段BC=4cm,那么A,C两点之间的距离是（）
A.9cmB.1cmC.1cm或9cmD.以上答案都不对
3.在直线L上依次取三点M,N,P,已知MN=5,NP=3,Q是线段MP的中点，则线段QN的长度是（）
A.1B.1.5C.2.5D.4
4.已知点C是线段AB上的一点，M,N分别是线段AC,BC的中点，则下列结论正确的是（）
A.MC=
ABB.NC=
ABC.MN=
ABD.AM=
AB
5.已知线段AB=6cm,C是AB的中点，C是AC的中点，则DB等于（）
A.1.5cmB.4.5cmC3cm.D.3.5cm
6.把两条线段AB和CD放在同一条直线上比较长短时，下列说法错误的是（）
A.如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么ABB.如果A,C重合，B落在线段CD的内部，那么ABC.如果线段AB的一个端点在线段CD的内部，另一个端点在线段CD的外部，那么AB〉CD
D.如果B，D重合，A，C位于点B的同侧，且落在线段CD的外部，则AB〉CD
7.如图，量一量线段AB,BC,CA的长度，
就能得到结论（）
A.AB=BC+CAB.ABC.AB<
D.AB=
8.如图，BC=4cm,BD=7cm,D是AC的中点，则AC=cm，AB=cm
9.如图，从甲地到乙地有四条道路，其中最短的路线是，最长的路线是。
10.如图，D,E分别是线段AB,AC的中点，量一量线段DE和BC的长度，
得到DE=BC（填一个数）
第9题图第10题图
11、如右图，点C分AB为2∶3,点D分AB为1∶4，若AB为5cm,则AC=_____cm,
BD=_____cm,CD=______cm.
12、若线段AB=a,C是线段AB上任一点，MN分别是AC、BC的中点，则MN=_______+_______=_______AC+_______BC=_______.
13、已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC=2AB，再在BA的延长线上取一点D，使DA=AC，则线段DC=______AB，BC=_____CD
14、已知线段AB=10㎝，点C是AB的中点，点D是AC中点，则线段CD=_________㎝。
15、计算
______度______分______秒
______度______分______秒=______度
16、观察图中的图形,并阅读图形下面的相关文字:
（1）像这样,10条直线相交,最多交点的个数是（）
A.40个B.45个C.50个D.55个
（2）像这样,n条直线相交,最多交点的个数是（）
17、平面上有四个点,过其中每两点画直线,可以画多少条?
（画图说明）
解题方法与技巧
方法1：
见比设元
【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：
4：
3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长．
【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法．
【解】∵AB：
BC：
CD=2：
4：
3
∴设AB=2KBC=4KCD=3K
∴AD=3K+2K+4K=9K
∵CD=9
∴3K=9∴K=3
∴AB=6BC=12AD=27
∵M为AD中点，
∴MD=
AD=
×27=13.5
∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5
【规律总结】不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数．
方法2：
利用线段的和差判断三点共线
【例2】判断以下三点A、B、C是否共线．
（1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm；
（2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm．
【解】
（1）∵AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm，
∴AB=AC+CB
∴A、C、B三点在同一条直线上
（2）∵AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm，
∴AB≠AC+CB
∴A、C、B三点不共线
方法3：
寻找规律
（一）数直线条数：
过任三点不在同一直线上的n点一共可画
条直线．
（二）数n个人两两握手能握
次．
（三）数线段条数：
线段上有n个点（包括线段两个端点）时，共有
条线段．
（四）数角的个数：
以0为端点引n条射线，当∠AOD<180°时，则（如图）小于平角的角个数为
．
（五）数交点个数：
n条直线最多有
个交点．
（六）数对顶角对数：
n条直线两两相交有n（n-1）对对顶角．
（七）数直线分平面的份数：
平面内n条直线最多将平面分成1+
个部分．
【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（）
A．1条B．4条C．6条D．1条或4条或6条
【分析】同一平面内四点，可能四点共线，此时直线有一条；可能四点中有三点共线，此时直线有四条；也可能四条直线中任意三点都不共线，此时可画
＝6条直线．
【解】选D
【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼．
【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；……若用n表示切的刀数，饼被最多分成S部分．则：
n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11．
【解】设一张饼被切n刀，最多分成S部分，如图2-6可知：
n=1时S=1+1
n=2时S=1+1+2
n=3时S=1+1+2+3
n=4时S=1+1+2+3+4
……
则S=1+1+2+3+4+…+n=1+
∴当n=7时，S=1+
=29
答：
当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼．
【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从
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