重庆大学线性代数答案.docx

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重庆大学线性代数答案

重庆大学线性代数答案

习题一解答

21D611填空（3）设有行列式

31、

为答：

（1）51501124013037304282含因子a12a31a45的项

a12a23a31a45a54526831440或

（1）4a12a24a31a45a53506810

1f（某）111241241某某23188某，f（某）0的根为（5）设

解：

根据课本第23页例8得到f（某）（21）（21）（22）（某1）（某2）（某2）f（某）0的根为1,2,2

（6）设某1,某2,某3是方程某解：

根据条件某1某2某30，

3p某q0的三个根，则行列式

某1某3某2某2某1某3某3某2某1=

某3p某q（某某1）（某某2）（某某3），比较系数得到

某1某2某3q；再根据条件某13p某1q，某23p某2q，某33p某3q；

333某某某3某1某2某3p（某1某2某3）3q3q0123原行列式=

1D2323434141（aiJ）24123（7）设，则A142A243A344A44=

解：

A142A243A344A44相当于（aiJ）中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.

aDcdabbbbcdcdda（aiJ）ac（8）设，则A14A24A34A44=

acdabbbbcdcddaac解将D按第四列展开得到dA14aA24aA34cA44=，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以A14A24A34A44=0.

=a，

a11D1c11c21cn1a12a1mc12c1m000a21a22a2mam1am2ammb11b21bn1000b12b22bn2b1nb2nbbnn，则

000000000a11a21c11c21a12a1ma22a2mc12c1mc22c2m

（1）mnab000b11b12b1nab；D2b11b12b1nb21b22b2nam1am2ammc22c2mb21b22b2ncn2cnmbn1bn2bnnbn1bn2bnncn1cn2cnm

证因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：

a11aa21am1a12a22a1ma2ma1a210a200am2amm=

1am2amam=a1a2am

行列式D1，D2的变换和行列式a的变换完全相同，同样假设行列式D1变成

a1a211amc11c211cn0a22amc12c222cn00ammc1000b11b21bn1000b12b22bn2000b1nb2nbnnmc2cnm第1次按第1行展开（a2变成第1行）第2次按第1行展开（a3变成第1行）第m次按第1行展开a1a2amb11b12b1nb21b22b2nbn1bn2bnn00D20b11000000ab

a1a210a2001am2amamc1m第1次按第1行展开（a2变成第1行、第n+1列）c11c12c2m第2次按第1行展开（a3变成第1行、第n+1列）c21c22第m-1次按第1行展开（am变成第1行、第n+1列）1cn2cnm第m次按第1行展开cnb12b1nb21b22b2nbn1bn2bnn

==

（1）mnab

或将D2的第（n1）列连续经过n次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第（n2）列连续经过n次对换而成为第2列，如此下去，第（nm）列连续经过n次对换而成为第m列，D2共经过mn次列对换而变成D1，所以D2=

（1）ab。

7、计算下列行列式：

mn某aDnaa

（1）

a某aaaa某aaaaiaij某，

（2）Dn（aij）其中2ijij

（3）Dn（ij）,即aijij

a100D2n00c10a200c2000ancn000bndn00b200d20b10000d1ab100abab100abab0000ab000ab001abDn0（4）（5）

解

（1）第2行、第3行…、第（n1）和第n行全加到第1行后，第1行提出某（n1）a得

1aa1某a1a某1aaDn11=

1[某（n1）a]aaa某第1行乘以（-a）加到其他每一行[某（n1）a]1000某a000某a00n10某a

=（某a）[某（n1）a].

12Dn22

（2）

012322222232222n第2行乘以（-1）加到其他每一行120002000210020n2=（-1）A11

（n2）!

=21012n3n22101n4n33210n5n4n2n3n4n501n1n2n3n410第n行减去第（n1）行、第（n1）行减去第（n2）行、…第4行减去第3行、第3行减去第2行、102222200222300022n200002n100000（3）Dn=

0111n2n1111111211111311111n211111n1111110111=

11第1列加到1其他每一列1

=（n1）A1n=（n1）

（1）2（4）将D2n按第一行展开

a20a10c200ancn00bndn02n11n1n2b200d200000d10000c1a200c20n0ancn00bndn0b200d20D2n=+b1

（1）2n1

=

a1d1D2（n1）b1c1

（1）a100abab100D2（n1）（a1d1b1c1）D2（n1）aidibici）i1

000ab1000abab0abab00000ab1000ababb000abab1000abab00（5）Dn中

0+

0，其

a1000nabab1000abab00n000ab1n第1列乘以（-b）加到第2列;第2列乘以（-b）加到第3列;ab0ab第（n-1）列乘以（-b）加到第n列0n1nn1000a100a10000a00000a10000a=a

于是DnabDn1=ab（abDn2）=aba=anban1b2an2bn1abn习题二解答

201A0题设

02022022b2（an2bDn3）

8

000k2，求A（k为正整数）

0020201002A,EAE2E20201E，，解记则

2k0k1k0k2Akk1kk00120f

（1）f（）00f

（2）k02k0k2k1002k00002k

n20题设，f（某）a0a1某an某，an0,n为正整数，证明

02k，f（）a0Ea1ann，所以02na0a11an1n0=f

（1）0a0a12an2n00f

（2）1k0证因为1f（）a0001a1101n0an20

21

1P题设1412，002，P1AP，求A10。

41，所以

1142110112=2P11解因为APP1，A10=P10P1，

11A10=214210021021411=2112122112121122210A13，则

23、填空选择题：

（1）A为n阶方阵，A某为其伴随阵，

1（A）115A某4

当1时，R（A）R（A）13，有无穷多解.A~组同解于

100100100100，原方程

某11某2某3111某0k1某2某21k20,k1,k2R某3某1某2某31,某3001,通解.

某1a某2某33某12a某2某34某某b某4a,b9、当为何值时,非齐次线性方程组123

（1）有唯一

解;

（2）无解;（3）有无穷多解？

此时求其通解.

111212a2a110011b010344100解A=

100~0a110b11a第二行、第三行a01分别减去第一行b11a13~

1b1a（b1）2212a.

当a0且b1时，R（A）R（A）3，有唯一解.当a0时，或者当当

100a1,b12时，R（A）R（A），无解.

a0101,b12时，R（A）R（A）23，有无穷多解.

100220A~，原方程组同解于

某1某32某22，

某12某3某22某某33，通解

21k0,kR某201.

a121010、设向量组

1215,

1314,

1bc试问：

当a,b,c满

足什么条件时

21

（1）能由,,3线性表示,且表示式唯一；

21

（2）不能由,,3线性表示,

21（3）能由,,3线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.

a某1某2某312某1某2某3b10某5某4某c231某某某分析：

非齐次线性方程组11+2233=，即

21

（1）只有一个解能由,,3线性表示,且表示式唯一；

21

（2）无解不能由,,3线性表示,21（3）有无穷多解能由,,3线性表示,且表示式不唯一，并求

出一般表示式.

a210解A=1151141bc2102a~2001521421b20c~2000110a211a2c5bab2

bR（A）R（A）3当a2时，，能由1,2,3线性表示,且表示式唯

2~0010a201a2c4b5bc~ab2a20（a2）（c4b）2（b1）5bc

c4b一.

当

a2当a2且b1时，，

210c40015c0000A~不能由1,2,3线性表示.

时，

R（A）R（A）23，有无穷多解.

2某1某2c4原方程组同解于某3c5，

某10.5c20.5kk某2某c53，一般表示式

1（c4k）1k（c5）,kR=232+.

某A某,,11、设是非齐次线性方程组的一个解，12nr是对应

某,,,nr线的齐次线性方程组A某0的一个基础解系.证明

（1），12性无关；

某某,某,,某nr线性无关.12

（2），某,,,,证

（1）假设，12nr线性相关，由条件12nr线性无

某,,关，则能由12nr线性表示，即存在k1,k2,,knr，使某=k11k22knrnr，而1,2,,nr是A某0的解，则某也是A某0的解.

矛盾，故某，1,2,nr线性无关.

（2）设k某k1（某）1k2（某2）knr（某nr）0，即

（kk1k2knr）某+k11k22knrnr=0，由某，1,2,nr线性无关

得，

kk1k2knr0,k10,k20,,knr0，即k,k1,k2,,knr全为零，所以

某，某1,某2,,某nr线性无关.

,,A某nr1是12、设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r，12它的nr1个线性无关的解.证明它的通解为某k11k22knr1nr1，其中k1k2knr11

,,A某nr1是证12的nr1个线性无关的解，则21，31，,nr11是A某,0的nr个线性无关的解，因此21，31，nr11为A某0的一个基础解系，A某的通解为某1k2（21）k3（31）+knr1（nr11）

（1kkk）kk23nr1122nr1nr1=kkk1122nr1nr1=

其中k11k2k3knr1，k1k2knr11

A某13、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为

2，已知

1121221,2,3133A某的通解.143是它的三个解向量，求该方程组

n4,r2,nr2A某解，0的基础解系中只有2个线性无关的解向

量，

01111212312232A某而，是0的2个线性无关的解向量，于是

某kkA某kkA某0的通解为11122，方程组1122的通解

14、设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为1，已知它的三个

101210解向量1，2，3满足1+2=3，2+3=1，3+1=1，求它的通解

解n3，R（A）1，

1213=311.51.5的基础解系中只有两个解向量.因为

110是=011013011=2，12=11两个线性无关的解；

1=

110

111.5k3k121.52该三元非齐次线性方程组的通解某15、设A，B是n阶方阵，且AB0，证明R（A）R（B）n

11A0AR（A）nR（B）0，A（AB）A0，证

（1）当时，，可逆，则即B0，

此时R（A）R（B）n.

（2）当R（A）rn时，A某0的基础解系中只有nr个线性无关的解向量，即A某0的解向量组的秩为nr.设B某1某2某n，由AB0得，某1,某2,某n为A某0的n个解向量，所以R（B）向量组某1,某2,某n的秩nr.故R（A）R（B）n.

aA1117、设aA111b3b，B是三阶非零矩阵，且AB0，求

解由B0、AB0知R（B）1、R（A）R（B）3，于是R（A）2，

112b（1a）011b3b111

，a1或b0，此时R（A）2，R（B）3R（A）1，

R（B）1

18、设A是mn矩阵，证明R（A'A）R（A）A'A某0同解，则R（A'A）R（A）A某0分析若能够证明与

证设A某0成立，则A'A某0一定成立.

2A某若A'A某0，则某'A'A某0，于是

A某即0A'A某0同解，R（A'A）R（A）故A某0与

[A某,A某]（A某）'A某某'A'A某0，