2．已知曲线y＝2x3上一点A（1,2），则点A处
的切线斜率等于（ ）
A．0 B．2
C．4D．6
解析：
选D Δy＝2（
1＋Δx）3－2×13＝6Δx＋6（Δx）2＋2（Δx）3，＝[2（Δx）2＋6Δx＋6]＝6，故选D.
3．设f（x）存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f（x）上点（1，f
（1））处的切线斜率为（ ）
A．2B．－1
C．1D．－2
解析：
选B
＝＝f′（x）＝－1.
4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P（1,1）处的切线互相垂直，则为（ ）
A.B.
C．－D．－
解析：
选D 由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P（1,1）处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.
5.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐
标分别为（0,4），（2,0），（6,4），则
＝______.
解析：
由导数的概念和几何意义知，
＝f′
（1）＝kAB＝＝
－2.
答案：
－2
6．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为________．
解析：
由导数的定义，得f′（0）＝
＝＝（a·Δx＋b）＝b.
又因为对于任意实数x，有f（x）≥0，
则所以ac≥，所以c>0.
所以＝≥≥＝2.
答案：
2
7．已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0），g（x）＝x3＋bx，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值．
解：
∵f′（x）＝＝＝2ax，
∴f′
（1）＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′（x）＝＝
＝3x2＋b，
∴g′
（1）＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点（1，c）处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
8．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线？
若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：
∵＝＝2x＋Δx，
∴y′＝＝（2x＋Δx）＝2x.
设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0（x－x0）．
又∵切线过点（1，a），且y0＝x＋1，
∴a－（x＋1）＝2x0（1－x0），
即x－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，
∴Δ＝（－2）2－4（a－1）>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是
（－∞，2）．
课时跟踪检测（三）几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
层级一 学业水平达标
1．已知函数f（x）＝x3的切线的斜率等于3，则切线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条D．不确定
解析：
选B ∵f′（x）＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．
2．曲线y＝ex在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）
A．1B．2
C．eD.
解析：
选A 由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|
x＝0＝e0＝1.
3．已知f（x）＝－3x，则f′（
2）＝（ ）
A．10B．－5x
C．5D．－10
解析：
选D ∵f′（x）＝－5x
，∴f′
（2）＝－5×2
×＝－10，故选D.
4．已知f（x）＝xα，若f′（－1）＝－2，则α的值等于（ ）
A．2B．－2
C．3D．－3
解析：
选A 若α＝2，则f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，
∴f′（－1）＝2×（－1）＝－2适合条件．故应选A.
5.曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为（ ）
A．1B．－
C.D.
解析：
选C ∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
6．曲线y＝lnx在点M（e,1）处的切线的斜率是__
______，切线方程为____________．
解析：
∵y′＝（lnx）′＝，∴y′|x＝e＝.
∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0.
答案：
x－ey＝0
7．已知f（x）＝a2（a为常数），g（x）＝lnx，若2x[f′（
x）＋1]－g′（x）＝1，则x＝________.
解析：
因为f′（x）＝0，g′（x）＝，
所以2x[f′（x）＋1]－g′（x）＝2x－＝1.
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
答案：
1
8．设坐标平面上的抛物线C：
y＝x2，过第一象限的点（a，a2）作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：
显然点（a，a2）为抛物线C：
y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a（x－a）．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为（0，－a2）．
答案：
（0，－a2）
9．求下列函数的导数：
（1）y＝x8；
（2）y＝4x；（3）y＝log3x；
（
4）y＝sin；（5）y＝e2.
解：
（1）y′＝（x8）′＝8x8－1＝8x7.
（2）y′＝（4x）′＝4xln4.
（3）y′＝（log3x）′＝.
（4）y′＝（cosx）′＝－sinx.
（5）y′＝（e2）′＝0.
10．已知P（－1,1），Q（2,4）是曲线y＝x2上的两点，
（1）求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程．
（2）求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：
（1）因为y′＝2x，P（－1,1），Q（2,4）都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程：
y－1＝－2（x＋1），即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：
y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0.
（2）因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为：
y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
层级二 应试能力达标
1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选B ∵s′＝t－.∴当t＝4时，
s′＝·＝.
2．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为（ ）
A．2B．ln2＋1
C．ln2－1D．ln2
解析：
选C ∵y＝lnx的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，∴切点为（2，ln2）．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.
3．在曲线f（x）＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为（ ）
A．（1,1）B．（－1，－
1）
C．（－1,1）D．（1,1）或（－1，－1）
解析：
选D 因为f（x）＝，所以f′（x）＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，
即f′（x）＝－＝－1，所以x＝±1，
则当x＝1时，f
（1）＝1；
当x＝－1时，f
（1）＝－1，则点坐标为（1,1）或（－1，－1）．
4．设曲线y＝xn＋1（n∈N*）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为（ ）
A
.B.
C.D．1
解析：
选B 对y＝xn＋1（n∈N
*）求导得y′＝（n＋
1）xn.令x＝1，得在点（1,1）处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点（1,1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（xn－1）．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.
5．与直线2x－y－4＝0平行
且与曲线y＝lnx相切的直线方程是________．
解析：
∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝（lnx）′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln2＝2.
即2x－y－1－ln2＝0.
答案：
2x－y－1－ln2＝0
6．若曲线y＝在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________________．
解析：
∵y′＝，∴切线方程为y－＝（x－a），令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.
答案：
4
7．已知曲线方程为y＝f（x）＝x2，求过点B（3,5）且与曲线相切的直线方程．
解：
设切点P的坐标为（x0，x）．
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′（x0）＝2x0，
∴切线方程为y－x＝2x0（x－x0）．
将点B（3,5）代入上式，得5－x＝2x0（3－x0），
即x－6x0＋5＝0，∴（x0－1）（x0－5）＝0，
∴x0＝1或x0＝5，
∴切点坐标为（1,1）或（5,25），
故所求切线方程为y－1＝2（x－1）或y－25＝10（x－5），
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
8．求证：
双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：
设
P（x0，y0
）为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－（x－x0）．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
课时跟踪检测（四）导数的
运算法则
层级一 学业水平达标
1．已知函数f（x）＝ax2＋c，且f′
（1）＝2，则a的值为（ ）
A．1 B.
C．－1D．0
解析：
选A ∵f（x）＝ax2＋c，∴f′（x）＝2ax，
又∵f′
（1）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数y＝（x＋1）2（x－1）在x＝1处的导数等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选D y′＝[（x＋1）2]′（x－1）＋（x＋1）2（x－1）′＝2（x＋1）·（x－1）＋（x＋1）2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.
3．曲线f（x）＝xlnx在点x＝1处的切线方程为（ ）
A．y＝2x＋2B．y＝2x－2
C．y＝x－1D．y＝x＋1
解析：
选C ∵f′（x）＝l
nx＋1，∴f′
（1）＝1，又f
（1）＝0，∴在点x＝1处曲线f
（x）的切线方程为y＝x－1.
4.已知物体的运动方程为s＝t2＋（t
是时间，s是位移），则物体在时刻t＝2时的速度为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
5．设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
选D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
6．曲线y＝x3－x＋3在点（1,3）处的切线方程为______
__．
解析：
∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.
∴切线方程为y－3＝2（x－1），即2x－y＋1＝0.
答案：
2x－y＋1＝0
7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝_____
___.
解析：
由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
答案：
1
8．已知函数f（x）＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
解析：
∵f′（x）＝－f′sinx＋cosx，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f（x）＝（－1）cosx＋sinx.
∴f＝1.
答案：
1
9．求下列函数的导数：
（1）y＝xsin2x；
（2）y＝；
（3）y＝；（4）y＝cosx·sin3x.
解：
（1）y′＝（x）′sin2x＋x（sin2x）′
＝sin2x＋x·2sinx·（sin
x）′＝sin2x＋xsin2x.
（2）y′＝
＝.
（3）y′＝
＝
＝.
（4）y′＝（cosx·sin3x）′
＝（cosx）′sin3x＋cosx（sin3x）′
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x
＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
10．偶函数f（x）＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P（0,
1），且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f（x）的解析式．
解：
∵f（x）的图象过点P（0,1），∴e＝1.
又∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝
f（x）．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f（x）＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为（1，－1）．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′（x）|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x4－x2＋1.
层级二 应试能力达标
1．若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′
（1）＝2，则f′（－1）等于
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