正弦定理知识点.doc
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1．1．1正弦定理
课上讲解：
1.正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
=2R
其中R为三角形外接圆半径。
2.正弦定理的基本作用：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3.常用变形：
①
②
③
题型一：
已知两角和一边（唯一确定）
例1.已知在.
变式练习1：
1.已知ΔABC，已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:
A.3B.2C.D.
2.已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）
A.8B.4C.4-3D.8-8
3.已知a+b=12，B=450，A=600则a=_____，b=_____
题型二：
已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由y=sinx的性质决定）
例2.在
变式练习1：
变式练习2：
变式练习3：
在中，已知角，则角A的值是
A.B.C.D.或
变式练习4：
在中，若，则A=。
题型三：
外接圆问题
例3.试推导在三角形中===2R其中R是外接圆半径
变式练习1：
在△ABC中，,则k为（）
A2RBRC4RD（R为△ABC外接圆半径）
变式练习2：
在中，，则为（）
A、 B、 C、 D、
变式练习3：
在中，（）
A、 B、
C、 D、
变式练习4：
设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．
题型四：
比例问题
例4.在中,已知判断的形状．
变式练习1：
已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
变式练习2：
△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为（）
A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形
变式练习3：
在三角形ABC中，A为锐角，，则三角形ABC是（）
A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形
例5.在中，三个内角之比，那么等于____
变式练习1：
在△ABC中,
变式练习2：
在△ABC中,A:
B:
C=4:
1:
1,则a:
b:
c=（）
A4:
1:
1B2:
1:
1C:
1:
1D:
1:
1
变式练习2：
在中，B=135，C=15，a=5则此三角形的最大边长为_____
变式练习3：
已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:
5:
6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为________
变式练习4：
在△ABC中,6:
5:
4，则（2b+c）:
（3c+a）:
（a+4b）=_______________
变式练习5：
△的三个内角、、所对的边分别为、、，．求
例6.在中，已知，求的度数
变式练习1：
在△ABC中，若a=2bsinA，则∠B为（）
A.B.C.或D.或
技巧的应用：
例7.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.
（1）求∠A的大小；
（2）若a=，b+c=3，求b和c的值.
变式练习1：
△ABC中，若sin（A+B）sin（A-B）=sin2C，则△ABC是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
变式练习2：
若△ABC的三内角ÐA，ÐB，ÐC满足sinA=2sinCcosB，则△ABC为_______三角形.
变式练习3：
已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.
变式练习4：
在中，，
1）求的值；
2）设,求的面积.
题型五：
面积问题
例8.在△ABC中，,则三角形ABC的面积为
变式练习1：
在△ABC中，b=8，c=，S△ABC=，则∠A等于（）
A.30ºB.60ºC.30º或150ºD.60º或120º
变式练习2：
已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为（）
A．9 B．18C．9 D．18
变式练习3：
若△ABC的三边长分别为4，5，7，则△ABC的面积=，内切圆半径=.
变式练习4：
如图△ABC中，点D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积.
提高题：
1.如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
A
B
C
D
高考真题：
1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在中，角所对的边分别为.若，则
2、（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在中，，则的最大值为.
3、（2011·北京高考理科·T9）在中，若，则；
4、（2011·北京高考文科·T9）在中，若，则=.
5、（2009·广东高考）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝
6、在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．
7、在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是三角形
8、.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于
9、锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是；
10、（浙江高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.求△ABC的面积
11、已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（，－1），n＝（cosA，sinA），若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.
12、（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高
.
13.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）△的三个内角，，所对的边分别为、、，．求；
14、（2011·山东高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.求的值；
15、（2011·湖南高考理科·T17）（12分）在角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.
16、（2011·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c.已知且.（Ⅰ）当时，求的值；
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