北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题.docx
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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题
第一章 三角形的证明
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.如果a>0,b>0,则a+b>0
B.直角都相等
C.两直线平行,同位角相等
D.若a=b,则|a|=|b|
2.如图1,AB⊥AC于点A,BD⊥CD于点D,若AC=BD,则下列结论中不正确的是( )
图1
A.∠A=∠DB.∠ABC=∠DCB
C.OB=ODD.OA=OD
3.如果等腰三角形的一个外角为140°,那么该等腰三角形的底角为( )
A.40°B.60°
C.70°D.40°或70°
4.如图2,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地相距( )
图2
A.30海里B.40海里
C.50海里D.60海里
5.如图3,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( )
图3
A.9B.10C.11D.15
6.如图4,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD为△ABC的角平分线,若AC=12,则△ABD中AB边上的高为( )
图4
A.3B.4C.5D.6
7.如图5,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( )
图5
A.6 B.5 C.4 D.3
8.如图6,长方体的底面边长分别为2cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B,那么所用细线最短需要( )
图6
A.11cmB.2
cm
C.(8+2
)cmD.(7+3
)cm
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.在△ABC中,AB=AC,BC=4,∠A=60°,则△ABC的周长是________.
10.用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是直角”时,第一步应假设____________.
11.如图7,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=6cm,则CD的长为________cm.
图7
12.如图8,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P,连接PB,PC.若∠A=75°,则∠BPC的度数是________.
图8
13.如图9,在长方形ABCD中,AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连接CE,则CE的长为________.
图9
14.如图10,∠BOC=60°,A是BO延长线上的一点,OA=10cm,动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动,如果点P,Q同时出发,用ts表示移动的时间,当t=________时,△POQ是等腰三角形.
图10
三、解答题(本大题共3小题,共38分)
15.(12分)如图11,在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠CAB,EF⊥AB于点F.若AC=12,BC=16,CE=6.
(1)求EF的长;
(2)求△AEB的面积.
图11
16.(12分)如图12,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点O.
(1)求证:
AD垂直平分EF;
(2)若∠BAC=60°,写出DO与AD之间的数量关系,并证明.
图12
17.(14分)如图13所示,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=6cm,点D从点A开始以1cm/s的速度向点C运动,点E从点C开始以2cm/s的速度向点B运动,两点同时运动,同时停止,运动的时间为ts,过点E作EF∥AC交AB于点F.
(1)当t为何值时,△DEC为等边三角形?
(2)当t为何值时,△DEC为直角三角形?
(3)求证:
DC=EF.
图13
答案
1.2.C3.D4.B 5.B 6.B 7.D 8.B
9.12
10.一个三角形中有两个角是直角
11.6
12.150°
13.
14.
或10
15.解:
(1)∵∠C=90°,∴AC⊥BC.
又AE平分∠CAB,EF⊥AB,
∴EF=CE.
又CE=6,∴EF=6.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,CE=6,
∴BE=BC-CE=16-6=10,
∴S△AEB=
BE·AC=
×10×12=60.
16.解:
(1)证明:
∵AD为△ABC的角平分线,
DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°.
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∵DE=DF,AD=AD,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF.
∵DE=DF,AE=AF,
∴点A,D都在EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF.
(2)DO=
AD.
证明:
∵AD为△ABC的角平分线,∠BAC=60°,∴∠EAD=30°,∴DE=
AD.
∵∠EAD=30°,DE⊥AB,AD⊥EF,
∴∠DEO=30°,
∴DO=
DE,∴DO=
AD.
17.解:
由题意得AD=tcm,CE=2tcm,则DC=(6-t)cm.
在△ABC中,∵∠A=90°,∠B=30°,∴∠ACB=60°.
(1)若△DEC为等边三角形,则CE=DC,
∴2t=6-t,解得t=2,
∴当t为2时,△DEC为等边三角形.
(2)若△DEC为直角三角形,当∠CED=90°时,
∵∠ACB=60°,∴∠CDE=30°,
∴CE=
DC,∴2t=
(6-t),解得t=1.2;
当∠CDE=90°时,同理可得∠CED=30°,
∴
CE=DC,
∴
×2t=6-t,∴t=3,
∴当t为1.2或3时,△DEC为直角三角形.
(3)证明:
∵∠A=90°,∠B=30°,AC=6cm,
∴BC=12cm,
∴BE=(12-2t)cm.
∵EF∥AC,
∴∠BFE=∠A=90°.
∵∠B=30°,
∴EF=
BE=
(12-2t)=(6-t)cm.
∵DC=(6-t)cm,
∴DC=EF.