答
（1）不相等.前者是数集，有两个元素：
0和1；后者是点集，只有一个元素：
数对（0,1）.
（2）相等.虽然两个集合的代表元素的符号（字母）不同，但实质上它们均表示大于－1且小于2的所有实数，所以这两个集合相等.
知识点四 真子集的概念
定义
符号表示
图形表示
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集
AB（或BA）
知识点五 空集
（1）定义：
不含任何元素的集合叫做空集.
（2）用符号表示为：
∅.
（3）规定：
空集是任何集合的子集.
思考 {0}，∅与{∅}之间有什么区别与联系？
答 {0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此有∅⊆{0}，而{∅}是含有一个元素∅的集合，因此有∅∈{∅}.
知识点六 子集的有关性质
（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
题型一 有限集合的子集确定问题
例1
（1）写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；
（2）已知集合A满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}，求满足条件的集合A.
解
（1）子集为：
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}.
真子集为：
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.
（2）由题意可知，A中一定有a，b，对于c，d可能没有，也可能有1个，故满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}的A有：
{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}.
反思与感悟 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
（1）确定所求集合；
（2）合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
（3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
跟踪训练1 已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.
解 当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.
题型二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系：
（1）A＝{－1,1}，B＝{（－1，－1），（－1,1），（1，－1），（1,1）}；
（2）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
（3）A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
解
（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
（2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
（3）集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.
（4）由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM.
例3 已知集合A＝{x|x＝（2k＋1），k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为（ ）
A.ABB.BA
C.A＝BD.A≠B
答案 C
解析 设x1∈A，则x1＝（2k1＋1），k1∈Z.
当k1＝2n，n∈Z时，x1＝（4n＋1）＝n＋，∴x1∈B；当k1＝2n－1，n∈Z时，x1＝（4n－1）＝n－，∴x1∈B.∴A⊆B.设x2∈B，则x2＝k2±＝（4k2±1），k2∈Z.由于4k2＋1＝2×2k2＋1,4k2－1＝2（2k2－1）＋1，且2k2表示所有的偶数，2k2－1表示所有的奇数，∴4k2±1与2k＋1（k∈Z）一样，都表示所有奇数.
∴x2＝（4k2±1）＝（2k＋1），k∈Z.
∴x2∈A.∴B⊆A.
故A＝B.故选C.
反思与感悟 判断集合与集合关系的常用方法：
（1）一一列举观察.
（2）集合元素特征法：
首先确定“集合的元素是什么”，弄清元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}.①若p（x）推出q（x），则A⊆B；②若q（x）推出p（x），则B⊆A；③若p（x），q（x）互相推出，则A＝B；④若p（x）推不出q（x），q（x）也推不出p（x），则集合A，B无包含关系.（3）数形结合法：
利用数轴或Venn图判断.若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.
跟踪训练2 集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，则M，P，S之间的关系为（ ）
A.SPMB.S＝PM
C.SP＝MD.SP＝M
答案 C
解析 对于M：
x＝3k－2＝3（k－1）＋1，k∈Z，
对于P：
y＝3n＋1，n∈Z，
∴M＝P.
而z＝6m＋1＝3·（2m）＋1，m∈Z，
∴SP＝M，故选C.
题型三 集合相等
例4 已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，若M＝N，求a与b的值.
解 由题意得或
解得或或
又a＝0，b＝0时，M＝{2,0,0}与集合的互异性矛盾，
故舍去.
∴a＝0，b＝1或a＝，b＝.
反思与感悟 由A＝B（或A⊆B）求字母的值时，要注意检验所求出的值是否满足集合中元素的互异性.
跟踪训练3 设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a等于（ ）
A.1B.－1
C.2D.－2
答案 C
解析 因为a≠0，所以a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1.故b－a＝2.
题型四 由集合间的关系求参数范围问题
例5 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围.
解 ∵B⊆A，
（1）当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
（2）当B≠∅时，有
解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}.
反思与感悟 1.求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；2.利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；3.注意空集的特殊性，遇到“B⊆A”时，若B为含字母参数的集合，一定要分“B＝∅”和“B≠∅”两种情形讨论.
跟踪训练4 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
（1）若AB，求a的取值范围；
（2）若B⊆A，求a的取值范围.
解
（1）若AB，由图可知a＞2.
（2）若B⊆A，由图可知1≤a≤2.
忽略空集的特殊性致误
例6 设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的取值集合.
错解 由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝{－1}或{3}.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为{－1，}.
正解 由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝∅或N＝{－1}或N＝{3}.
当N＝∅时，ax－1＝0无解，即a＝0.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为{－1,0，}.
易错警示
错误原因
纠错心得
错解忽略了N＝∅这种情况.
空集是任何集合的子集.解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则.
跟踪训练5 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围.
解 因为A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，B⊆A，
所以B可能为∅，{0}，{－4}，{0，－4}.
①当B＝∅时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0无解.
所以Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，
所以a<－1.
②当B＝{0}时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两个相等的实数根0，
由根与系数的关系，得
解得a＝－1.
③当B＝{－4}时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两个相等的实数根－4，
由根与系数的关系，得
该方程组无解.
④当B＝{0，－4}时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根0和－4，
由根与系数的关系，得
解得a＝1.
综上可得a≤－1或a＝1.
1.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为（ ）
A.4B.7C.8D.16
答案 B
解析 可知A＝{0,1,2}，其真子集为：
∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7（个）.
2.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是（ ）
A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M
答案 A
解析 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.
3.若集合P＝{x|x≤3}，则（ ）
A.－1⊆PB.{－1}∈P
C.∅∈PD.{－1}⊆P
答案 D
解析 ∵P＝{x|x≤3}，∴－1∈P，故{－1}⊆P，故答案为D.
4.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A.1B.2C.3D.4
答案 D
解析 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|05.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x＝________，y＝________.
答案 1 0
解析 因为A＝B，所以x＝0或y＝0.若x＝0，则x2＝0，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去；若y＝0，则x＝x2，得x＝0（舍去）或x＝1，此时A＝B＝{0,1}.所以x＝1，y＝0.
1.对子集、真子集有关概念的理解
（1）集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.
（2）不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
（3）在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：
含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.
3.涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.
一、选择题
1.已知集合A＝{－1,1}，则下列式子表示正确的有（ ）
①1∈A；②{－1}∈A；③∅⊆A；④{1，－1}⊆A.
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 C
解析 正确的是①③④，故选C.
2.已知集合P和Q的关系如图所示，则（ ）
A.P>QB.Q⊆P
C.P＝QD.P⊆Q
答案 B
解析 由图可知Q中的元素都是P中的元素，所以Q是P的子集，故选B.
3.已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（ ）
A.A⊆BB.C⊆B
C.D⊆CD.A⊆D
答案 B
解析 选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形.选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形.选项D错，应是D⊆A.
4.若集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，集合N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则（ ）
A.M＝NB.M⊆N
C.MND.以上均不对
答案 C
解析 由＋＝，k∈Z，＋＝，k∈Z，可知选C.
5.已知集合A＝{x|0A.{c|0C.{c|01}
答案 B
6.已知集合M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是（ ）
A.M>NB.MN
C.NMD.M⊆N
答案 C
解析 因为y＝（x－1）2－2≥－2，
所以M＝{y|y≥－2}，所以NM.
7.若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 由B⊆A，知x2＝3，或x2＝x，
解得x＝±，或x＝0，或x＝1，当x＝1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x＝1舍去.
二、填空题
8.集合{－1,0,1}共有________个子集.
答案 8
解析 由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8个子集.
9.设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，集合N＝{x|mx＝1}，若N⊆M，则实数m的取值集合为________.
答案 {－2,0，}.
解析 集合M＝{3，－}.若N⊆M，则N＝{3}或{－}或∅.于是当N＝{3}时，m＝；当N＝{－}时，m＝－2；当N＝∅时，m＝0.
所以m的取值集合为{－2,0，}.
10.设A＝{x|1答案 {a|a≥2}
解析 因为AB，所以a≥2，
即a的取值范围是{a|a≥2}.
三、解答题
11.设集合A＝{1，a，b}，集合B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2016＋b2016.
解 方法一 ∵A＝B，
∴或
解方程组，得或或a＝1，b为任意实数.
由集合元素的互异性得a≠1，
∴a＝－1，b＝0，故a2016＋b2016＝1.
方法二 由A＝B，可得
即
因为集合中的元素互异，所以a≠0，a≠1.
解方程组，得a＝－1，b＝0.故a2016＋b2016＝1.
12.已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围.
解 当B＝∅时，只需2a＞a＋3,即a＞3.
当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得
或解得a＜－4或2＜a≤3.
综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞2}.
13.已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋（a－1）＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？
若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由.
解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
∵B＝{x|x2－ax＋（a－1）＝0}＝{x|（x－1）[x－（a－1）]＝0}，∴1∈B.
又∵BA，∴a－1＝1，即a＝2.
∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，
∴C＝∅或{1}或{2}或{1,2}.
当C＝{1,2}时，b＝3；
当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，
即b＝±2，此时x＝±（舍去）；
当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，
即－2综上可知，存在a＝2，b＝3或－2
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