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数学技能的学习

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数学技能的学习

一、数学技能的含义及作用

技能是顺利完成某种任务的一种动作或心智活动方式。

它是一种接近自动化的、复杂而较为完善的动作系统，是通过有目的、有方案的练习而形成的。

数学技能是顺利完成某种数学任务的动作或心智活动方式。

它通常表现为完成某一数学任务时所必需的一系列动作的协调和活动方式的自动化。

这种协调的动作和自动化的活动方式是在已有数学知识经历根底上经过反复练习而形成的。

如学习有关乘数是两位数的乘法计算技能，就是在掌握其运算法那么的根底上通过屡次的实际计算而形成的。

数学技能与数学知识和数学才能既有亲密的联络，又有本质上的区别。

它们的区别主要表现为：

技能是对动作和动作方式的概括，它反映的是动作本身和活动方式的纯熟程度；知识是对经历的概括，它反映的是人们对事物和事物之间互相联络的规律性的认识；才能是对保证活动顺利完成的某些稳定的心理特征的概括，它所表达的是学习者在数学学习活动中反映出来的个体特征。

三者之间的联络，可以比拟清楚地从数学技能的作用中反映出来。

数学技能在数学学习中的作用可概括为以下几个方面：

第一，数学技能的形成有助于数学知识的理解和掌握；

第二，数学技能的形成可以进一步稳固数学知识；

第三，数学技能的形成有助于数学问题的解决；

第四，数学技能的形成可以促进数学才能的开展；

第五，数学技能的形成有助于激发学生的学习兴趣；

第六，调动他们的学习积极性。

二、数学技能的分类

小学生的数学技能，按照其本身的性质和特点，可以分为操作技能〔又叫做动作技能〕和心智技能〔也叫做智力技能〕两种类型。

l．数学操作技能。

操作技能是指实现数学任务活动方式的动作主要是通过外部机体运动或操作去完成的技能。

它是一种由各个部分动作按照一定的程序连接而成的外部操作活动方式。

如学生在利用测量工具测量角的度数、测量物体的长度，用作图工具画几何图形等活动中所形成的技能就是这种外部操作技能。

操作技能具有有别于心智技能的一些比拟明显的特点：

一是外显性，即操作技能是一种外显的活动方式；二是客观性，是指操作技能活动的对象是物质性的客体或肌肉；王是非简约性，就动作的构造而言，操作技能的每个动作都必须施行，不能省略和合并，是一种展开性的活动程序。

如用圆规画圆，确定半径、确定圆心、圆规一脚绕圆心旋转一周等步骤，既不能省略也不能合并，必须详尽地展开才能完成圆圆的任务。

2．数学心智技能。

数学心智技能是指顺利完成数学任务的心智活动方式。

它是一种借助于内部言语进展的认知活动，包括感知、记忆、思维和想象等心理成分，并且以思维为其主要活动成分。

如小学生在口算、笔算、解方程和解容许用题等活动中形成的技能更多地是一些数学心智技能。

数学心智技能同样是经过后天的学习和训练而形成的，它不同于人的本能。

另外，数学心智技能是一种符合法那么的心智活动方式，“所谓符合法那么的活动方式是指活动的动作构成要素及其次序应表达活动本身的客观法那么的要求，而不是任意的〞。

这些特性，反映了数学心智技能和数学操作技能的共性。

数学心智技能作为一种以思维为主要活动成分的认知活动方式，它也有着区别于数学操作技能的个性特征，这些特征主要反映在以下三个方面。

第一，动作对象的观念性。

数学心智技能的直接对象不是具有物质形式的客体本身，而是这种客体在人们头脑里的主观映象。

如20以内退位减法的口算，其心智活动的直接对象是“想加法算减法〞或其他计算方法的观念，而非某种物质化的客体。

第二，动作施行过程的内隐性。

数学心智技能的动作是借助内部言语完成的，其动作的执行是在头脑内部进展的，主体的变化具有很强的内隐性，很难从外部直接观测到。

如口算，我们可以直接理解到的是通过学生的外部语言所反映出来的计算结果，学生计算时的内部心智活动动作是无法看到的。

第三，动作构造的简缩性。

数学心智技能的动作不像操作活动那样必须把每一个动作都完好地做出来，也不像外部言语那样对每一个动作都完好地说出来，它的活动过程是一种高度压缩和简化的自动化过程。

因此，数学心智技能中的动作成分是可以合并、省略和简化的。

如20以内进位加法的口算，学生纯熟以后计算时根本没有去意识“看大数〞、“想凑数〞、“分小数〞、“凑十〞等动作，整个计算过程被压缩成一种脱口而出的简单性过程。

三、数学技能的形成过程

1．数学操作技能的形成过程。

数学操作技能作为一种外显的操作活动方式，它的形成大致要经过以下四个根本阶段。

〔1〕动作的定向阶段。

这是操作技能形成的起始阶段，主要是学习者在头脑里建立起完成某项数学任务的操作活动的定向映象。

包括明确学习目的，激起学习动机，理解与数学技能有关的知识，知道技能的操作程序和动作要领以及活动的最后结果等内容。

概括起来讲，这一阶段主要是理解“做什么〞和“怎样做〞两方面的内容。

如画角，这一阶段主要是理解需画一个多少度的角〔即知道做什么〕和画角的步骤〔即怎么做〕，以此给画角的操作活动作出详细的定向。

动作定向的作用是在头脑里初步建立起操作的自我调节机制；通过对“做什么〞和“怎么做〞的理解而明确施行数学活动的程序与步骤，从而保证在操作中更好地掌握其动作的活动方式。

〔2〕动作的分解阶段。

这是操作技能进入实际学习的最初阶段，其作法是把某项数学技能的全套动作分解成假设干个单项动作，在老师的示范下学生依次模拟练习，从而掌握部分动作的活动方式。

如用圆规按照给定的半径画圆，在这一阶段就可把整个操作程序分解成三个部分动作：

①把圆规的两脚张开，按照给定的半径定好两脚间的间隔；②把有针尖的一脚固定在一点上，确定出圆心；③将有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，画出圆。

通过对这三个具有连续性的部分动作的依次练习，即可掌握画圆的要领。

学生在这一阶段学习的方式主要是模拟，一方面根据老师的示范进展模拟；另一方面也可以根据有关操作规那么的文字描绘进展模拟，如根据几何作图规那么对各个动作活动方式的表述进展模拟。

模拟不一定都是被动的和机械的，“模拟可以是有意的和无意的；可以是再造性的，也可以是创造性的。

〞②模拟是数学操作技能形成的一个不可缺少的条件。

〔3〕动作的整合阶段。

在这一阶段，把前面所掌握的各个部分动作按照一定的顺序连接起来，使其形成一个连接而协调的操作程序，并固定下来。

如画圆，在这一阶段就可将三个步骤综合起来形成一体化的操作系统。

这时由于部分动作之间尚处在衔接阶段，所以动作还难以维持稳定性和准确性，动作系统中的某些环节在衔接时甚至还会出现停顿现象。

不过，总的来讲这一阶段动作之间的互相干扰逐步得到排除，操作过程中的多余动作也明显减少，已形成完好而有序的动作系统。

〔4〕动作的纯熟阶段。

这是操作技能形成的最后阶段，在这一阶段通过练习而形成的数学活动方式能适应各种变化情况，其操作表现出高度完善化的特点。

动作之间互相干扰和不协调的现象完全消除，动作具有高度的正确性和稳定性，并且不管在什么条件下全套动作都能流畅地完成。

如这时的画圆，不需要意志控制就能顺利地完成全套动作，并且能充分保证其正确性。

上述分析说明，数学操作技能的形成要经过“定向→分解→整合→纯熟〞的开展过程。

在这一过程中每一个开展阶段都有自己的任务：

定向阶段的主要任务是掌握操作的构造系统和每一个步骤操作的要领；分解阶段的主要任务是对活动的操作系列进展分解，并逐一模拟练习；整合阶段的主要任务是在动作之间建立联络，使活动协调一体化；纯熟阶段的任务那么主要是使整个操作过程高度完善化和自动化。

2．数学心智技能的形成过程。

关于数学心智技能形成过程的研究，人们比拟普遍地采用了原苏联心理学家加里培林的研究成果。

加里培林认为，心智活动是一个从外部的物质活动到内部心智活动的转化过程，既内化的过程。

据此，在这里我们把小学生数学心智技能的形成过程概括为以下四个阶段。

〔1〕活动的认知阶段。

这是数学心智活动的认知准备阶段，主要是让学生理解并记住与活动任务有关的知识，明确活动的过程和结果，在头脑里形成活动本身及其结果的表象。

如学习除数是小数的除法计算技能，在这一步就是让学生回忆并记住除法商不变性质和除数是整数的小数除法法那么等知识，在此根底上明确计算的程序和每一步计算的详细方法，以此在头脑里形成除数是小数除法计算过程的表象。

认知阶段实际上也是一种心智活动的定向阶段，通过这一阶段，学习者可以建立起进展数学心智活动的初步自我调节机制，为后面顺利进展认知活动提供内部控制条件。

这一阶段的主要任务是在头脑里确定心智技能的活动程序，并让这种程序的动作构造在头脑里得到明晰的反映。

〔2〕示范模拟阶段。

这是数学心智活动方式进入详细执行过程的开场，这一阶段学生把在头脑里已初步建立起来的活动程序方案以外显的操作方式付诸执行。

不过，这种执行通常是在老师指导示范下进展的，老师的示范通常是采用语言指导和操作提示相结合的方式进展的，即在言语指导的同时呈现活动过程中的某些步骤。

如计算乘数是两位数的乘法时，一方面根据运算法那么指导运算步骤；另一方面在表述运算规定的同时重点示范用乘数十位上的数去乘被乘数所得的部分积的对位，以此让学生在老师的帮助、指导下顺利地掌握两位数乘多位数计算的活动方式。

在这一阶段，学生活动的执行程度还比拟低，通常停留在物质活动和物质化活动的程度上。

“所谓物质活动是指动作的客体是实际事物，所谓物质化活动是指活动不是借助于实际事物本身，而是以它的代替物如模拟的教具、学具，乃至图画、图解、言语等进展的〞。

③如解答复合应用题，在这一步学生通常就是借助线段图进展分析题中数量关系的智力活动的。

〔3〕有意识的言语阶段。

这一阶段的智力活动分开了活动的物质和物质化的客体而逐步转向头脑内部，学生通过自己的言语指导而进展智力活动，通常表现为一边操作一边口中念念有词。

如两位数加两位数的笔算，在这一步学生往往是一边计算，口中一边念：

一样数位对位，从个位加起，个位满十向十位进1。

很明显，这时的计算过程是伴随着对法那么运算规定的复述进展的。

在这一阶段，学生出声的外部言语活动还会逐步向不出声的外部言语活动过渡，如两位数加两位数的笔算，在本阶段的后期学生往往是通过默想法那么规定的运算步骤进展计算的。

这一活动程度的出现，标志着学生的活动已开场向智力活动程度转化。

〔4〕无意识的内部言语阶段。

这是数学心智技能形成的最后的一个阶段，在这一阶段学生的智力活动过程有了高度的压缩和简化，整个活动过程到达了完全自动化的程度，无需去注意活动的操作规那么就能比拟流畅地完成其操作程序。

如用简便方法计算45＋99×99＋54，在这一阶段学生无需去回忆加法交换律和结合律、乘法分配律等运算定律，就能直接先合并45和54两个加数，然后利用乘法分配律进展计算，即原式＝〔45＋54〕＋99×99＝99×〔1＋99〕＝99×100＝9900，整个计算过程完全是一种流畅的自动化演算过程。

在这一阶段，学生的活动完全是根据自己的内部言语进展考虑的，并且总是用非常简缩的形式进展考虑的，活动的中间过程往往简约得连自己也发觉不到了，整个活动过程根本上是一种自动化的过程。

四、数学技能的学习方法

1．数学操作技能的学习方法。

学习数学操作技能的根本方法是模拟练习法和程序练习法。

前者是指学生在学习中根据老师的示范动作或教材中的示意图进展模拟练习，以掌握操作的根本要领，在头脑里形成操作过程的动作表象的一种学习方法。

用工具度量角的大小、测量物体的长短、几何图形的作图、几何图形面积和体积计算公式推导过程中的图形转化等技能一般都可以通过模拟练习法去掌握。

如推导平行四边形面积计算公式时，把平行四边形转化成长方形的操作技能就可模拟〔人教版〕教材插图〔如下图〕的操作过程去练习和掌握。

小学生的学习更多的是模拟老师的示范动作，所以老师的示范对小学生数学动作技能的形成尤为重要。

老师要充分运用示范与讲解相结合、整体示范与分步示范相结合等措施，让学生准确无误地掌握操作要领，形成正确的动作表象。

所谓程序练习法，就是运用程序教学的原理将所要学习的数学动作技能按活动程序分解成假设干部分的动作先逐一练习，最后将这些部分的动作综合成整体形成程序化的活动过程。

如用量角器量角的度数、用三角板画垂线和平行线、画长方形等技能的学习都可以采用这种方法。

用这种方法学习数学动作技能，分解动作时注意突出重点，重点解决那些难以掌握的部分动作，这样可以有效地进步学习效率。

单靠“死〞记还不行,还得“活〞用,姑且称之为“先死后活〞吧。

让学生把一周看到或听到的新颖事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

这样,即稳固了所学的材料,又锻炼了学生的写作才能,同时还培养了学生的观察才能、思维才能等等,到达“一石多鸟〞的效果。

2．数学心智技能的学习方法。

学生的心智技能主要是通过范例学习法和尝试学习法去获得的。

范例学习法是指学习时按照课本提供的范例，将数学技能的思维操作程序一步一步地展现出来，然后根据这种程序逐步掌握技能的心智活动方式。

整数、小数、分数的四那么计算，课本几乎都提供了计算的范例，学习时只需要根据范例有序地进展计算即可掌握计算方法。

如被除数和除数末尾都有0的除法的简便算法，课本安排了如下范例,学习时只需要明确范例所反映的计算程序和方法，并按照这种程序和方法进展计算即可掌握被除数和除数末尾都有0的除法简便计算的技能。

尝试学习法是指在学习中主要由学生自己去尝试探究问题解决的方法和途径，并在不断修正错误的过程中找出解决问题的操作程序，进而获得数学技能。

这是一种探究式的发现学习法，总结运算规律和性质并运用它们进展简便计算、解答复合应用题、求某些比拟复杂的组合图形的面积或体积等技能都可以运用这种学习方法去掌握。

这种方法较多地运用于题目本身具有较强探究性的变式问题解决的学习，如用简便方法计算1001÷12.5，由于学生在前面已经掌握除法商不变性质，练习时就可通过将除数和被除数部乘以8使除数变成100的途径去实现计算的简便。

尝试学习法虽然有利于培养学生的探究精神和解决问题的才能，但耗时太多，学习时最好是将它和范例学习法结合起来，两种学习方法互为补充，这样数学技能的学习就会更加富有成效。

注：

其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记〞之后会“活用〞。

不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?

尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正进步学生的写作程度,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记〞名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的成效。

①、②冯忠良著?

构造化与定向化教学心理学原理?

，北京师范大学出版社2022年版。

③周玉仁主编?

小学数学教学论?

，中国人民大学出版社2022年版。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

〞我加以肯定说“这是乌云滚滚。

〞当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

〞接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：

“这就是雷声隆隆。

〞一会儿下起了大雨，我问：

“雨下得怎样?

〞幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比拟观察，让幼儿掌握“倾盆大雨〞这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：

“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

〞这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深入，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。

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小学数学教育?

2022年第10期