2019暑假初二升初三数学衔接班精品教材(完整).doc

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暑期初二升初三学案为初三做好准备！

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第一讲一元二次方程的解法

（一）

【基础知识精讲】

1．一元二次方程的定义：

只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：

满足是一元二次方程的条件有：

（1）必须是一个整式方程；

（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）

2．一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）。

其中ax2是二次项，

a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的解法：

⑴直接开平方法：

如果方程（x+m）2=n（n≥0），那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

（2）配方法：

配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：

ax2＋bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：

①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；

③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；

④化原方程为（x+m）2=n的形式；

⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．

注意：

①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x＋4）2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）.

②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：

开平方法→因式分解法→公式法．

【例题巧解点拨】

（一）一元二次方程的定义：

例1：

1、方程①②③④中一元二次方程是.

A.①和②；B.②和③；C.③和④；D.①和③

2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.

A．a≠0B．a≠3

C．a≠1且b≠-1D．a≠3且b≠-1且c≠0

3、若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．

（二）一元二次方程的一般形式：

例2：

一元二次方程的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

（三）一元二次方程的解法:

例3:

判断下列括号里的数哪个是方程的解。

（1）

（2）

例4:

若是关于x的一元二次方程的一个根，

求代数式的值。

例5:

解方程：

用直接开平方法解一元二次方程：

（1）

（2）

（3）（4））

用配方法解一元二次方程：

（1）（2012荆州）

（2）

（3）（4）

例6:

（开放题）关于x的方程一定是一元二次方程吗？

若是，写出一个符合条件的a值。

【随堂练习】

A组

一、填空题:

1.在,,,，,,，，中，是一元二次方程有_________个。

2.关于x的方程是（m2–1）x2+（m–1）x–2=0，那么当m时，方程为一元二次方程；当m时，方程为一元一次方程.

3.把方程化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.

4．关于的x的一元二次方程方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值是___________.

5.;

6.一元二次方程若有两根1和－1,那么________,。

二、按要求解下列方程:

1.（直接开平方法）2.（配方法）

B组

一、填空题:

1.当时,关于x的方程是一元二次方程.

2.如果关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程．

3.已知,当x=_______时,y=0;当y=_______时,x=0.

4.当时,则的解为____________________.

5.方程的解是_______________________

二、用配方法解下列方程:

1.2．

3．4.

三、解答题。

1．（2012昆明）已知a是方程的一个根，试求的值。

2．（学科内综合题）一元二次方程的一个根是1，且a,b满足等式，求此一元二次方程。

家庭作业

校区：

姓名：

_________

科目：

数学第1次课 作业等级：

______

第一部分：

1．（2012教材1+1）下列方程，是一元二次方程的是（）

A.B.C.D.

2.（2007，广州）方程化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.5,6,-8B.5，-6，-8C.5，-6,8D.6,5，-8

第二部分：

3.（2012，哈尔滨）若关于x的方程的一个根是0，则

k=。

4.（2011，山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：

。

5.（2009，丽水）用配方法解方程时，方程的两边同加上，使得方程左边配成一个完全平方式。

第三部分：

6.解下列方程：

（1）（直接开平方法）

（2）（2012，义乌）（用配方法）

（3）（2011，兰州）用配方法解次方程：

7.（2012，潮州）当a为何值时，关于x的方程是一元一次方程？

当a为何值时，原方程是一元二次方程？

第二讲一元二次方程的解法

（二）

【基础知识精讲】

一元二次方程的解法：

⑴直接开平方法：

（2）配方法：

⑶公式法：

公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．

一元二次方程的求根公式是（b2－4ac≥0）

应用求根公式解一元二次方程时应注意：

①化方程为一元二次方程的一般形式；

②确定a、b、c的值；

③求出b2－4ac的值；

④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．

（4）因式分解法：

用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

注意：

①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x＋4）2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）

②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：

开平方法→因式分解法→公式法．

（5）换元法：

【例题巧解点拨】

（一）知识回顾

例1：

对于关于x的方程它的解的正确表达式是（）

A.用直接开平方法，解得B.当时，

C．当时，D.当时，

例2：

用配方法解方程：

（探索求根公式）

（二）用公式法解一元二次方程

例3：

用公式法解方程：

（1）

（2）

练习：

（1）

（2）

（三）用因式分解法解一元二次方程

例4：

利用因式分解解方程：

（1）

（2）

练习：

（1）

（2）

例5：

用适当的方法解下列方程：

（1）

（2）

（3）（4）

【同步达纲练习】

A组

一、按要求解下列方程:

1.（直接开平方法）2.（因式分解法）

3.（配方法）4.（求根公式法）

二、用适当的方法解下列各题:

5．6．

7．8.

三、填空题:

1.方程:

①,②,③,

④,较简便的解法_________。

A.依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法

B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法

C.依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法

D.①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法

2.（2009云南）一元二次方程的解是_____________________。

3．（2012东营）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为。

4．已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x2－6x+5=0的根,三角形的形状为_________。

5.方程的解是_________________________。

B组

一、解下列各方程:

1.2.

二、解答题:

1.当x取何值时，代数式的最大值，并求出这个最大值。

2.比较代数式与的大小。

3.已知最简二次根式与是同二次根式项,且为整数，求关于m的方程的根。

家庭作业

校区：

姓名：

_________

科目：

数学第2次课 作业等级：

______

第一部分：

1．（2010，云南）一元二次方程的解是（）

A．x1=0，x2=B.x1=0，x2=C．x1=0，x2=D．x1=0，x2=

2.（2011，东营）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（）A.1B.2 C.-1D.-2

第二部分：

3.（2012,南充）方程的解是。

4.（2012，青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为。

5.（2010,深圳）用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是。

第三部分：

6.解下列方程：

（1）（2012，新疆）解方程：

．（分别用公式法和因式分解法）

7.（2011，定西）在实数范围内定义运算“”，其法则为：

，求方程（43）的解．

第三讲一元二次方程根的判别式

【基础知识精讲】

1．一元二次方程ax2＋bx+c=0（a≠0）根的判别式:

⑴当时,方程有两个不相等的实数根；

（2）当时,方程有两个相等的实数根；

⑶当时,方程没有实数根。

以上三点反之亦成立。

2．一元二次方程有实数根

注意：

（1）在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；

（2）在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0

（3）证明恒为正数的常用方法：

把△的表达式通过配方化成“完全平方

式+正数”的形式。

【例题巧解点拨】

例1：

一元二次方程求根公式为_________________________（注意条件）.

2.方程的根的情况是（）

A．方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根

C.方程没有实数根D.方程的根的情况与的取值有关

3.若一元二次方程2x（kx－4）－x2＋6＝0无实数根，则k的最小整数值是（）

A.－1B.2C.3D.4

4.若关于x的方程ax2+2（a-b）x+（b-a）=0有两个相等的实数根,则a:

b等于（）

A.-1或2B.1或C.-或1D.-2或1

5.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是（）

A.k>-B.k≥-且k≠0C.k≥-D.k>且k≠0

例2：

已知关于的方程。

（1）求证：

无论取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）当等腰三角形ABC的边长＝4，另两边的长、恰好是这个方程的两根时，

求△ABC的周长。

【同步达纲练习】

A组

一、选择（填空）题：

1.方程中，△=，根的情况是。

2.（2007，巴中）一元二次方程的根的情况为（　　）

Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根

Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根

3.一元二次方程只有一个实数根，则等于（）

A.B.1C.或1D.2

4．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（）

A．恒大于0B．恒小于0C．不小于0D．可能为0

5.一元二次方程有两个相等的实根数，则k的值是．

6.若方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是.

7.若关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值可以是b=，c=．

8.当时，是完全平方式.

三、解答下列各题

9.不解方程，判定下列方程根的情况。

（1）

（2）

10.已知方程，则：

①当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？

②当取什么值时，方程有两个相等的实数根？

③当取什么值时，方程没有实数根？

11.求证：

不论为何值，方程总有两个不相等的实数根。

B组

1.（2009,潍坊）关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（）

A.6B.7C.8D.9

2.（2011,佳木斯）若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数

的图像不经过（）象限。

A.一B.二C.三D.四

3.（2012,荆门）关于x的方程只有一解（相同的解算一解），则

a的值为（）

A.a=0B.a=2C.a=1D.a=0或a=2

4.已知，求的值。

5.设方程有实根，求的值。

6.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0有两个相等的实数根.

试判断此三角形形状，说明理由.

7.如果a,b,c,d都是不为0的实数，且满足等式，求证：

8.阅读材料：

为解方程，我们可以将看着一个整体，然后设=y，①那么原方程可化为，解得。

当y=1时，

，∴，∴；当y=4时，，∴，∴；

故原方程的解为。

解答问题：

（1）上述解答过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了______________法达到解方程的目的，体现了转化思想；

利用以上知识解方程

家庭作业

校区：

姓名：

_________

科目：

数学第3次课 作业等级：

______

第一部分：

1．（2007，成都）下列关于x的一元二次方程中，有两个实数根的是（）

A．B.C．D．

2.（2012，荆门）关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0B.a=2C．a=1D．a=0或a=2

3.（2009，成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A．B.C．D．

4.（2010，潍坊）关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（）A．6B.7C．8D．9

5.（2011，东营）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（）A.1B.2 C.-1D.-2

第二部分：

6.（2008,天津）当m=时，关于x的方程有两个相等的实数根。

7.（2012，北京）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是．

第三部分：

8.（2012，潮州）当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，此时的两个实数根是多少？

第四讲一元二次方程根与系数的关系

【基础知识精讲】

1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：

设是一元二次方程ax2＋bx+c=0（a≠0）的两根，则，

2．设是一元二次方程ax2＋bx+c=0（a≠0）的两根，

则：

时，有

时，有

时，有

3．以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

【例题巧解点拨】

1．探索韦达定理

例1：

一元二次方程的两根为_______________，

求，的值。

2．已知一个根，求另一个根.

例2：

已知2+是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。

3．求根的代数式的值

例3：

设x1，x2是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）x13x24+x14x23；

4．求作新的二次方程

例4：

1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.

　2．已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：

a+1、b+1　

5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

例5：

1、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改为。

2、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足，求m的值。

【同步达纲练习】

A组

1、如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=。

2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：

x1+x2=；x1·x2=；；x21+x22=；（x1+1）（x2+1）=；｜x1－x2｜=。

3、以2和3为根的一元二次方程（二次项系数为1）是_________________。

4、关于x的方程2x2+（m2–9）x+m+1=0，当m=时，两根互为倒数；当m=时，两根互为相反数.

5、若x1=是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a=，该方程的另一个根x2=_____.

6、方程的一个根为另一个根的2倍，则m=.

7、已知方程的两根平方和是5，则=.

8、已知方程的两个根分别是.

9、已知关于x的方程x2－3mx+2（m－1）=0的两根为x1、x2，且，则m=。

10、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍。

11、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，求k的值。

B组

1、（2009茂名）设是关于x的方程的两个实数根，那么是否存在实数k，使得成立？

请说明理由。

2、（2009淄博）已知设是关于x的方程的两个实数根，且，

（1）求，及a的值；

（2）求的值。

家庭作业

校区：

姓名：

_________

科目：

数学第4次课 作业等级：

______

第一部分：

1.（2010年四川省眉山）已知方程的两个解分别为、，则的值为（）