佳一数学春季精英版教案 六年级6 列表法还原法.docx
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佳一数学春季精英版教案六年级6列表法还原法
第6讲列表法、还原法
[教学内容]
《精英版数学思维训练教程》春季版，6年级第6讲“列表法、还原法”。
[教学目标]
知识技能
1．在解决实际问题的过程中，继续体会用列表的方法整理相关信息的作用，感受到列表是解决问题的一种策略。
2．从不同的角度分析问题，培养学生分析问题与解决问题的能力，从而培养学生的创新思维。
数学思考
1．使学生经历用列表的方法整理并解决实际问题的全过程，会通过列表的过程分析数量关系，寻求解决问题的有效方法。
2．经历应用列表法解决实际问题的过程，渗透数学建模的思想方法，感知数学的应用价值。
问题解决
对日常生活中的现象进行观察和思考，引导学生从中发现规律，使学生掌握用列表的方法来解决问题。
情感态度
1．进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验，提高学好数学的自信心；
2．初步建立自我评价与反思的意识；
3．体验数学与生活的联系,培养学生用数学眼光观察生活的习惯。
[教学重点和难点]
教学重点
掌握用列表法和还原法解决问题的方法。
教学难点
从不同的角度分析，体会解题的策略与方法的多样化。
[教学准备]
动画多媒体语言课件、透明玻璃水杯和水
第一课时
教学过程：
教学路径
学生活动
方案说明
一、情境导入
师：
同学们，上课之前我们先来看几个画面：
出示“田忌赛马”、“乌鸦喝水”、“司马光砸缸”。
师：
上面这些都是我们非常熟悉的策略问题，那么策略是什么意思?
生：
方法。
师：
对，好的策略就是好的方法，解决问题的策略就是解决问题的好方法，今天我们就一起来学习解决问题的好方法。
我们知道现实生活中，有大量的数据信息，那怎么来处理这些信息更清楚一些呢？
生：
列表。
师：
非常好，我们要学习的好方法就是用列表法来解决问题。
二、小组合作，解决问题
（一）教学例1
例1：
如图，一条线段将长方形分成两个部分，那么100条线段最多能将长方形分成多少部分？
（1）学生读题，按照要求画一画①
师：
说一说，读题之后打算怎么做？
生：
我先试着画一画。
师：
好啊，你们要画100条吗？
生：
我们先画1条、再画2条、3条，画一画看是否有什么规律？
（2）合作探究，找出规律
教师在黑板上画出前4幅图：
师：
小组讨论，前四幅图的线段将长方形分成的部分有什么变化规律？
生：
通过观察发现前四幅图的线段将长方形分成的部分存在如下规律：
师：
根据你找到的规律说一说，5条线段最多可以将长方形分成几个部分？
6条线段最多将长方形分成几个部分？
你找到了什么规律？
生：
5条线段最多可以将长方形分成：
11+5=16（个）部分；
6条线段最多可以将长方形分成：
16+6=22（个）部分；
（3）师生探讨，找出线段条数与分成部分个数的规律。
师：
根据大家找到的规律，你能说出100条线段最多可以将长方形分成几个部分？
生：
……
师：
为什么算不出来呢？
因为大家找的规律是需要知道前一幅图的线段条数与分成部分个数才能知道后一幅图将长方形分成几个部分，怎么才能知道“有几条线段就求出它们最多分成几个部分”呢？
我们得找出线段条数与分成部分个数的关系。
现在我们根据大家的想法算一算，
教师板书：
0条线段：
1＝1
1条线段：
2＝1+1
2条线段：
4＝1+1+2
3条线段：
7＝1+1+2+3
4条线段：
11＝1+1+2+3+4
师：
现在你又找出了什么规律？
引导学生发现：
n条线段最多有1+1+2+3+4+…+（n－1）＋n个部分。
（4）运用规律，解决问题
师：
根据找到的规律，请你算一算，100条直线有可以将长方形分成多少个部分？
生解答。
1+1+2+3+4+…+100=5051（个）部分。
解析：
（动画顺次填出下表）
答案：
n条线段分成的部分：
1+1+2+3+4+…＋n
100条线段分成的部分：
1+1+2+3+4+…＋100＝5051
答：
100条线段最多能将长方形分成5051个部分。
（5）小结②
师：
本题直接去求100条线段最多能将长方形分成多少部分会比较困难，回忆一下，我们是怎么解决问题的呢？
生：
我们先从最简单的情况入手，探索规律、发现规律、根据发现的规律解决问题。
师：
大家说的非常好，如果遇到问题不知如何下手，我们就可以从最简单的情况出发，看看能不能找到解决问题的思路和灵感，这是一种重要的解决问题策略。
（二）教学例2
例2：
猴子吃桃，第一天吃了总数的一半多1个，第二天吃了剩下的一半少1个，第三天吃了第二天剩下的一半多一个，第四天吃了第三天剩下的一半少1个，第五天吃了第四天剩下的一半多1个，结果还剩10个桃子，那么原来有多少个桃子？
（1）小组合作，分析题意
师：
读完题目后，大家现在组内讨论一下题目的意思，然后汇报交流。
（2）解决问题
师：
说一说，这类题目怎么解决?
生：
画线段图。
师:
请大家小组合作，画出线段图。
根据你画出的线段图，尝试解决问题。
（教师巡视指导）
（3）学生汇报交流
同桌之间互相讲一讲。
解析：
（动画出示解析线段图）
题干“第一天吃了总数的一半多1个”下划线后出示下图
答案：
第4天剩下：
（10+1）×2=22（个）
第3天剩下：
（22-1）×2=42（个）
第2天剩下：
（42+1）×2=86（个）
第1天剩下：
（86-1）×2=170（个）
原来：
（170+1）×2=342（个）
答：
原来有342个桃子。
（三）教学例3
师：
同学们的表现都不错，我们继续来看下面的题目：
例3：
甲、乙两筐各有苹果若干个，先从甲筐取出和乙筐同样多的苹果放入乙筐，再从乙筐取出和这时甲筐同样多的苹果放入甲筐，这时两筐的苹果恰好都是24个。
问两筐苹果原来各有多少个？
（1）学生读题，理解题意
师：
从题目当中你得到了哪些重要信息？
点名生回答。
（2）师生共同分析题目
师：
“从甲筐取出和乙筐同样多的苹果放入乙筐”，这句话是什么意思呢？
生：
也就是乙筐的苹果重量扩大了2倍。
师：
非常好，那么同样的道理“从乙筐取出和这时甲筐同样多的苹果放入甲筐”是什么意思？
生：
也就是使这时甲筐的苹果重量也扩大2倍。
师：
这样变化后，两筐苹果的总重量改变吗？
生：
不变。
师：
是多少呢？
生：
24+24=48（千克）
师：
经过两次变化后，我们知道甲乙两筐的苹果都是24千克，要求甲乙两筐原来苹果的重量，咱们可以怎么办？
生：
从后往前推。
师：
没错！
为了帮助我们清晰地整理思路过程，咱们还可以用列表的方法整理出来，综合起来，我们把这样的方法叫做“列表倒推法”。
（3）学生尝试填表，同桌可以互相交流。
答案：
根据题意列表如下：
变化情况
甲筐
乙筐
原来苹果的个数
30
18
甲倒入乙后
12
36
乙倒入甲后
24
24
题干“这时两筐的苹果恰好都是24千克”涂色然后表中填两个绿色24；
题干“再从乙筐取出和这时甲筐同样多的苹果放入甲筐”涂色下一步表中填12；下一步表中填36；
题干“先从甲筐取出和乙筐同样多的苹果放入乙筐”涂色下一步表中填18；下一步表中填30；下一步
答：
甲筐苹果原来有30千克；乙筐苹果原来有18千克。
（4）点名生汇报情况，其余生评价
教师小结：
看来，解决数学问题的方法不仅多样，还可以综合起来一起用，能够帮助我们更好地解决数学问题。
三、大胆尝试，解决问题
（一）解决拓展问题1
1．自来水公司要铺设50米长的水管，现在只有3米和5米两种水管，要选择这两种水管各几根？
（不许浪费）一共有几种不同选法？
你觉得哪种方案最好？
为什么？
（1）学生交流
师：
说一说，怎样才能不重不漏的确定下一共有多少种选法？
生：
经过交流我们决定列表解决。
（2）学生列表
师：
怎样列表呢？
生1：
我根据3米用多少根列表；
生2：
我根据5米用多少根进行列表。
师：
两位同学说的都非常好，比较一下会发现先确定5米用多少根会更好一些，因为这样试算的次数少。
答案：
答：
一共有4种不同选法。
（二）解决拓展问题3
3.一筐橘子，第一次取出总数的一半又一个，第二次取出余下的一半又一个，第三次取出第二次取出后余下的一半又一个，这时筐里还剩下1个橘子，原来筐里有多少个橘子？
（1）学生独立解答
（2）找学生讲解，其他学生作出适当的评价。
（三）解决拓展问题4
4．有一路公共汽车，包括起点和终点共有12个车站。
如果一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客到这一站以后的每一站下车，问：
公共汽车内最多时有多少位乘客？
（1）学生读题，模拟题意上下车，理解题意
师：
为了方便，我们把这12站分别记为：
起点、第一站、第二站、……第九站、第十站、终点站。
小组探讨一下，说说你对“如果一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客到这一站以后的每一站下车”的含义和题目的意思。
生：
我是这样理解的，比如起点有乘客上车，那么起点后面的每一站都有一人下车，那么起点上车人数就有11人，
同理要求前面上车的人，后面每站都有1人下车，说明第1站上车的人至少是10人．以此类推，第2站需要9人，第3站需要8人…我们看车上什么时候人数最多．当上车人数≥下车人数的时候，车上的人一直在增加，直到相等达到饱和． 我们看到上车的人数从起始站开始，下车的人数也是从起始站开始．列举如下：
解析：
（将12个车站做成按钮，点击按钮出示上车、下车和车上剩下的人数。
）
答案：
（11-0）+（10-1）+（9-2）+（8-3）+（7-4）＋（6-5）=36（位）
答：
公共汽车内最多时有36位乘客。
课堂小结：
同学们，本节课我们主要用列表法来解决一些问题，同学们表现都不错，下面我们先休息一下，一会继续上课。
①学生画图
②让学生独立思考，探索规律，发现规律，通过发现的规律解决问题。
例1运用了不完全归纳法，但需注意：
不完全归纳法得到的结论不一定正确，但确是我们解决问题的一种重要方法。
第二课时
教学过程：
教学路径
学生活动
方案说明
一、过渡
师：
上节课，我们通过几道例题体会了线段图、列表法在解决问题中的重要应用，这节课我们继续，看看还会学到哪些新的方法。
二、小组合作，解决问题
（一）教学例4
例4：
有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中。
这时3桶油正好都是16千克。
问原来每桶中各有油多少千克？
（1）学生读题，理解题意
师：
为了帮助大家理解题意，我们准备了3个装有水的杯子分别记为甲、乙、丙。
大家可以通过操作水杯来理解题目意思。
（学生按照题目意思逐步动手操作，不需要与题目完全相同，只需要理解题目意思即可）
（2）同桌讨论，找出解题思路
师：
刚才我们通过实际操作理解了题目意思，现在考虑，我们需要用什么方法来解决问题呢？
生：
题目中步骤、中间量较多，我们可以列表格来进行梳理。
（3）师生共同分析
师：
从题中你能获得哪些重要信息呢？
我们同学们来先讨论一下（师指明学生来回答）：
生甲：
丙倒完后3桶油正好都是16千克，因此我们“从结果倒着往前推”。
在表中，丙倒完后甲、乙、丙三桶油都是16千克。
而在丙桶未向甲、乙两桶倒油之前，丙桶中有油：
16×2=32（千克）；
丙桶油的一半是16千克，把这16千克平均倒在甲乙两桶中时，倒入每一桶的油是：
16－8=8（千克），所甲、乙两桶中分别有油8千克。
在表中，乙倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油8千克、8千克、32千克。
生乙：
再向前退一步，根据“取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙两桶中”后，乙桶中还剩8千克油，甲桶中有油8千克，丙桶中有油32千克，可以推出原来乙桶中有油8×2＝16千克，乙桶油的一半是：
16÷2=8（千克）
8千克的一半是4千克。
所以，在乙桶未向甲、丙两桶倒油之前，甲桶中有油：
8-4=4（千克）
丙桶中有油：
32-4=28（千克），在表中，甲倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油：
4千克、16千克、28千克。
生丙：
由“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中”之后，甲桶中还剩下4千克油，可以推出甲桶原来有油：
4×2=8（千克）8千克的一半是4千克，4千克的一半是2千克。
由此可推出乙、丙两桶原来分别有油：
16-2=14（千克），28-2=26（千克）
答案：
甲
乙
丙
原来（千克）
8
14
26
甲倒完后（千克）
4
16
28
乙倒完后（千克）
8
8
32
丙倒完后（千克）
16
16
16
第一步：
题干“这时3桶油正好都是16千克”涂色后，表格中最后一行填16,16,16
第二步：
题干“最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中。
”涂色后下一步
表格中倒数第二行填8,8,32
第三步：
题干“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中”涂色后下一步
表格中倒数第三行填4,16,28
第四步：
题干“先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中”涂色后下一步
表格中倒数第四行填8,14,26
答：
原来每桶中各有油8千克、14千克、26千克。
（二）教学例5①
例5：
有两只空水桶，一只可以装水7千克，另一只可以装水5千克。
请你想一想，怎样用这两只水桶量出6千克水？
（1）小组进行讨论，汇报交流
（2）找学生来说一说自己小组的方案
答案：
动画展示过程，配合图表：
（3）小结：
师：
这道“桶分液体”问题要叙述整个倒水过程也很繁杂不便，我们列表来表示具体倒法，列表使倒水的过程一目了然，既有利于对问题的思考，又简化了文字叙述。
（三）教学拓展问题2
2.一只大桶装了10升水，另外有恰好能装3升和7升水的桶各一只。
怎样才能只利用这三只桶把这10升水平均分成两份？
（1）学生小组讨论
（2）尝试解决
解：
此题可以用列表的方法展示倒水的过程如下表：
答：
利用这三只桶，经过上述9次倒水，即可将这桶水平均分成两份。
（四）教学拓展问题5
5.甲、乙、丙、丁三人各有若干棋子，甲拿出自己的棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍；然后乙也把自己棋子的一部分以同样的方式分给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以这种方式给了甲、丁，最后丁也以这种方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16枚。
问：
原来甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？
学生尝试列表解答。
答案：
同学们，今天的课就到这里，我们主要学习了用列表法来解决问题，下节课再见，同学们，下课。
①我们根据题意可以写出以下两个算式：
（1）7×a-5×b=6升
（2）5×a-7×b=6升
这里的a表示的是打满水的次数，而b表示注满水后倒掉的次数，根据上面的式子的特征，我们很快就就可以找到a和b所表示的数，如下面的两个算式：
（1）7×3-5×3=6
（2）5×4－7×2＝6，按照这两个算式很快可以找到两种量出6升水的方法，比较发现两种方法操作次数相同。
答案：
例1：
100条线段最多能将长方形分成5051个部分。
例2：
342个
例3：
甲筐30千克乙筐18千克
例4：
甲8千克、乙14千克、丙26千克
例5:
10次
拓展练习：
1、4种
2、9次
3、22个
4、36位
5、甲30枚乙17枚丙9枚丁8枚
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