第八届华中地区大学生数学建模邀请赛.docx

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第八届华中地区大学生数学建模邀请赛

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承诺书

我们仔细阅读了第八届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们的参赛报名号为：

参赛队员（签名）：

队员1：

队员2：

队员3：

武汉工业与应用数学学会

第八届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会

第八届华中地区大学生数学建模邀请赛

编号专用页

选择的题号：

参赛的编号：

第八届华中地区大学生数学建模邀请赛

葡萄酒评价

【摘要】

本文主要解决了葡萄酒中的一些问题，对于问题一，由于要我们分析评酒员的评价结果有无显著性差异，所以我们通过t检验可判断出结果无显著性差异。

同时通过方差分析可知红、白葡萄酒均是第二组品尝评分更合理。

关于问题二，我们可以采用主成分分析法和因子分析法得到两种排名的名次之和。

将名次之和作为对酿酒葡萄分级的主要依据，来反映葡萄的质量。

并根据名次之和来划分酿酒葡萄等级。

对于问题三，可以采用因子分析法结合相关系数来解决。

可以得到两者的相关系数和回归方程。

从而可以分析两者之间的联系。

关于问题四，利用逐步线性回归法和进入线性回归法，来分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。

关键词：

t检验方差分析主成分分析法因子分析法相关系数SPSS回归方程逐步线性回归法进入线性回归法

1.问题重述

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。

每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。

酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。

附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。

请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1.分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

2.根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

3.分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

2.问题分析

（一）问题一

针对问题一中的两组评酒员的评价结果有无显著性差异，我们在SPSS中利用T检验去判断。

通过比较两组的方差图来判断哪一组的结果更可信。

（二）问题二

问题二本质就是分类问题。

对该问题，可以采用主成分分析法结合因子分析法，确定主成分，结合问题一所得出的葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行综合评价并分级。

（三）问题三

通过问题二可以得到红，白酿酒葡萄相关显著性整合后的各种理化指标，然后对酿酒葡萄和葡萄酒的相关性进行分析，建立多元回归方程。

采用因子分析法对于两者的关系进行分析。

（四）问题四

因为数据过多，对数据进行筛选，用SPSS进行相关性分析。

得到一些自变量，将质量设为因变量，对它们进行多元线性拟合，最后得到一个多元回归方程。

3.模型假设与符号说明

模型假设

1.假设评酒员给出的数据都是真实可靠的。

2.每个品酒员都是公正的，品酒时无偏爱喜好因素影响。

3.假设各指标之间没有联系，独立分开。

符号说明

SS方差

df自由度

MS标准差

F统计量

FcritF临界值

SigF值实际显著性概率

对应的主成分值

G总主成分值

因变量

自变量

自变量

Xi随机变量

Y随机变量

R样本相关系数

B非标准化系数

4.模型的建立与求解

问题1的模型建立与求解：

这一问要我们评价两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信，利用SPSS软件，用t检验法进行检验，看他们的评价结果是否有显著性差异。

然后计算出每组评酒员对每种葡萄酒的总评分的置信区间，评分处于置信区间内的人次百分比较高的一组可信度较高。

由于数据量较大并且较分散，为方便说明，选第一组评酒员的红葡萄酒评价的数据进行处理。

首先，从第一组红葡萄酒品尝评分中分离出27个样本的澄清度评分。

然后，利用SPSS软件做出十名评酒员在27个样本中每个样本的评分方差。

如图：

我们用SPSS的配对样本T检验对两组评酒员评价的平均方差做显著性检验，得检验结果如下：

第一对的P值=0.028<0.05,拒绝原假设，显著性较大；第二对的P值=0.026<0.05,拒绝原假设，显著性也较大。

综合分析，两组评酒员的评价有显著性差异。

因为第二组位于置信区间内的人次百分比比第一组高，所以第二组的结果更可信。

问题2的模型建立与求解

方差分解主成分提取分析表

成份

初始特征值

提取平方和载入

合计

方差的%

累积%

合计

方差的%

累积%

1

6.966

23.221

23.221

6.966

23.221

23.221

2

4.940

16.467

39.687

4.940

16.467

39.687

3

3.737

12.457

52.144

3.737

12.457

52.144

4

2.840

9.467

61.611

2.840

9.467

61.611

5

1.999

6.663

68.274

1.999

6.663

68.274

6

1.742

5.808

74.082

1.742

5.808

74.082

7

1.418

4.728

78.810

1.418

4.728

78.810

8

1.270

4.234

83.044

1.270

4.234

83.044

9

.961

3.203

86.247

10

.738

2.461

88.708

11

.691

2.302

91.010

12

.514

1.713

92.723

13

.494

1.645

94.368

14

.372

1.240

95.608

15

.296

.986

96.594

16

.254

.846

97.440

17

.218

.728

98.169

18

.200

.668

98.836

19

.112

.375

99.211

20

.070

.234

99.445

21

.062

.206

99.651

22

.043

.143

99.794

23

.032

.108

99.902

24

.016

.053

99.955

25

.010

.034

99.988

26

.003

.012

100.000

27

1.135E-16

3.782E-16

100.000

28

-3.056E-17

-1.019E-16

100.000

29

-1.201E-16

-4.003E-16

100.000

30

-3.414E-16

-1.138E-15

100.000

由上表可知，有8种成分的特征值大于1，总贡献率达到83%，适宜做主成分分析，因此我们选取前8个成分作为主要成分，即：

F1、……、F8。

然后求出成分矩阵，得出主成分的线性表达式。

8个主成分的成分矩阵如下表：

成份

1

2

3

4

5

6

7

8

总酚

.863

-.171

-.177

.224

-.018

.184

-.011

.088

花色苷

.847

-.106

-.106

-.302

.097

.196

-.093

.063

DPPH自由基

.756

-.461

-.013

.215

-.023

.114

.212

.114

单宁

.756

-.152

-.280

-.068

-.166

.246

.243

-.057

葡萄总黄酮

.719

-.286

-.197

.284

.031

.297

.124

.057

蛋白质

.614

-.499

.181

.272

.193

-.129

.081

-.126

果梗比

.583

-.212

.172

-.215

-.411

-.405

.088

.040

L*

-.564

-.330

.305

-.038

.050

-.307

.076

.345

黄酮醇

.558

.022

.028

-.070

-.173

-.501

.476

.216

出汁率

.545

-.181

-.271

.169

.016

.398

-.144

.015

百粒质量

-.534

-.355

-.472

.079

.269

.149

.222

.194

干物质含量

.375

.856

-.189

.094

.095

-.024

.054

.034

总糖

.256

.785

-.150

.261

.103

-.040

-.072

.297

还原糖

.079

.769

-.113

.128

.116

-.108

-.050

.073

可溶性固形物

.246

.760

-.316

.147

.121

-.048

-.025

.266

氨基酸总量

.375

.543

.016

.455

-.241

-.297

.167

-.009

白藜芦醇

.064

-.060

.818

.075

-.217

.165

.293

.294

果皮颜色

-.332

.278

.738

.052

-.020

.294

.257

.213

果皮质量

-.257

-.247

-.613

-.112

.325

-.080

.477

.221

b*

-.138

.488

.601

-.023

.191

.455

.295

.090

可滴定酸

-.302

.458

-.596

-.004

-.330

.220

.296

-.138

褐变度

.597

-.090

.054

-.707

-.020

-.057

-.081

.110

PH值

.270

-.280

.184

.696

.130

-.115

-.286

.240

苹果酸

.391

.321

.166

-.661

.087

.367

-.114

.117

多酚氧化酶活力

.313

.087

-.214

-.594

.235

-.339

-.007

.165

果穗质量

-.343

-.460

-.220

.067

.598

.044

.227

.093

VC含量

-.142

-.397

.094

-.009

-.546

.132

-.022

.160

固酸比

.396

-.052

.431

-.002

.534

-.104

-.317

.223

酒石酸

.381

.099

.367

.386

.312

-.145

.202

-.516

柠檬酸

.305

.190

.400

-.367

.356

-.072

.292

-.428

由上表可以看出：

总酚、花色苷、单宁、DPPH自由基、葡萄总黄酮、蛋白质、果梗比、黄酮醇、多酚氧化酶活力、出汁率和褐变度为第一主成分，干物质含量、总糖、还原糖、可溶性固体物、氨基酸总量和可滴定酸为第二主成分，白藜芦醇、果皮颜色、b*和柠檬酸为第三主成分，PH和酒石酸为第四种主成分，百粒质量、果穗质量、固酸比为第五主成分，苹果酸为第六主成分，果皮质量为第七主成分，VC含量、L*为第八主成分。

然后计算出8个主成分用原来指标表达出的线性关系式（所得系数见附录2）

最后计算出综合指标G值，其表达式如下：

由问题一得到的结果可知，第二组的评价结果更可信，所以，该问题建模时使用第二组的评分作为葡萄酒质量的依据，因为酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接关系，故两者之间有着很强的相互依赖关系。

综合考虑酿酒葡萄的理化标准和葡萄酒的质量来对酿酒葡萄进行分级。

分级见下表：

红葡萄

F

按F排名

酒质量评分

按酒质量排名

名次之和

综合排名

等级

葡萄样品3

690.5144

1

74.6

4

5

1

Ⅰ

葡萄样品23

195.7758

9

77.1

2

11

2

Ⅱ

葡萄样品21

521.9043

2

72.2

9

11

3

Ⅱ

葡萄样品9

186.0653

12

78.2

1

13

4

Ⅱ

葡萄样品19

202.5838

6

72.6

7

13

5

Ⅱ

葡萄样品20

186.9619

11

75.8

3

14

6

Ⅱ

葡萄样品22

211.0541

4

71.6

12

16

7

Ⅱ

葡萄样品2

175.0546

15

74

6

21

8

Ⅲ

葡萄样品17

140.9148

19

74.5

5

24

9

Ⅲ

葡萄样品12

210.2464

5

68.3

19

24

10

Ⅲ

葡萄样品6

282.394

3

66.3

22

25

11

Ⅲ

葡萄样品5

151.633

18

72.1

10

28

12

Ⅲ

葡萄样品4

176.3589

14

71.2

15

29

13

Ⅲ

葡萄样品18

197.2206

7

65.4

25

32

14

Ⅳ

葡萄样品14

101.7858

25

72.6

8

33

15

Ⅳ

葡萄样品24

134.7619

20

71.5

13

33

16

Ⅳ

葡萄样品7

196.6263

8

65.3

26

34

17

Ⅳ

葡萄样品16

127.7456

21

69.9

16

37

18

Ⅳ

葡萄样品1

166.7603

16

68.1

21

37

19

Ⅳ

葡萄样品15

179.0912

13

65.7

24

37

20

Ⅳ

葡萄样品11

193.7104

10

61.6

27

37

21

Ⅳ

葡萄样品26

69.99223

27

72

11

38

22

Ⅳ

葡萄样品13

116.4478

22

68.8

17

39

23

Ⅳ

葡萄样品27

91.81979

26

71.5

14

40

24

Ⅴ

葡萄样品8

160.4123

17

66

23

40

25

Ⅴ

葡萄样品10

112.1741

24

68.8

18

42

26

Ⅴ

葡萄样品25

115.9208

23

68.2

20

43

27

Ⅴ

由表，我们可以以10作为区间长度，将葡萄分为五个等级。

（2）对酿酒白葡萄运用SPSS软件进行主成分分析，取特征值大于1的因子作为主成分，得出的主成分提取分析表如下：

成份

初始特征值

提取平方和载入

合计

方差的%

累积%

合计

方差的%

累积%

1

5.830

19.434

19.434

5.830

19.434

19.434

2

4.927

16.422

35.856

4.927

16.422

35.856

3

3.630

12.102

47.958

3.630

12.102

47.958

4

2.081

6.935

54.893

2.081

6.935

54.893

5

1.889

6.297

61.190

1.889

6.297

61.190

6

1.655

5.516

66.705

1.655

5.516

66.705

7

1.523

5.077

71.782

1.523

5.077

71.782

8

1.280

4.266

76.049

1.280

4.266

76.049

9

1.238

4.127

80.175

1.238

4.127

80.175

10

1.002

3.340

83.516

1.002

3.340

83.516

11

.967

3.222

86.738

12

.863

2.876

89.614

13

.639

2.131

91.745

14

.602

2.006

93.751

15

.396

1.319

95.070

16

.345

1.149

96.219

17

.303

1.009

97.229

18

.279

.930

98.159

19

.176

.585

98.744

20

.117

.391

99.135

21

.096

.320

99.455

22

.064

.213

99.668

23

.051

.171

99.839

24

.023

.077

99.917

25

.014

.047

99.963

26

.008

.026

99.990

27

.003

.010

100.000

28

8.222E-17

2.741E-16

100.000

29

-4.434E-18

-1.478E-17

100.000

30

-1.318E-16

-4.393E-16

100.000

由上表可知，有10种成分的特征值大于1，总贡献率达到83%，适宜做主成分分析，因此我们选取前10个成分作为主要成分。

各主成分的的成分矩阵如下：

成份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

干物质含量g/100g

.835

-.175

.105

.155

-.062

-.091

.114

.222

-.137

-.067

可溶性固形物g/l

.802

-.300

-.028

-.041

-.274

.297

.067

-.034

.162

-.042

总糖g/L

.756

-.189

-.097

.018

-.346

.037

.082

-.035

.169

-.143

还原糖g/L

.721

-.073

.004

.164

-.273

-.199

.276

.245

-.028

.073

果皮颜色b*

.646

.152

-.613

.004

.275

-.085

.044

-.188

-.078

.107

氨基酸总量

.592

.111

.181

.532

.061

.126

-.060

-.159

.070

.164

出汁率（%）

-.577

.204

-.231

.216

.210

-.057

.173

-.301

-.012

-.450

果穗质量/g

-.576

.478

.278

.226

-.013

-.167

-.046

-.138

.057

.179

L*

.519

.366

-.497

-.071

.357

-.019

-.182

-.145

-.208

.091

单宁（mmol/kg）

.472

.372

.231

-.134

-.211

.260

-.301

.319

-.143

-.340

百粒质量/g

-.462

.301

-.142

-.071

-.388

.282

.113

-.003

.328

.265

多酚氧化酶活力

-.450

-.385

-.076

-.195

-.051

.305

.372

.135

-.284

-.055

总酚（mmol/kg）

.071

.763

.465

-.140

.221

.167

-.163

.050

-.034

-.150

葡萄总黄酮（mmol/kg）

.002

.763

.502

-.050

.132

.202

-.187

.094

-.129

-.044

蛋白质

.224

.640

.232

-.301

.004

-.250

.273

-.054

.011

-.068

固酸比

.151

-.628

.583

-.213

.127

.024

-.029

-.222

-.117

.146

可滴定酸（g/l）

-.020

.625

-.547

.286

-.174

.059

.092

.212

.205

-.170

酒石酸

.342

-.492

.019

.223

.410

.435

-.092

-.115

.329

-.053

DPPH自由基1/IC50（g/L）

.435

.452

-.133

-.126

-.210

.198

-.326

-.015

-.070

.278

花色苷

-.380

-.421

.129

.279

.187

.238

-.142

.302

-.369

.308

果皮颜色a*

-.280

-.496

.576

-.012

-.062

-.132

.003

.281

.276

-.251

VC

-.292

.014

-.553

-.341

.133

.305

-.312

.139

.215

.006

黄酮醇（mg/kg）

.270

.288

.501

-.357

.441

.068

.081

.283

.260

.083

果梗比（%）

-.1