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初中数学竞赛教程

七年级

第一讲有理数

（一）

一、【能力训练点】

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：

3、有理数的本质定义，能表成m（n0,m,n互质）。

n

4、性质：

①顺序性（可比较大小）；

②四则运算的封闭性（0不作除数）；

③稠密性：

任意两个有理数间都存在无数

个有理数。

5、绝对值的意义与性质：

①|a|

a（a0）

②非负性（|a|0,a

2

0）

a（a0）

③非负数的性质：

i）非负数的和仍为非负数。

ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：

1．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的

（）

A.相反数B.倒数C.绝对值D.平

方

2.已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝

对值是2，求x2（abcd）x（ab）2006（cd）2007的值。

3.如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图

所示，那么|ab||ab|化简的结果等于（）

2

A.2aB.2aC.0

D.2b

4.有3个有理数a,b,c，两两不等，那么ab,bc,ca中

bccaab

有几个负数？

5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，ab,a的

形式式，又可表示为

0，b，b的形式，求a2006

b2007。

a

6.三个有理数a,b,c的积为负数，和为正数，且

X

abc

|ab

||bc

||ac|则ax3

bx2

cx1的值是多少？

|a||b||c|

ab

bc

ac

7.若a,b,c为整数，且|ab|2007|ca|20071，试求|ca||ab||bc|

的值。

第二讲有理数

（二）

一、【能力训练点】：

1、绝对值的几何意义

3

①|a||a0|表示数a对应的点到原点的距离。

②

|ab|表示数a、b对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：

1

．若2a0，化简|a2||a2|

2．试化简

|x1|

|x2|

3.若|x5||x2|7，求x的取值范围。

4.已知f（x）|x1||x2||x3|L|x2002|求f（x）的最小值。

5．若|ab1|与（ab1）2互为相反数，求3a2b1的值。

6.如果

abc0

，求

|a

||b

||c

|

的值。

a

b

c

7.x是什么样的有理数时|（x2）（x4）||x2||x4|等式成

立？

4

第三讲有理数（三）

一、【能力训练点】：

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

3、巧算的一般性技巧：

①凑整（凑0）；

②巧用分配律

③

去、添括号法则；

④裂项法

4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：

1．计算：

0.712

6.63

2.2

7

0.7

9

3.3

7

11

7

3

11

8

2．（11

1

L

1）（1

1

1

L

1）（11

1L

1）

（1

1

1

L

1）

2

3

1996

2

3

4

1997

2

3

1997

2

3

4

1996

22

1

32

1

42

1

L

n2

1

3．计算：

Sn2

1

2

1

4

2

1

n

2

1

2

3

4.比较Sn

1

2

3

4

n

的大小。

2

4

8

16

L

2n与2

5

5.计算

（1）1

1

1

1

1

（2）

2

2

L

99

2

4

28

70

130

208

1

3

3

5

101

第四讲代数式

（一）

一、【能力训练点】：

（1）列代数式；

（2）代数式的意义；

（3）代数式的求值（整体代入法）二、【典型例题解析】：

1.求代数式的值：

（1）已知2ab

5，求代数式2（2ab）3（a

b）的值。

ab

ab2a

b

（2）已知x2y25的值是7，求代数式3x6y24的值。

（3）已知1

1

3，求2a

2b

ab的值。

b

a

a

b

2ab

（4）已知：

当x1时，代数式Px3qx1的值为2007，求当x1时，代数式Px3qx1的值。

（5）已知等式（2A7B）x（3A8B）8x10对一切x都成立，求

A、B的值。

6

（6）已知（1x）2（1x）abxcx2dx3，求abcd的值。

（7）当多项式m2m10时，求多项式m32m22006的值。

2.已知多项式2y5x29xy23x3nxy2my7经合并后，不含

有y的项，求2mn的值。

3.当50（2a3b）2达到最大值时，求14a29b2的值。

4.若a,b,c互异，且x

y

，求xyZ的值。

a

bbc

ca

5.已知m2mn15,mnn26，求3m2mn2n2的值。

6.已知abc1，求

a

b

c

的值。

aba1

bcb1

acc1

7.已知ab1，比较M、N的大小。

7

M

1

1

，

N

a

b。

1

a1

b

1

a1b

8.已知x2x10，求x32x1的值。

9.已知x

y

z

K，求K的值。

yz

xz

x

y

10.a355,b444,c533，比较a,b,c的大小。

11.已知2a23a50，求4a412a39a210的值。

第五讲一元一

次方程

（一）

一、【能力训练点】：

1、等式的性质。

2、一元一次方程的定义及求解步骤。

3、一元一次方程的解的理解与应用。

4、一元一次方程解的情况讨论。

二、【典型例题解析】：

1.能否从（a

2）xb3；得到x

b3，为什么？

反之，能

a2

否从x

b3

得到（a

2）xb3，为什么？

a2

8

2.若关于

x

的方程

2kxm

xnk

，无论K为何值时，它

3

6

2

的解总是x1，求m、n的值。

3.若（3x1）5a5x5a4x4La1xa0。

求a5a4a3a2a1a0的值。

4.已知x1是方程1mx3x

1

的解，求代数式（m2

7m9）2007的

2

2

值。

5.关于

6.关于

200（mx）（x2m）

x的方程（2k1）x6的解是正整数，求整数K的值。

x的一元一次方程

（m2

1）x2

（m1）x80求代数式

m的值。

7.解方程x

2

2

x

x

L

x

2006

1

3

3

4

2006

2007

9

8.当a满足什么条件时，关于x的方程|x2||x5|a，①有一解；②有无数解；③无解。

第六讲一元一次方程

（2）

一、【能力训练点】：

1、列方程应用题的一般步骤。

2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）

二、【典型例题解析】

1．要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？

2．一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？

3．某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，

10

剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？

4．一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位

与百位对调，所得的新数与原数之比为7:

4，求原来的三位数？

5．一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的1后，

3

用水加满，第二次倒出它的1后用水加满，这时容器

2

中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。

6.某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，

则有15个人没有座位；如果租用同数量的

60座的

客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租

用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？

租几辆车？

7.有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多

11

只能用多少部A型抽水机抽水？

第七：

段和角

【能力点】：

数段——数角——数三角形

1、直上有n个点，可以得到多少条段？

分析：

点段

21

33=1+2

46=1+2+3

510=1+2+3+4

615=1+2+3+4+5

⋯⋯

n

1+2+3+

⋯

+（n-1）=

nn

1

2

2．如，在∠AOB内部从O点引出两条射OC、

OD，中小于平角的角共有（

）个

（A）3

（B）

4

（C）5

（D）6

12

拓展：

1、在∠AOB内部从O点引出n条射中小于平角的角共有多少个？

射角

1

3=1+2

2

6=1+2+3

3

10=1+2+3+4

⋯⋯

n

1+2+3+

⋯+（n+1）=

n1

n2

2

比：

从O点引出n条射中小于平角的角共有多

少个？

射

角

2

1

3

3=1+2

4

6=1+2+3

5

10=1+2+3+4

⋯⋯

n

1+2+3+

⋯+（n-1）=

nn

1

2

比想：

如，可以得到多少三角形？

（二）与段中点有关的

段的中点定：

文字言：

若一个点把段分成相等的两部分，那么

13

这个点叫做线段的中点

A

M

B

图形语言：

几何语言：

∵M是线段AB的中点

∴AM

BM

1AB，2AM2BMAB

2

【典型例题】：

1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的

是（）

（A）AP=1AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB

2

（D）AP＝PB=1AB

2

2．若点B在直线AC上，下列表达式：

①AB

1AC；②

2

AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．

其中能表示B是线段AC的中点的有（

）

A．1

个

B．2

个

C．3个

D．4个

3.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=1AB;②

2

AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中点的有（）

A.1个B.2个C.3个

D.4个

14

第八讲：

与三角形有关的线段一、【能力训练点】：

1．三角形的边

三角形三边定理：

三角形两边之和大于第三边

即：

△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）

由上式可变形得到：

a>c－b，b>a－c，c>b－a即有：

三角形的两边之差小于第三边

2.高：

由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

3.中线：

连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线

4.角平分线：

三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线

二、【典型例题】

1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是（）

A.1

D.4

已知：

△中，是边上的中线求证：

1

2.ABCADBCAD+BD>

2

（AB+AC）

15

3．已知:

BE,CE分别为△ABC的外角∠MBC,∠

NCB的角平分线,

求:

∠E与∠A的关系

4．已知:

BF为∠ABC的角平分线,CF为外角∠ACG

的角平分线,

求:

∠F与∠A的关系。

16

思考：

如：

∠ABC与∠ACG的平分交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分交于F2；如此下去,∠F2BC与∠F2CG的平分交于F3；⋯探究∠Fn与∠A的关系（n自然数）

第九：

与三角形有关的角一、【能力点】：

（一）三角形内角和定理：

三角形的内角和180°

（二）三角形的外角性定理：

1.三角形的任意一个外角等于与它不相的两个内

角和

2.三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相

的内角

（三）多形内角和定理：

n形的内角和（n2）180多形外角和定理：

多形的外角和360°

17

二、【典型例题】

1．多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，

求多边形的边数。

2．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4中的步骤行走，那么该机器人所走的

总路程为（）

A.6米B.8米C.12米

D.不能确定

第十讲：

二元一次方程组一、【能力训练点】：

1.二元一次方程的定义：

经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。

2、二元一次方程的标准式：

axbyc0a0,b0

3、二元一次方程的解的概念：

使二元一次方程左右两边的值相等的一对x、y的值，叫做这个方程的一个解。

4、二元一次方程组的定义：

18

方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。

二、【典型例题】

1．若下列三个二元一次方程：

3x-y=7；2x+3y=1；

y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（

）

A、k=-4

B

、k=4

C、k=-3

D、k=3

2．已知方程组2a

3b

13的解是a8.3，则方程组

3a

5b

30.9

b1.2

2x

2

3y

1

13的解是（

）

3x2

5y

1

30.9

A．x

8.3

B．x

10.3

C．x

6.3

y

1.2

y

2.2

y

2.2

D．x10.3

y

0.2

4

5

x

13

3．解方程组

y

4

．解方程组

4

5

x

3

y

x:

y

3:

2

1

3x5y

3

2

19

5．字母系数的二元一次方程组：

（1）当a为何值时，方程组ax2y1有唯一的解

3xy3

（2）当m为何值时，方程组

x

2y1有无穷多解

2x

my2

第十一讲：

一元一次不等式一、【能力训练点】：

1．不等式的基本性质

通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。

性质1：

不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。

若a>b，则a+c>b+c（a-c>b-c）。

性质2：

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。

若a>b且c>0，则ac>bc。

性质3：

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负

20

数，不等号方向改变。

若a>b且c<0，则ac

2．同解不等式

如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。

3．一元一次不等式的定义：

像2x76x，3x9等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。

4．一元一次不等式的标准形式

一元一次方程的标准形式：

axb0（a0）或axb0

（a0）。

5．一元一次不等式组的解集确定

若a>b

则

（1）当xa时，则xa，即“大大取大”

xb

（2）当xa时，则xb，即“小小取小”

xib

（3）当xa时，则bxa，即“大小小大取中间”

xb

（4）当xa时，则无解，即“大大小小取不了”

xib

二、【典型例题】：

1．若不等式ax＞b的解集是x＞b

a

，则a的范围是

21

（）

A、a≥0B、a≤0C、a＞0D、a

＜0

2．解关于x的不等式mx23m5xm5

3．若不等式mx2x1和3x50是同解不等式，求m的

值。

4．若不等式组x84x1的解是x>3，则m的取值范围

xm

是（

）

A．m3B．m3

C．m3D．m3

2x

3（x

3）1

5．关于x的不等式组3x

2

有四个整数解，则

4

xa

a的取值范围是（

）

A．11

a

5

B．

4

2

D．11

a

5

4

2

11

a

5

C．

11

a

5

4

2

4

2

6．已知关于x、y的方程组x2ya

1的解适合不等式

xy2a

1

22

2xy1，求a的取值范围.

第十二讲：

一元一次不等式（组）的应用一、【能力训练点】：

1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，

特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。

2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不

等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。

3．能够用分类讨论思想解有关问题。

4．能利用不等式解决实际问题二、【典型例题】

1．m取什么样的负整数时，关于x的方程1x1m的解

2

不小于－3.

23

2．已知x、y满足x2yaxy2a1

0

且x3y

1，求a的

2

取值范围.

3．比较a23a1和a22a5的大小

4．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮