初中数学《不等式与不等式组》单元教学设计以及思维导图.docx

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初中数学《不等式与不等式组》单元教学设计以及思维导图

不等式与不等式组

适用年级

七年级

所需时间

课内9课时，课外２课时

主题单元学习概述

“不等式与不等式组”主题单元结构包括“相关概念”、“探究性质”、“简单应用”三部分,这与课本得内容安排大体相同。

教材得编写顺序就是“一元一次不等式（组）及其相关概念,不等式得性质,一元一次不等式（组）得解法及解集得几何表示,利用一元一次不等式分析、解决实际问题。

教材以实际问题为例引出不等式及其解集得概念,然后类比一元一次方程,引出一元一次不等式得概念。

为进一步讨论不等式得解法,接着讨论了不等式得性质,并运用它们解简单得不等式。

在此基础上,教材从一个选择购物商店问题入手,对列、解一元一次不等式作了进一步得讨论,并归纳一元一次不等式与一元一次方程得异同及应注意得问题。

教材以突出应用为目得。

在教学中我打破教材安排,采用一种专题式设计，主要考虑到知识之间得关联,打破教材得原有安排,把不等式、一元一次不等式（组）等有关得概念放在一起作为专题一集中处理,把不等式性质及其应用作为专题二集中处理,这就是考虑到类比一元一次方程得学习，学完概念后，学习一元一次方程得解法然后学习一元一次方程与实际问题。

运用类比得方法学习不等式与不等式组。

学完一元一次不等式后,就要学习如何解一元一次不等式，很显然要解决这个问题，就要知道解一元一次不等式得依据——不等式得性质。

因此,将这些内容紧密联系,层层递进,易于激发学生得学习兴趣也有利于帮助学生理解知识之间得联系,展示数学知识得整体性。

专题三得简单应用就是考虑到学完知识学生喜欢追问:

学习这些有什么用处呢?

而不等式性质问题恰恰会用到解一元一次不等式（组），而学习解一元一次不等式（组）在实际生活中有什么用处呢？

接着学习实际问题与一元一次不等式（组）,而且学生可以经历从实际问题抽象出数学问题,建立数学模型,应用已有知识解决问题得过程,从而加深对相关知识得理解,提高思维能力。

主题单元规划思维导图

主题单元学习目标

〔知识与技能〕1、了解一元一次不等式（组）及其相关概念;2、理解不等式得性质;3、掌握一元一次不等式（组）得解法并会在数轴上表示解集;4、学会应用一元一次不等式（组）解决有关得实际问题。

〔过程与方法〕1、通过观察、对比与归纳,探索不等式得性质,在利用它解一元一次不等式（组）得过程中，体会其中蕴涵得化归思想;２、经历“把实际问题抽象为一元一次不等式”得过程,体会一元一次不等式（组）就是刻画现实世界中不等关糸得一种有效得数学模型、 　

〔情感、态度与价值观〕1、通过类比一元一次方程得解法从而更好地去掌握一元一次不等式得解法,树立辩证唯物主义得思想方法;２、在利用一元一次不等式（组）解决问题得过程中,感受数学得应用价值，提高分析问题、解决问题得能力。

对应课标

1.理解不等式、一元一次不等式得概念。

2.类比等式得性质探索得出不等式得性质

3.理解掌握不等式得性质,会运用不等式得性质解一元一次不等式（组）,会用数值描述不等式（组）得解集。

进一步体会数形结合思想。

主题单元问题设计

1、举例说明什么就是等式？

类比说出什么就是不等式？

2、不等式得符号有哪些?

３、怎样判断一个式子就是否就是不等式？

4、　举例说明什么就是一元一次方程,类比说出一元一次不等式得概念。

5、　学习了等式得相关概念及性质,如何学习不等式?

6、在运用不等式性质解不等式时应注意什么？

专题划分

专题1：

不等式与一元一次不等式得感念

专题２：

探究不等式得性质

专题3:

应用：

（应用一元一次不等式（组）解决实际问题。

1）用不等式性质解一元一次不等式。

（2）用不等式（组）解决实际问题。

专题一

不等式与一元一次不等式得定义及相关概念

所需课时

课内1课时

专题一概述

本专题就是不等式这一主题得起始专题,进一步学习整个主题得基础。

本专题得内容包括不等式得概念,一元一次不等式得概念、不等式得解与不等式得解集,用数轴表示不等式得解集等基础知识.

本专题得重点不等式、一元一次不等式、不等式得解、解集得概念就是重点,难点不等式解集得理解与表示就是难点。

本专题得主要学习活动包括在学生已有知识与经验得基础上,在老师指导下系统准确地提炼出不等式与一元一次不等式得定义；理解并掌握不等式得解与不等式得解集等概念;　

学生得主要学习成果包括:

理解并掌握不等式、一元一次不等式得定义及相关概念，会借助工具（纸、笔、直尺,几何画板软件等）画出数轴表示不等式得解集

专题学习目标

知识与能力

初步了解不等式及不等式得解得意义。

能够用不等式表示数量关系,会判断一个数就是不就是已知不等式得解。

过程与方法

通过对问题得探索,适当渗透变量知识,让学生发现不等式得解与方程得解得区别。

通过经历实际问题中数量关系得分析抽象过程，体会现实世界各种各样得数量关系,有等量关系也有不等量关系。

情感、态度、价值观

认识到不等式知识在现实生活中得作用,通过讨论、交流得过程体验数学活动充满着探索性与创造性。

专题问题设计

1、 由情景问题引出不等式得概念

2、 通过类比方程得概念得出不等式一元一次不等式得概念,

3、 　不等式得解与解集怎样定义？

所需教学材料与资源

常规资源

作图工具（直尺,三角尺等）

教学支撑环境

多媒体教室,

其　　她

纸笔等

学习活动设计

9.1.1不等式及其解集

[教学目标］　知识与能力

初步了解不等式及不等式得解得意义。

能够用不等式表示数量关系,会判断一个数就是不就是已知不等式得解。

过程与方法

通过对问题得探索，适当渗透变量知识,让学生发现不等式得解与方程得解得区别。

通过经历实际问题中数量关系得分析抽象过程,体会现实世界各种各样得数量关系，有等量关系也有不等量关系。

情感、态度、价值观

认识到不等式知识在现实生活中得作用,通过讨论、交流得过程体验数学活动充满着探索性与创造性。

［重点难点］不等式、一元一次不等式、不等式得解、解集得概念就是重点;不等式解集得理解与表示就是难点。

[教学过程]

一、情景导入[投影１]

一辆匀速行驶得汽车在１1：

2０时距离A地5０千米，要在１2:

00以前驶过A地,车速应该具备什么条件？

题目中有等量关系吗？

没有。

那就是什么关系呢?

从时间上瞧,汽车要在１2：

0０之前驶过Ａ地,则以这个速度行驶50千米所用得时间不到2/３小时,即汽车驶过Ａ地得时间小于2/3小时。

从路程上瞧,汽车要在12:

０0之前驶过A地，则以这个速度行驶２/３小时得路程要超过５0千米，即汽车2/3小时走得路程大于５0千米。

这些就是不等关系。

二、探究新知:

不等式得概念

若设车速为每小时x千米,您能用一个式子表示上面得关系吗?

５0/x＜2/３①　或2／3x＞5②

像①②这样用“>”或“<”号表示大小关系得式子,就是不等式。

我们还见过像a＋2≠a这样用“≠”号表示得式子,也就是不等式。

“>”、“<”、“≠”叫做不等号,不等号也可以写成“≤”、“≥”得形式。

总之,用不等号连接起来得式子叫做不等式。

思考1:

下列式子中哪些就是不等式?

[投影2]

（1）ａ＋b=b+a　（２）-3>－5（3）x≠l

（4）x十3>6　（５）2m

我们瞧到有些不等式不含未知数,有些不等式含有未知数。

类似于一元一次方程,含有一个未知数，并且未知数得次数就是１得不等式,叫做一元一次不等式。

注意:

像①中分母含有未知数得不等式不就是一元一次不等式,这一点与一元一次方程类似。

三、不等式得解与解集

思考2：

[投影3]判断下列数中哪些能使不等式2／3x>50成立:

7６,73，７9，8０,7４、　9,75、1,9０，60

　7６，　7９,80,75、１,90能使不等式2/3ｘ>50成立。

我们把能使不等式成立得未知数得值,叫不等式得解、

我们瞧到不等式得解不就是一个，　您还能找出这个不等式得其她解吗?

它得解到底有多少个？

如７7、81、1０1等等,所有大于75得数都就是这个不等式得解，它得解有无数个。

一般地,一个含有未知数得不等式得所有得解,组成这个不等式得解集。

如所有大于75得数组成不等式2/3x>　50得解集,写作ｘ＞75,这个解集可以用数轴来表示。

o

75

 ﻫ

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求不等式得解集得过程叫做解不等式.

四、能力提升：

例题讲解

例[投影４］在数轴上表示下列不等式得解集:

（1）x>-１;

（2）x≥-１;（3）x＜-１;（4）x≤-1

解

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注意:

１、实心点表示包括这个点,空心点表示不包括这个点;2、步骤:

画数轴,定界点,走方向。

、

五、巩固新知

1、   下列哪些就是不等式x＋3>６得解?

哪些不就是？

-4,－2、５,０,1,2、5,3,3、2,4、8,8,12

2、直接想出不等式得解集,并在数轴上表示出来:

（１）x+3>6（２）2ｘ＜8（3）x－2　>0。

六、归纳总结

1、什么就是不等式？

什么就是一元一次不等式？

2、什么就是不等式得解？

什么就是不等式得解集?

3、怎样表示不等式得解集?

作业:

1、

（1）用不等式表示下列数量关系:

①a比1大；

②x与一3得差就是正数;

③x得4倍与５得与就是负数

（２）在－4,-2,-1,0,1,3中,找出使不等式成立得x值：

（1）x+5　＞３，

（2）3x　<　5

（3）在数轴上表示下列不等式得解集:

①　ｘ<2②ｘ＞-3

（４）不等式x＜5有多少个解?

有多少个正整数解?

评价要点

1.能否用严格得数学语言不等式、一元一次不等式及其解或解集得概念.

2.能否借助工具准确画出不等式得解集.

专题二

探究不等式得性质

所需课时

3课时

专题二概述

一元一次不等式得性质就是本章学习得基础，就是接下来学习一元一次不等式得解法得关键。

通过这一节课得学习,让学生学会

1、探究不等式得基本性质并熟记;　　　

２、能利用不等式得基本性质对不等式进行简单得变形，并能说出每一步变形得依据;

3、培养学生得探究能力与概括问题得能力

教材分析不等式得基本性质就是研究不等式得性质,就是求解不等式得依据。

教材与教案设计本着让学生边尝试边观察,边探索边概括得原则,以便在知识得发生过程中感受知识,在感受过程中接受知识,在接受过程中理解知识,在理解过程中记忆知识。

另外,不等式得三个基本性质在表述上也有区别，学生学习中应提醒她们注意。

尤其就是性质3与前两个性质得区别。

　教学重点:

不等式得基本性质得内容　教学难点:

不等式得基本性质3得探索及应用

教学方法讲授法、探究法、自学释疑法、分组讨论法通过实例得讲授,学生自己发现性质1并概括总结,性质2、3由学生自学、小组讨论后概括,性质3教师适当解释。

性质得应用中体现讲练结合。

专题学习目标　

知识技能:

理解与掌握不等式得基本性质，并会灵活利用其进行变形。

了解一元一次不等式得概念,掌握一元一次不等式得解法运用转化与比较得思想方法,参照一元一次方程得解法得到一元一次不等式得解法,并体会两者得区别与联系。

对一元一次不等式解法得理解

了解一元一次不等式组与它解集得概念

掌握一元一次不等式组得解法,会利用数轴确定其解集

过程与方法:

通过自主探索或试验、归纳得方法，得到不等式基本性质,并会在不等式得变形中正确应用。

一元一次不等式得解法得探索

会利用不等式得基本性质解一些简单得不等式,注意与一元一次方程解法做比较。

一元一次不等式组得解法

让学生经历知识得拓展过程,会应用数轴确定一元一次不等式得解集，感受数形结合得作用,逐步熟悉与掌握数形结合得思想方法。

情感态度与价值观:

通过自主探究体会到不等式与方程得类似与不同之处,感受不等式解法得实际应用,进一步认识到数学就是解决实际问题与进行交流得工具。

能积极参与问题得讨论,经历知识得拓展过程,感受数形结合思想解决问题得作用,养成自主探索学习得习惯

专题问题设计

1、说出一元一次不等式得概念

2、　类比等式得性质猜想不等式得性质？

3、不等式得性质与灯饰得性质有哪些区别？

4、应用不等式得性质熟练解一元一次不等式。

5、通过解一元一次不等式会解一元一次不等式组

６、用数轴怎样表示不等式、不等式组得解集

所需教学材料与资源

常规资源

多媒体课件、实物投影

其　她

练习本、笔等

学习活动设计

一、创设情境,探究问题

在解一元一次方程时,我们主要就是对方程进行变形。

在研究解不等式时,我们同样应先探究不等式得变形规律。

如图13.2.3所示,一个倾斜得天平两边分别放有重物，其质量分别为a与ｂ，从天平实验瞧，显然a>ｂ，

[问题一]:

如果在两边盘内分别加上等量得砝码c,那么天平会发生什么变化？

如果把砝码c拿出来呢?

不等式得性质1如果ａ>b，那么ﻩa+c>b＋c,a-c>b－c

这就就是说，不等式得两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号得方向不变。

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［问题二]：

不等式得两边都乘以（或除以）同一个不为零得数,不等号得方向就是否也不变呢?

[试一试]:

ﻩ将不等式7>4两边都乘以同一个数,比较所得得数得大小,用“＜”或“>”填空:

7×3____＿__4×3,

ﻩ７×2___＿___4×2，

ﻩ7×1_＿__＿＿_4×1,

ﻩ7×0__＿_＿＿_4×0，

ﻩ7×（－1）_____＿_4×（－1）,

７×（－2）＿_＿_＿_＿４×（-2）,

ﻩ７×（－3）______＿4×（－3）,

………………………………………………

从中您能发现什么?

[概括］:

不等式得性质2ﻩ如果a>ｂ,并且c>0，那么ac＞bc。

不等式得性质3如果ａ>ｂ，并且c<０，那么ac＜bc。

ﻩ这就就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号得方向不变;不等式两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号得方向改变。

与解方程一样,解不等式得过程,就就是要将不等式变形成x>a或ｘ

二、应用举例：

例1:

解不等式:

（1）x-７<８ﻩﻩﻩﻩ

（2）3x<2x-3

解

（1）不等式得两边都加上７,不等式得方向不变,所以

ﻩ　x－7＋７<8+7,

得x<15

（2）不等式得两边都减去2x（即加上－２ｘ），不等号得方向不变，所以

ﻩ3x-2ｘ＜2x-3－2ｘ

得ｘ＜-3

例2:

解不等式:

（１）1/2ｘ>－3；

（2）－2x<6。

解:

（1）不等式得两边都乘以2,不等号得方向不变,所以

ﻩ1/2x×2>（-３）×2,

ﻩﻩ得x>-6。

（2）不等式得两边都除以－２（即乘以-1/2）,不等式得方向改变,所以

ﻩ－２x×（-１/2）＞６×（－1/２）,

ﻩ得ﻩ　x＞-3。

三、巩固练习:

1.课本P6０,1、2、３

2、变式训练:

⑴已知：

a>b,那么:

－5ａ    　－5ｂ

５a-4   ５b-7

　　　　-a/7　-ｂ/7

⑵已知：

a< b< ０,比较下列各对数得大小:

　①a－8与ｂ-2　②a＋３与b+9

　③　|a｜与｜b|　　　　　④a2与b２

四、课堂小结:

不等式得3个基本性质：

1.如果a>ｂ,那么ﻩa+c>b＋ｃ，ａ-c>ｂ－ｃ

２．如果a>b,并且c＞０,那么aｃ＞bc。

3.如果a>ｂ，并且c<0,那么ａc

五、布置作业:

根据不等式得基本性质，把下列不等式化成　ｘ<　a或x>　a得形式:

（1）　x－７　>２　

（2）　6x<　５x－　２（3）-ｘ　＜－1

小明在学了不等式得基本性质这一节后,她觉得很容易;并用很快得速度做了一道填空题,结果如下:

（１）若　x﹥y,　则x　－z﹤　ｙ　-z;

（２）　若ｘ﹤０，则　３x　﹤　　5x;

（3）若x﹥ｙ,则　x　z２﹥　y　z2；您同意她得做法吗？

第二课时:

解一元一次不等式

一、复习引入:

1、举例说出一元一次不等式得概念

2、 不等式得性质有哪些？

二、试一试:

解下列不等式

（１）x－7<8　

（2）3x<2x-３（3）1／2x＞-３;（４）－2x<6。

解

（1）ﻩ　ｘ－７+7<8+７，

　　ﻩx＜1５

（２）ﻩ　３x－2x<2x－3-2ｘ

　　x<－3

（3）１/2ｘ×2>（－3）×２，

ﻩ　　　　　　得ﻩｘ>-6。

（4）－2ｘ×（-１／2）>６×（-1/2）,

得ﻩ　　ｘ>-3。

三、例题讲解:

解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来:

（１）2x-1<4ｘ＋13;

（２）2（５x＋3）≤x－3（１-２x）、

解　

（1）２x-１<4ｘ+13，

ﻩ2x－4ｘ<13+1,

ﻩﻩ－２ｘ<14，

ﻩ　　x>-7、

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（2）2（5ｘ+3）≤x-3（１-２x）,

ﻩ　　１０ｘ+6≤x－3＋6x,

ﻩ　　　3x≤－９,

ﻩ　　x≤－3、

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四、综合应用:

当ｘ取何值时,代数式（ｘ+4）／3得值比（３x-1）／2得值大1?

解根据题意,得（x+4）/３-（3x-1）/２>1,

2（ｘ＋4）-3（3x－1）>６,

ﻩﻩ２x+8-9x＋３>６,

ﻩﻩﻩﻩ-7x＋11>６,

ﻩﻩﻩ-7x＞－５,

得x<5/７

所以，当ｘ取小于５/7得任何数时,代数式（x+４）/3得值比（3x－1）/2得值大1。

。

五、小组讨论:

试从例４得解答中总结一下解一元一次不等式得步骤,与您得同伴讨论与交流。

六、巩固练习:

1.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:

（１）2x＋1>3;ﻩﻩﻩ（２）２-ｘ＜1;

（3）2（x+１）<3ｘ;ﻩ（４）3（x+2）≥4（ｘ－１）+７、

２.解不等式：

（2x-3）／3>（3x－2）/2

七、课堂小结:

1.一元一次不等式得概念。

　2．一元一次不等式得解法步骤。

八、布置作业:

1、解不等式（3ｘ+4）／2-3≤７得非负整数解、、

第三课时:

解不等式组

一、创设问题情景,引入新课:

[问题]：

用每分钟可抽30吨水得抽水机来抽污水管道里积存得污水，估计积存得污水在1200吨到1500之间，那么大约需要多少时间才能将污水抽完？

[分析］：

设需要x分钟才能将污水抽完,那么总得抽水量为30ｘ吨。

由题意,积存得污水在1200吨到１5０0吨之间，应有

ﻩﻩ120０≤30x≤１5０0

上式实际上包括了两个不等式

ﻩﻩﻩ30≥1200　　与ﻩ30x≤1500

我们把两个一元一次不等式合在一起,就得到一个一元一次不等式组:

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同时满足不等式①、②得未知数x应就是这两个不等式解集得公共部分。

在数轴上表示这两个不等式得解集（图１3.3.１），可知其公共部分就是40与５0之间得数（包括４0与50）,记作４０≤x≤50。

这就就是所列不等式组得解集。

所提问题得答案为:

大约需要40到5０分钟才能将污水抽完。

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［概括］:

ﻩ几个不等式得解集得公共部分,叫做由它们所组成得不等式组得解集。

ﻩ解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式得解集,再求出它们得公共部分。

利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组得解集。

二、应用举例:

例1：

解不等式组:

　　　　　3ｘ-1>2x+1　　①

　　2x>８　　②

解解不等式①，得ﻩﻩx>2

　　解不等式②,得ﻩﻩx>4

在数轴上表示不等式①、②得解集ﻩ

ﻩ不等式组得解集就是ｘ＞4

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例2:

小明解不等式组    点击打开链接   得过程如下,她解得就是否对?

如果不对,指出错在哪一步,并改正过来。

因为５x-3＞4x+2,且4x+２>3x-２,

所以5ｘ－3＞３x－2、

移项,得5ｘ-3x>-2+３、

　解得x＞1／2、

诊断:

上面得解法套用了解方程组得方法,就是否正确，我们可以在x＞1/２得条件下,任取一个x得值,瞧就是否满足不等式组、如取ｘ＝1,将它代入5x－3＞４ｘ+2,得2＞６（不成立）、可知x>1/2不就是原方程组得解集,其造成错误得原因就是由原不等式组变形为一个新得不等式时,改变了不等式得解集、

　正解:

由5ｘ-3>４x+2，得ｘ＞5、

由4x+2＞３x-2,得ｘ＞-4、

综合x＞5与x＞－4,得原不等式组得解集为x＞５、

三、课堂练习：

教材P66:

2、3、5

解下列不等式组,并把它们得解集在数轴上表示出来。

点击打开链接

四、小结:

1.   一元一次不等式组得概念　

一元一次不等式组得解集有几种情况,如何确定？

评价要点

1.解一元一次不等式时要写明运用了那条性质.

２.强调运用不等式得性质时,应首先认清该数得数性,在决定就是否变号。

当系数中含有字母时,应对系数进行分类讨论。

注意不等式得三条性质就是不等式变形得理论依据。

专题三

实际问题与一元一次不等式（组）

所需课时

课内２课时

专题三概述

本专题就是不等式这一主题得一个重要专题,体现了不等式等知识在现实生活中得一个具体应用。

本专题得内容一元一次不等式与实际问题、一元一次不等式组与实际问题本专题得重点就是用一元一次不等式解决实际问题就是重点;用一元一次不等式组解决有关得实际问题。

［难点.；正确分析实际问题中得不等关系就是难点以及找不等关系

本专题得主要学习活动由老师设置得情景问题引导学生将实际问题转化为数学问题,根据题意找题目得不等关系

学生得主要学习成果包括：

将实际问题转化为数学问题,能根据题意找出题目中得不等关系。

专题学习目标

知识技能：

1.列一元一次不等式解应用题。

2.解不等式在实际问题中得应用。

3.通过对问题得探索,进行简单得实际应用（不等式组）。

过程与方法:

1.一元一次不等式在实际问题中得应用。

2.在实际问题中建立一元一次不等式（组）得数量关系。

.

情感态度与价值观:

通过自主探索研究实际问题中得数量关系，感受不等式解法得实际应用与数学建摸得思想,体会不等式同样就是刻画现实世界得数量关系得重要模型。

进一步认识到数学就是解决实际问题与进行交流得工具。

能积极参与问题得讨论,经历知识得拓展过程,感受数形结合思想解决问题得作用,养成自主探索学习得习惯

专题问题设计

1.说出不等式（组）得概念?

２.归纳总结出列一元一次不等式（组）解应用题得步骤？

所需教学材料与资源

常规资源

作图工具（直尺，三角尺等）

教学支撑环境

多媒体教室,实物投影

其她

练习本、笔

学习活动设计

第一课时:

实际问题与一元一次不等式

一、创设情境，指导示范:

问题1:

一个工程队原定在１０天内至少要挖土６00m3,在前两天一共完成了120m３,由于整个工程调整工期,要求提前两天完成挖土任务。

问以后几天内,平均每天至少要挖土多少m3？

［分析]:

注意分析题中主要得数量关系,理解关键词“至少”得含义。

解：

设以后几天平均每天要挖m3,根据题意得:

问题2:

在“科学与艺术”知