高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1第三章基本初等函数 341 第1课时.docx

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高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版必修1第三章基本初等函数341第1课时

3．4.1　函数与方程

第1课时　函数的零点

学习目标

　1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数的单调性及图象判断零点个数．

知识点一　函数的零点概念

思考　函数的“零点”是一个点吗？

答案　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f（x）＝0的实数x.实际上是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标．

梳理　

（1）一般地，我们把使函数y＝f（x）的值为0的实数x称为函数y＝f（x）的零点．

（2）方程、函数、图象之间的关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

知识点二　零点存在性定理

思考　函数零点有时是不易求或求不出来的．如f（x）＝lgx＋x.但函数值易求，如我们可以求出f（

）＝lg

＋

＝－1＋

＝－

，f

（1）＝lg1＋1＝1.

那么能判断f（x）＝lgx＋x在区间

内有零点吗？

答案　能．因为f（x）＝lgx＋x在区间（

，1）内是连续的，函数值从－

变化到1，势必在

内某点处的函数值为0.

梳理　函数零点存在性定理

一般地，若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点．

类型一　求函数的零点

例1　函数f（x）＝（lgx）2－lgx的零点为________．

答案　x＝1或x＝10

解析　由（lgx）2－lgx＝0，得lgx（lgx－1）＝0，

∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.

反思与感悟　函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，也就是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．

跟踪训练1　函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________．

答案　4

解析　f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）

＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．

可知零点为±1，－2,3，共4个．

类型二　判断函数零点所在的区间

例2　根据表格中的数据，可以断定方程ex－（x＋2）＝0（e≈2.72）的一个根所在的区间是________.

x

－1

0

1

2

3

ex

0.37

1

2.72

7.40

20.12

x＋2

1

2

3

4

5

答案　（1,2）

解析　令f（x）＝ex－（x＋2），则f（－1）＝0.37－1<0，f（0）＝1－2<0，f

（1）＝2.72－3<0，f

（2）＝7.40－4＝3.40>0.由于f

（1）·f

（2）<0，∴方程ex－（x＋2）＝0的一个根在（1,2）内．

反思与感悟　在函数图象连续的前提下，f（a）·f（b）＜0，能判断在区间（a，b）内有零点，但不一定只有一个；而f（a）·f（b）＞0，却不能判断在区间（a，b）内无零点．

跟踪训练2　若函数f（x）＝3x－7＋lnx的零点位于区间（n，n＋1）（n∈N）内，则n＝________.

答案　2

解析　∵函数f（x）＝3x－7＋lnx在定义域上是单调增函数，

∴函数f（x）＝3x－7＋lnx在区间（n，n＋1）上只有一个零点．

∵f

（1）＝3－7＋ln1＝－4<0，f

（2）＝6－7＋ln2<0，f（3）＝9－7＋ln3>0，

∴函数f（x）＝3x－7＋lnx的零点位于区间（2,3）内，

∴n＝2.

类型三　函数零点个数问题

命题角度1　判断函数零点的个数

例3　求函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2零点的个数．

解　方法一　∵f（0）＝1＋0－2＝－1<0，f

（1）＝2＋lg2－2>0，∴f（x）在（0,1）上必定存在零点．又显然f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2在（－1，＋∞）上为单调增函数，

故函数f（x）有且只有一个零点．

方法二　在同一坐标系下作出h（x）＝2－2x和g（x）＝lg（x＋1）的草图．

由图象知g（x）＝lg（x＋1）的图象和h（x）＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2有且只有一个零点．

反思与感悟　判断函数零点个数的方法主要有

（1）可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．

（2）利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．

跟踪训练3　求函数f（x）＝lnx＋2x－6零点的个数．

解　方法一　由于f

（2）<0，f（3）>0，即f

（2）·f（3）<0，说明这个函数在区间（2,3）内有零点．又因为函数f（x）在定义域（0，＋∞）内是单调增函数，所以它仅有一个零点．

方法二　通过作出函数y＝lnx，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点个数转化为函数y＝lnx与y＝－2x＋6的图象交点的个数．

由图象可知两函数有一个交点，即函数f（x）有一个零点．

命题角度2　根据零点情况求参数范围

例4　f（x）＝2x·（x－a）－1在（0，＋∞）内有零点，则a的取值范围是________．

答案　（－1，＋∞）

解析　由题意可得a＝x－（

）x（x＞0）．

令g（x）＝x－（

）x，该函数在（0，＋∞）上为单调增函数，可知g（x）的值域为（－1，＋∞），故当a＞－1时，f（x）在（0，＋∞）内有零点．

反思与感悟　为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向为

（1）化为常见的基本初等函数．

（2）尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．

跟踪训练4　若函数f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1在区间（－1,0）和（1,2）内各有一个零点，则实数m的取值范围是________．

答案　（－

，－

）

解析　函数f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间（－1,0）和（1,2）内，

即函数f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在（－1,0）内，一个在（1,2）内，

根据图象列出不等式组

解得

∴－

＜m＜－

，

∴实数m的取值范围是（－

，－

）．

1．函数f（x）＝2x2－3x＋1零点的个数是________．

答案　2

解析　∵Δ＝9－4×2×1＝1>0，

∴f（x）有两个零点．

2．函数f（x）＝x2－2x的零点是________．

答案　0,2

解析　令x2－2x＝0，得x＝0，x＝2，

∴零点为0,2.

3．若函数f（x）的图象在R上连续不断，且满足f（0）<0，f

（1）>0，f

（2）>0，对于下面的判断：

①f（x）在区间（0,1）上一定有零点，在区间（1,2）上一定没有零点；

②f（x）在区间（0,1）上一定没有零点，在区间（1,2）上一定有零点；

③f（x）在区间（0,1）上一定有零点，在区间（1,2）上可能有零点；

④f（x）在区间（0,1）上可能有零点，在区间（1,2）上一定有零点．

正确的说法是________．（填序号）

答案　③

4．若f（x）＝x＋b的零点在区间（0,1）内，则b的取值范围为________．

答案　（－1,0）

解析　f（0）·f

（1）<0，即b（b＋1）<0，

∴－1

5．函数f（x）＝x3－（

）x零点的个数是________．

答案　1

1．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图象交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图象与x轴交点的横坐标．

2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：

（1）函数是连续的；

（2）定理不可逆；（3）至少存在一个零点．

3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：

（1）用定理；

（2）解方程；（3）用图象．

4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．

课时作业

一、填空题

1．下列图象表示的函数中没有零点的是________．

答案　①

解析　②③④的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，①的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．

2．设函数f（x）＝

若f（－4）＝0，f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为________．

答案　2

解析　根据f（－4）＝0，f（－2）＝－2，易求得b＝5，c＝4，故f（x）＝

所以当x≤0时，方程f（x）＝x为x2＋4x＋4＝0，此方程有两个相等的实根，即x1＝x2＝－2，当x>0时x＝2也是方程f（x）＝x的解，故方程f（x）＝x的解的个数为2.

3．已知函数f（x）＝

－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是________．

①（0,1）；②（1,2）；③（3,4）；④（4，＋∞）．

答案　③

解析　由题意知，函数f（x）在（0，＋∞）上为单调减函数．f（3）＝2－log23＞0，f（4）＝

－log24＝

－2＝－

＜0.由零点存在性定理可知函数f（x）在区间（3,4）上必存在零点．

4．若a>3，则函数f（x）＝x2－ax＋1在区间（0,2）上恰好有________个零点．

答案　1

解析　由于f（0）＝1，

>1，f

（2）＝5－2a<0，则函数f（x）的大致图象如图所示，在（0,2）上恰好有1个零点．

5．已知x0是函数f（x）＝2x＋

的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则f（x1）·f（x2）________0.（填>，＝，<）

答案　<

解析　方法一　由f（x）＝0得2x＋

＝0，∴2x＝

.

在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝

的图象（图略），观察图象可知，当x1∈（1，x0）时，y1

当x2∈（x0，＋∞）时，y1>y2，∴f（x1）<0，f（x2）>0.

方法二　∵函数y＝2x，y＝

在（1，＋∞）上均为单调增函数，∴函数f（x）在（1，＋∞）上为单调增函数，

∴由x1∈（1，x0），f（x0）＝0得f（x1）

由x2∈（x0，＋∞），f（x0）＝0得f（x2）>f（x0）＝0.

6．若函数f（x）在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在（0，＋∞）上是单调减函数，f

（2）＝0，则函数f（x）的零点是________．

答案　－2或2

解析　f（x）在（0，＋∞）上是单调减函数，f

（2）＝0，

所以f（x）在（0，＋∞）上有且仅有一个零点2.

又f（x）是偶函数，所以f（x）在（－∞，0）上有且仅有一个零点－2.

因此函数f（x）有两个零点－2与2.

7．若函数f（x）＝mx－1在（0,1）内有零点，则实数m的取值范围是________．

答案　（1，＋∞）

解析　f（0）＝－1，要使函数f（x）＝mx－1在（0,1）内有零点，需f

（1）＝m－1>0，即m>1.

8．若函数f（x）＝3x2－5x＋a的一个零点在区间（－2,0）内，另一个零点在区间（1,3）内，则实数a的取值范围是________．

答案　（－12,0）

解析　根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．

由图可知

即

解得－12＜a＜0.

9．函数f（x）＝

的零点是________．

答案　－2,1

解析　当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lgx＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f（x）的零点是－2,1.

10．已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．

答案　（

，1）

解析　画出函数f（x）的图象，如图所示．若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则函数f（x），g（x）的图象有两个交点，由图可知k＞

，且k＜1.

二、解答题

11．设函数f（x）＝ex－m－x，其中，x∈R，当m＞1时，判断函数f（x）在区间（0，m）内是否存在零点．

解　∵f（x）＝ex－m－x，∴f（0）＝e－m－0＝e－m＞0，f（m）＝e0－m＝1－m，又∵m＞1，∴f（m）＜0，∴f（0）·f（m）＜0.∵函数f（x）的图象在区间（0，m）上是一条连续的曲线，∴函数f（x）＝ex－m－x（m＞1）在区间（0，m）内存在零点．

12．已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x2－2x.

（1）写出函数y＝f（x）的解析式；

（2）若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

解　

（1）当x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），

∵y＝f（x）是奇函数，

∴f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－2（－x）]＝－x2－2x，

∴f（x）＝

（2）当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，最小值为－1；当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－x2－2x＝1－（x＋1）2，最大值为1.

∴据此可作出函数y＝f（x）的图象，如图所示，

根据图象得，若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，

则a的取值范围是（－1,1）．

13．已知函数f（x）＝

函数g（x）＝3－f（2－x），求函数y＝f（x）－g（x）零点的个数．

解　由题意知y＝f（x）＋f（2－x）－3，

因为f（x）＝

f（2－x）＝

所以f（x）＋f（2－x）＝

在同一坐标系中分别画出函数y＝f（x）＋f（2－x），y＝3的图象，观察图象可知，函数y＝f（x）－g（x）只有两个零点．