湘教版八年级数学下册第1章直角三角形单元测试题.docx
《湘教版八年级数学下册第1章直角三角形单元测试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湘教版八年级数学下册第1章直角三角形单元测试题.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
湘教版八年级数学下册第1章直角三角形单元测试题
湘教版八年级数学下册第1章直角三角形单元测试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长度是（ ）
A．6B．8C．12D．16
3．如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
A．△ABE≌△ACFB．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDED．D是BE的中点
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是（ ）
A．8B．5
C．
D．10
5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2
，CD＝
，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为
，则符合题意的点P有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
6．若一个直角三角形斜边上的中线长为20，则斜边长为________．
7．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线上一点，PC∥OB，交OA于点C，CD⊥OB于点D.若PC＝3，则CD的长为________．
8．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．
9．如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要添加的条件是________或________．
10．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是_______．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为_____．
12．已知：
如图，在
中，
，垂足为点
，
，垂足为点
，
为
边的中点，连结
、
、
．设
，
，则
的面积为________．
三、解答题
13．如图，∠ACB＝∠CDE＝90°，B是CE的中点，∠DCE＝30°，AC＝CD.求证：
AB∥DE.
14．某地管辖A，B，C，D四个镇，其中C，A，D三个镇在一条直线上，相互两镇之间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从A，C两镇去D镇都需绕到B镇前往．为了发展经济，缩短A，C两镇到D镇的路程，现决定开凿隧道修通A，C两镇直达D镇的公路AD.公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了多少千米？
（参考数据：
＝32，
≈46.65）
15．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，连接AD.
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）若BC＝10，求AB＋AE的长．
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB.
（1）求证：
∠1＝∠2；
（2）过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E，连接AE，BE.求证：
CM＝EM.
17．如图，将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
（1）求证：
AF＋EF＝DE.
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出旋转后的图形，并直接写出
（1）中的结论是否仍然成立．
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③.你认为
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE．
【详解】
解：
∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠C=∠BDF=∠BAD，
∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，
∴∠C=∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选A．
【点睛】
本题的关键是利用已知条件得出等角的余角相等，利用平行线的性质得出角相等.
2．A
【分析】
根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB-BD计算即可得解．
【详解】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵BD=2，
∴BC=2BD=4，AB=2BC=2×4=8，
∴AD=AB-BD=8-2=6．
故选A．
【点睛】
本题考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题关键．
3．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】
∵AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠A=∠A
∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；
∵△ABE≌△ACF,AB=AC
∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°
∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
∵△ABE≌△ACF,AB=AC
∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°
∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；
D.无法判定，错误；
故选D.
4．D
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据尺规作图可知AD平分∠CAB，根据角平分线的性质定理解答即可．
【详解】
解：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，DE⊥AB又，∠ACB=90°，
∴DE=DC，又∠B=45°，
∴DE=BE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10，
故选D．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质以及尺规作图，掌握等腰直角三角形的性质和基本尺规作图是解题关键．
5．A
【解析】
试题解析：
过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4
，CD=2
，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，
∵sin∠ABD=
，
∴AE=AB•sin∠ABD=4
•sin45°=4＞3，
CF=
CD═2＜3，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为3的点2个，
故选A．
6．40
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行计算．
【详解】
解：
直角三角形斜边等于斜边上的中线的2倍，即40．
故答案为:
40
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质．
7．
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠AOP=∠BOP，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OPC=∠BOP，然后求出∠AOP=∠OPC，再根据等角对等边可得OC=PC，然后利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=
OC．
【详解】
解：
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PC∥OB，
∴∠OPC=∠BOP，
∴∠AOP=∠OPC，
∴OC=PC=3，
∵∠AOB=30°，CD⊥OB，
∴CD=
OC=
．
故答案为
．
【点睛】
本题考查平行线是性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题关键．
8．
【分析】
设这个三角形的三边长分别为
，再根据周长可求出x的值，从而可得三边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】
由题意，设这个三角形的三边长分别为
则
解得
则这个三角形的三边长分别为
又
这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为
则它的面积是
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用等知识点，依据勾股定理的逆定理判定出这个三角形为直角三角形是解题关键．
9．AC＝ADBC＝BD
【解析】
【分析】
本题要判定△ABC≌△ABD，已知∠C=∠D=90°，AB=AB，具备了一组边、一组角相等，故添加∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA，BD=BC或AD=AC后可分别根据AAS、HL判定三角形全等．
【详解】
解：
添加∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA，BD=BC或AD=AC．
∵∠C=∠D，∠CAB=∠DAB（∠CBA=∠DBA），AB=AB
∴△ABC≌△ABD（AAS）；
∵∠C=∠D=90°，AB=AB（AD=AC），BD=BC
∴△ABC≌△ABD（HL）．
故答案为:
BC=BD或AC=AD．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．直角三角形
【解析】
【分析】
对等式进行整理，再判断其形状．
【详解】
解：
化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，
故答案为:
直角
【点睛】
本题考查直角三角形的判定：
用勾股定理的逆定理判定．
11．
【详解】
解：
因为∠ABC=90°，AB=3，AC=5，
所以由勾股定理可得：
BC=4，设BE=x，
由折叠可得：
BE=B′E=x，∠CB′E=90°，AE=AB′=3，
所以CE=4-x，CB′=5-3=2，
由勾股定理可得：
所以
解得：
x=
故答案为：
．
【点睛】
本题考查勾股定理、图形折叠的性质．
12．
【分析】
由条件知△ABE和△ABD为直角三角形，且EM，DM分别是他们斜边上的高，证明∠EMD=∠DAC=60°，从而的△DME时边长为2的等边三角形即可得出答案.
【详解】
解：
∵在△ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC
∴△ABE,△ADB为直角三角形，
∴EM,DM分别是他们斜边上的中线，
∴EM=DM=
AB,
∵ME=
AB=MA.
∴∠MAE=∠MEA
∴∠BME=2∠MAE
同理MD=
AB=MA
∴∠MAD=∠MDA
∴∠BMD=2∠MAD
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC=60°
∴△DEM为边长=2的等边三角形，所以S△DEM=
故答案为：
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质及等边三角形面积的计算.
13．证明见解析
【分析】
首先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得
，再由
，可得DE=CB，再有条件AC=CD，∠ACB=∠D，可证明△ABC≌△CED，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠E，根据同位角相等，两直线平行可得到结论．
【详解】
证明：
∵∠CDE=90°，∠DCE=30°
∴
∵B是CE的中点，
∴
∴DE=CB
在△ABC和△CED中
∴△ABC≌△CED
∴∠ABC=∠E
∴AB∥DE.
14．公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了32千米．
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，在直角△ABD中利用勾股定理可求得AD的长，则公路修通以后从A到D比原来缩短的路程即可求解．
【详解】
∵AC2＋AB2＝102＋242＝676，BC2＝262＝676，
∴AC2＋AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝180°－∠BAC＝90°.
在Rt△ABD中，AD＝
＝
＝32（千米），则公路修通以后从A镇到D镇的路程比原来缩短了24＋40－32＝32（千米）．
答：
公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了32千米．
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是正确证明△ABC是直角三角形．
15．
（1）见解析；
（2）AB＋AE＝10.
【解析】
【分析】
（1）如图，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠8=45°，由ED⊥BC可知∠7=∠8=45°，由此得到△DCE为等腰三角形；由角平分线的性质可知AE=DE，由此得到△AED为等腰三角形；同理可得△ABD为等腰三角形；
（2）由于△AED为等腰三角形，△ABD为等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可证明AB+AE=BD+CD=BC，然后就可以求出AB+AE的长．
【详解】
（1）如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°.
又∵ED⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
∴∠7＝∠C＝45°，
∴DE＝DC，
故△DCE为等腰直角三角形．
∵BE是△ABC的角平分线，∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴AE＝DE，
∴△ADE为等腰三角形．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2.
又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE，
∴AB＝DB，
∴△ABD为等腰三角形．
故图中所有的等腰三角形为△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共4个．
（2）由
（1）可知△ADE为等腰三角形，△ABD为等腰三角形，△DCE为等腰三角形，故AB＝DB，AE＝DE＝DC，∴AB＋AE＝DB＋DC＝BC＝10.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数及等量代换的应用是正确解题关键．
16．
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
试题分析：
（1）由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠BCD，我们只需证∠ACM=∠BCH就可得∠1=∠2；而由CM是Rt△ABC斜边上的中线易得AM=CM，由此可得∠ACM=∠A，而由已知易证∠A=∠BCH，从而可得∠ACM=∠BCH；
（2）由CH⊥AB，ME⊥AB可得ME∥CH，由此可得∠E=∠1=∠2，就可得CM=ME.
试题解析：
（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∵CH⊥AB，
∴∠B＋∠BCH＝90°，
∴∠A＝∠BCH.
∵M是斜边AB的中点，
∴CM＝AM，
∴∠A＝∠ACM.
∴∠BCH＝∠ACM.
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，
即∠1＝∠2.
（2）∵CH⊥AB，ME⊥AB，
∴ME∥CH，
∴∠1＝∠E.
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠MED，
∴CM＝EM.
17．
（1）证明见解析；
（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；
【解析】
试题分析：
（1）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案；
（2）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案；
（3）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案．
试题解析：
（1）如图①所示，连接BF，
∵BC=BE，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（2）如图②所示：
延长DE交AC与点F，连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（3）如图③所示：
连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE．
考点：
全等三角形的判定与性质．
升级会员 