《因式分解》各地自主招生试题精选.docx

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《因式分解》各地自主招生试题精选

《因式分解》各地自主招生试题精选

一．选择题（共10小题）

1．已知M=62007+72009，N=62009+72007，那么M，N的大小关系是（　　）

A．M＞NB．M=NC．M＜ND．无法确定

2．已知2x2﹣3xy+y2=0（xy≠0），则

的值是（　　）

A．2，

B．2C．

D．﹣2，

3．若m2=n+2，n2=m+2，（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为（　　）

A．1B．0C．﹣1D．﹣2

4．已知a2（b+c）=b2（a+c）=2015，且a，b，c互不相等，则c2（a+b）﹣2014的值为（　　）

A．0B．1C．2015D．﹣2015

5．已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（　　）

A．一定是非零偶数B．等于零

C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数

6．已知a为实数，且a3+a2﹣a+2=0，则（a+1）8+（a+1）9+（a+1）10的值是（　　）

A．﹣3B．3C．﹣1D．1

7．若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（　　）

A．2011B．2010C．2009D．2008

8．若x3+x2+x+1=0，则x﹣27+x﹣26+…+x﹣1+1+x+…+x26+x27的值是（　　）

A．1B．0C．﹣1D．2

9．已知△ABC的三条长a、b、c满足b+c=8，bc=a2﹣12a+52，则△ABC的形状一定是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．无法确定

10．已知

，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣b）（b﹣c）的值为（　　）

A．1B．2C．3D．4

二．填空题（共8小题）

11．已知a=998，b=997，c=996，则a2﹣ab﹣ac+bc=　　．

12．在有理数范围内分解因式：

（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24=　　．

13．已知

，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=　　．

14．若x+y=﹣1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于　　．

15．日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：

如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：

（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为其中一个六位数的密码．对于多项式4x4y﹣5x2y﹣9y，取x=5，y=5时，用上述方法产生的所有密码中最小的一个是　　．

16．已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，那么

的值是　　．

17．已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=　　．

18．已知正实数x、y、z满足

，则x+y+z+xyz=　　．

三．解答题（共8小题）

19．分解因式：

（1）2x2﹣7x+3

（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8

（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．

20．分解因式：

3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4．

21．若x3+5x2+7x+a有一因式x+1，求a的值，并将原式因式分解．

22．已知（c﹣a）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）=0，求证：

2b=a+c．

23．一个自然数（即非负整数）若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”．例如，16=52﹣32就是一个“好数”．

（1）2014是不是“好数”？

说明理由．

（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？

24．已知x、y、z是整数，且x＜y＜z，求满足

的x、y、z的值．

25．宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a1局，输b1局；二号选手胜a2局，输b2局，…，十号选手胜a10局，输b10局．试比较a12+a22+…+a102与b12+b22+…+b102的大小，并叙述理由．

26．a，b，c为非零实数，a2+b2+c2=1，

，求a+b+c的值．

《因式分解》各地自主招生试题精选

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2011•浙江校级自主招生）已知M=62007+72009，N=62009+72007，那么M，N的大小关系是（　　）

A．M＞NB．M=NC．M＜ND．无法确定

【分析】先用作差法，再根据同底数的幂分别提取公因式，整理计算后判断出正负情况即可得到M、N的大小关系．

【解答】解：

∵M﹣N=62007+72009﹣62009﹣72007，

=62007（1﹣62）+72007（72﹣1），

=48×72007﹣35×62007＞0，

∴M＞N，

故选A．

【点评】本题考查了提公因式法、分组分解法分解因式，比较两个数的大小，求差法是常用的方法之一．

2．（2013•桃源县校级自主招生）已知2x2﹣3xy+y2=0（xy≠0），则

的值是（　　）

A．2，

B．2C．

D．﹣2，

【分析】对等式两边同时除以x2，得

，解方程可得

=1或2，即

=1或

，即得

=2或2

．

【解答】解：

根据题意，2x2﹣3xy+y2=0，且xy≠0，

故有

，

即

，

即得

=1或2，故

=1或

，

所以

=2或2

．

故选A．

【点评】本题主要考查的是利用因式分解法求解方程，要求学生能够熟练掌握这种解题方法．

3．（2014•湖南自主招生）若m2=n+2，n2=m+2，（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为（　　）

A．1B．0C．﹣1D．﹣2

【分析】对原式分析可将原式变形为（n+2）m﹣2mn+n（m+2），对其化简即可得出结果．

【解答】解：

根据题意，原式=（n+2）m﹣2mn+n（m+2）=mn+2m﹣2mn+mn+2n=2（m+n），

又m2=n+2，n2=m+2，故有m2﹣n2=n﹣m，

得m+n=﹣1，

故原式=2（m+n）=﹣2．

故选D．

【点评】本题主要考查的是学生对因式分解的运用及对已知条件的灵活处理，要求学生熟练掌握并应用．

4．（2015•武汉校级自主招生）已知a2（b+c）=b2（a+c）=2015，且a，b，c互不相等，则c2（a+b）﹣2014的值为（　　）

A．0B．1C．2015D．﹣2015

【分析】由a2（b+c）=b2（a+c）=2015得a2（b+c）﹣b2（a+c）=0，左边因式分解可得（a﹣b）（ab+ac+bc）=0，从而有ab+ac+bc=0，结合b2（a+c）=2015知﹣abc=2015，将原式变形可得c2（a+b）﹣2014=﹣abc﹣2014，代入即可得答案．

【解答】解：

∵a2（b+c）=b2（a+c）=2015，

∴a2（b+c）﹣b2（a+c）=0，

a2b+a2c﹣ab2﹣b2c=0，

ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）=0，

（a﹣b）（ab+ac+bc）=0，

∵a，b，c互不相等，即a﹣b≠0，

∴ab+ac+bc=0，

又∵b2（a+c）=2015，即b（ab+bc）=2015，

∴b•（﹣ac）=2015，即﹣abc=2015，

则c2（a+b）﹣2014=c（ac+bc）﹣2014

=c•（﹣ab）﹣2014

=﹣abc﹣2014

=2015﹣2014

=1．

故选：

B．

【点评】本题主要考查因式分解的应用，由a2（b+c）﹣b2（a+c）=0因式分解得（a﹣b）（ab+ac+bc）=0，从而得到﹣abc=2015是解决此题的关键，将已知条件经过变形使其与待求代数式联系到一起是解题的思路．

5．（2008•成都校级自主招生）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（　　）

A．一定是非零偶数B．等于零

C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数

【分析】先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．

【解答】解：

a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab），

已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，

∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，

2（abc﹣ab）是偶数，

∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，

故选：

C．

【点评】本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．

6．（2012•蚌埠自主招生）已知a为实数，且a3+a2﹣a+2=0，则（a+1）8+（a+1）9+（a+1）10的值是（　　）

A．﹣3B．3C．﹣1D．1

【分析】首先对a3+a2﹣a+2=0进行因式分解，转化为（a+2）（a2﹣a+1）=0，因而可得a+2=0或a2﹣a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值．

【解答】解：

∵a3+a2﹣a+2=0，

（a3+1）+（a2﹣a+1）=0，

（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）=0，

（a+1+1）（a2﹣a+1）=0

（a+2）（a2﹣a+1）=0

∴a+2=0或a2﹣a+1=0

①当a+2=0时，即a+1=﹣1，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010=1﹣1+1=1．

②当a2﹣a+1=0，因为a是实数，而△=1﹣4=﹣3＜0，所以a无解．

故选D．

【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．

7．（2008•成都校级自主招生）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（　　）

A．2011B．2010C．2009D．2008

【分析】将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．

【解答】解：

∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，

∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008

=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010

=2010．

故选B．

【点评】本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．

8．（2010•长沙校级自主招生）若x3+x2+x+1=0，则x﹣27+x﹣26+…+x﹣1+1+x+…+x26+x27的值是（　　）

A．1B．0C．﹣1D．2

【分析】对所给的条件x3+x2+x+1=0进行化简，可得x=﹣1，把求得的x=﹣1代入所求式子计算即可得到答案．

【解答】解：

由x3+x2+x+1=0，得x2（x+1）+（x+1）=0，

∴（x+1）（x2+1）=0，而x2+1≠0，

∴x+1=0，

解得x=﹣1，

所以x﹣27+x﹣26+…+x﹣1+1+x+…+x26+x27=﹣1+1﹣1+1﹣…+1﹣1=﹣1．

故选C．

【点评】本题考查了因式分解的应用；对已知条件进行化简得到x=﹣1是正确解答本题的关键，计算最后结果时要注意最后余一个﹣1不能抵消，最后结果为﹣1．

9．（2008•梁子湖区校级自主招生）已知△ABC的三条长a、b、c满足b+c=8，bc=a2﹣12a+52，则△ABC的形状一定是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．无法确定

【分析】先根据b+c=8可得b=8﹣c①，再把①代入bc=a2﹣12a+52中，并进行配方运算，可得（a﹣6）2+（c﹣4）2=0，

结合非负数的性质易求a、c，进而可求b，再利用勾股定理的逆定理易判断此三角形不是直角三角形，从而可知此三角形是等腰三角形．

【解答】解：

由b+c=8可得

b=8﹣c①，

把①代入bc=a2﹣12a+52中得

a2﹣12a+52+c2﹣8c=0，

即a2﹣12a+36+c2﹣8c+16=0，

那么（a﹣6）2+（c﹣4）2=0，

∴a=6，c=4，

且b=4，

∴b=c=4，a=6，

又∵42+42≠62，

∴△ABC是等腰三角形．

故选A．

【点评】本题考查了因式分解的应用、勾股定理的逆定理、非负数的性质，解题的关键是把b=8﹣c代入另一个已知条件中进行配方处理．

10．（2008•大观区校级自主招生）已知

，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣b）（b﹣c）的值为（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】把所给等式的左边进行整理，化简；所给代数式进行化简，可得相应结果．

【解答】解：

∵

，

∴

=3，

∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=3，

∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣b）（b﹣c）=a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=3，

故选C．

【点评】考查代数式的求值，把所给等式的分子整理为和分母以及化简后的所求代数式相关的形式是式子是解决本题的关键．

二．填空题（共8小题）

11．（2014•上海校级自主招生）已知a=998，b=997，c=996，则a2﹣ab﹣ac+bc=　2　．

【分析】利用二二组合分组分解后得到（a﹣b）（a﹣c），代入即可求得代数式的值．

【解答】解：

原式=a（a﹣b）﹣c（a﹣b）

=（a﹣b）（a﹣c）

=（998﹣997）（998﹣996）

=1×2

=2，

故答案为：

2．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对代数式进行因式分解，难度不大．

12．（2012•南充自主招生）在有理数范围内分解因式：

（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24=　（x﹣2）（x+3）（x2+x﹣8）　．

【分析】原式第一项结合相乘后，将x2+x看做一个整体，利用十字相乘法分解即可．

【解答】解：

原式=（x2+x﹣12）（x2+x﹣2）+24

=（x2+x）2﹣14（x2+x）+48

=（x2+x﹣6）（x2+x﹣8）

=（x﹣2）（x+3）（x2+x﹣8）．

故答案为：

（x﹣2）（x+3）（x2+x﹣8）．

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．（2013•天心区校级自主招生）已知

，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=　

m2　．

【分析】根据完全平方公式先把要求的式子进行分解，再把a，b，c的值代入即可得出答案．

【解答】解：

∵

，

∴a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc=（a+b﹣c）2=（

m+1+

m+2﹣

m﹣3）2=

m2；

故答案为：

m2．

【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据完全平方公式把要求的式子进行变形，然后代入．

14．（2011•黄州区校级自主招生）若x+y=﹣1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于　1　．

【分析】首先将x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4式子拆分项、运用完全平方式逐步整理分解，在整理过程中对于出现的x+y用﹣1直接代入计算即可．

【解答】解：

∵x+y=﹣1，

∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，

=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，

=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2﹣2xy]+xy（x+y）+6x2y2，

=[（x+y）2﹣2xy]2+5xy（1﹣2xy）﹣xy+6x2y2，

=（1﹣2xy）2+5xy﹣10x2y2﹣xy+6x2y2，

=1﹣4xy+4x2y2+5xy﹣10x2y2﹣xy+6x2y2，

=1+（﹣4xy+5xy﹣xy）+（4x2y2﹣10x2y2+6x2y2），

=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查因式分解的应用、代数式求值、完全平方式．同学们特别注意在化简过程中，通过运用完全平方式、提取公因式统一用x+y、xy来表示所求代数式．

15．（2008•包河区校级自主招生）日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：

如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：

（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为其中一个六位数的密码．对于多项式4x4y﹣5x2y﹣9y，取x=5，y=5时，用上述方法产生的所有密码中最小的一个是　132657　．

【分析】把4x4y﹣5x2y﹣9y进行因式分解后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入，选择最小的一个即可．

【解答】解：

4x4y﹣5x2y﹣9y=y（4x4﹣5x2﹣9）=y（4x2﹣9）（x2+1）=y（2x+3）（2x﹣3）（x2+1），

当x=5，y=5时，2x+3=13，2x﹣3=7，x2+1=26，

用上述方法产生的密码中最小的一个是132657．

故答案为132657．

【点评】本题考查了因式分解的应用，在解题时要用提公因式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

16．（2007•青岛校级自主招生）已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，那么

的值是　﹣

　．

【分析】由题意多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，将整式（x+2y+m）（2x﹣y+n）相乘，然后根据系数相等求出m和n，从而求解．

【解答】解：

∵多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，

∴（x+2y+m）（2x﹣y+n）=2x2+3xy﹣2y2+（2m+n）x+（2n﹣m）y+mn=2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6，

∴2m+n=﹣1，2n﹣m=8，mn=﹣6，

解得m=﹣2，n=3，

∴

=

=﹣

，

故答案为：

﹣

．

【点评】此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题．

17．（2011•长沙校级自主招生）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=　12499　．

【分析】本题须先根据题意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出结果．

【解答】解：

x2y+xy2=xy（x+y）=66，

设xy=m，x+y=n，

由xy+x+y=17，得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66，

∴m=6，n=11或m=11，n=6（舍去），

∴xy=m=6，x+y=n=11，

x2+y2=112﹣2×6=109，x2y2=36

x4+y4=1092﹣36×2=11809

x4+x3y+x2y2+xy3+y4

=11809+6×109+36

=12499．

故答案为：

12499

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意因式分解的灵活应用．

18．（2011•镇海区校级自主招生）已知正实数x、y、z满足

，则x+y+z+xyz=　36　．

【分析】由ab+a+b+1=（a+1）（b+1）想到从分解因式入手，把每一个方程进行因式分解，分别求出x、y、z的值，代入x+y+z+xyz计算后可得答案．

【解答】解：

∵x+y+xy=8，

∴x+y+xy+1=8+1，

∴（x+1）（y+1）=9，

同理可得：

（y+1）（z+1）=16，

（x+1）（z+1）=36，

解得x=

，y=1，z=7．

∴x+y+z+xyz=

+1+7+

×1×7=36．

故填36．

【点评】本题考查了因式分解的应用；由ab+a+b+1=（a+1）（b+1）想到从分解因式入手，对每个方程进行变形是正确解答本题的关键．

三．解答题（共8小题）

19．（2016•濮阳校级自主招生）分解因式：

（1）2x2﹣7x+3

（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8

（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．

【分析】

（1）利用十字相乘法分解因式即可；

（2）把x2+2x看做一个整体，利用十字相乘法分解即可；

（3）先利用分组分解法分解，再提公因式即可．

【解答】解：

（1）2x2﹣7x+3=（2x﹣1）（x﹣3）；

（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8=（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）=（x+4）（x﹣2）（x+1）2；

（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=（x+5）（x﹣3）﹣a（x+5=（x+5）（x﹣3﹣a）．

【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解法、公式法因式分解是解题的关键．

20．分解因式：

3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4．

【分析】首先将前三项利用十字相乘法分解因式，进而拆项，提取公因式得出即可．

【解答】解：

3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4

=（3x﹣y）（x+2y）+x+9y﹣4

=（3x﹣y）（x+2y）﹣（3x﹣y）+4x+8y﹣4

=（3x﹣y）（x+2y﹣1）+4（x+2y﹣1）

=（3x﹣y+4）（x+2y﹣1）．

【点评】此题主要考查了因式分解，熟练利用十字相乘法以及拆项法因式分解是解题关键．

21．若x3+5x2+7x+a有一因式x+1，求a的值，并将原式因式分解．

【分析】根据x3+5x2+7x+a有一因式x+1于是把原多项式写成（x+1）（x2+mx+n）的形式，然后再求出m，n和a的值．

【解答】解：

设x3+5x2+7x+a=（x+1）（x2+mx+n），

（x+1）（x2+mx+n）=x3+（m+1）x2+（m+n）x+n，

即

，

解得m=4，n=3，a=3，

x3+5x2+7x+3=（x+1）（x2+4x+3）=（x+1）（x+3）（x+1）=（x+1）2（x+3）．

【点评】本题主要考查了因式分解的知识点，解答本题的关键是把原多项式写出（x+1）（x2+ax+b）的形式，此题难度不大．

22．已知（c﹣a）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）=0，求证：

2b=a+c．

【分析】本题需先利用完全平方公式对（c﹣a）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）=0进行整理，最后解得（c+a﹣2b）2=0，即可证出结果．

【解答】解：

∵（c﹣a）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）=0，

∴c2﹣2ac+a2+4ac﹣4ab+4b2﹣4bc=0，

即（c+a）2﹣4b（a+c）+4b2=0

（c+a﹣2b）2=0

∴2b=a+c

【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键．

23．一个自然数（即非负整数）若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”．例如，16=52﹣32就是一个“好数”．

（1）2014是不是“好数”？

说明理由．

（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？

【分析】

（1）根据题意得出是好数，要么是奇数要么