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极限思想的产生和发展

本科生毕业论文（设计）

题目　　极限思想的产生和发展　

TheEmergencyandDevelopmentOf

Limit

专业数学与应用数学

院部数学与计算机科学学院

学号xx

姓名xx

指导教师xx

答辩时间二○一四年五月

论文工作时间：

2013年12月至2014年5月

极限思想的产生和发展

摘要：

本文主要论述极限思想的产生和发展历史．在极限思想产生和发展的每个阶段，介绍一些相关的数学家代表以及他们的理论．极限思想是近代数学的一种重要思想，所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想．极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点．通过了解极限思想的产生和发展，让人们对学习关于极限思想的数学知识更有兴趣；通过了解极限思想的产生和发展，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线认识曲线，从量变认识质变，从近似认识精确．在探求极限思想起源与发展的过程中，会发现数学这个美丽的世界，享受探求数学这个美妙的过程．

关键词：

极限思想；产生；发展

TheEmergenceandDevelopmentOfLimit

Undergraduate:

xx

Supervisor:

xx

Abstract:

Thispapermainlydiscussthegenerationoflimitanditsdevelopment．Iwillintroduceyousomerelatedmathematiciansandtheirtheoriesduringitsdifferentperiod．Limitthoughtisanimportantthoughtofmodernmathematics,namelyamathematicalthoughtusedtosolveandanalysisproblems．Theemergenceanddevelopmentofthelimitideaisofpracticalneedtosociety,italsopromotesthedevelopmentofmathasanewpower,whichbecomesthefoundationandstartingpointofthemodernmathematicalthoughtsandmethods．Bylearningtheemergenceanddevelopmentofthelimitidea,peoplewillbemoreinterestedinsomemathematicalquestionsonlimitthought．Theycanknowthingsfromfinitetoinfinite,frominvarianttovariantalso,theycanunderstandcurvefromstraightline,qualitativechangefromquantitativechangeandexactnessfromapproximationwiththehelpofthelimitthought．Ihopethateveryonewillfindwhatabeautifulmathematicalworlditisandenjoythiswonderfulprocesswhenyouexploretheoriginanddevelopmentoflimitthoughtinmathematics．

Keywords:

limitthought;generation;development

绪论

极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹．极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照．

在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况．纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善．而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具．从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的．

极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想．极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用．理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义．对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用．

如果把数学比作一个浩瀚无边而又奇异神秘的宇宙，那么极限思想就是这个宇宙中最闪亮最神秘最牵动人心的恒星之一．结合自己近期来搜集整理的资料，我想对极限思想的产生与发展以及一些极限的简单应用做一个小小的探究．我觉得，我们可以把极限思想的发展历程大致分为三个阶段——萌芽阶段、发展阶段、进一步应用完善阶段． 

1极限思想的产生

极限思想的产生和其他科学思想一样，是经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，因此它也是社会实践的产物．极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术[1]是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊认的穷竭法[2]也蕴含了极限思想，但希腊人对“无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明．

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的归谬法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明．如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”．数学家拉夫纶捷夫曾说：

“数学极限法的创造是对那些不能够用算术，代数和初等几何的简单方法来解决的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果”．两千多年前可以称作是极限思想的萌芽阶段．其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够系统而清晰的利用极限思想解释现实问题．极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺、中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表．

我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》[3]记载着惠施的一句名言：

“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝竿会越来越短，长度越来越趋于零，但又有缘不会等于零．这更是从直观上体现了极限思想．我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用．所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的面积S就越来越接近于圆的面积πR．在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能到达近似的程度．但可以想象，如果把这个过程无限次的继续下去，就能得到精确的圆面积．

2极限思想发展的分期

2．1极限思想的萌芽阶段

远在2000多年以前，人们在对无穷的萌芽认识中，极限的思想和方法就不可回避的孕育在其中了．在我国，著名的《庄子·天下篇》一书中记有：

“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”墨家著作《墨子·经天下》中也有“非半弗，则不动，说在端．”的论述．从中可体现出我国早期对物质的无限可分性与连续性已有了相当深刻的认识，虽然这些认识属于哲学，但已反映出极限思想的萌芽．将无穷思想创造性地运用到数学中的是我国魏晋时期的数学家刘徽．刘徽在注释《九章算术》[4]中多次用到极限思想处理问题，运用的比较熟练，说明当时他已经对极限思想有了相当深刻的认识．对极限的观念和方法已经有了直观基础上的运用．正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率．到公元五世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲之（429—500年）的《缀术》中，同样运用“割圆术”推算出24576边形得到：

3．1415926

3．1415927．祖冲之[5]这一成果领先世界近千年．

在国外，古希腊的巧辩学派[6]—几何三大问题．安提芬在研究画圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,而布莱森（约公元前450年）则从相反的方向，提出通过圆的外切正多边形的面积来逼近圆的面积的思想．公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法—“穷竭法”，这种方法假定量的无限可分性，并且以及下面命题为基础：

“如果从任何量中减去一个不小于它的一半部的部分，从剩余部分中再减去不小于它的一半的另一部分，继续下去，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量”．应用穷竭法，欧多克斯（约公元前400—前347年）正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”．他的穷竭法也已经体现出了极限论思想．继欧多克索斯之后，阿基米德使用穷竭法求出了一系列几何图形的面积．他用足够“内接”和“外切”扇形逼近螺线所围成的平面图形，这和我国的“割圆术”理论大相径庭，实质上是一种极限思想．阿基米德[7]（Archimedes，公元前287—前212年）生于叙拉古（现意大利西西里岛）．他才智过人、成果卓著，被誉为古代最伟大的数学家和科学家．他的传世名著有《圆的测量》、《论球体和圆柱体》、《论劈锥曲面体与球体》、《抛物线弓形求积》、《论螺线》、《砂粒计算》等．他巧妙地把欧克多索斯与人的穷竭法与德·谟克利特的原子论观点结合起来通过严密的计算，解决了求几何图形的面积、体积、曲线场，计算大量的计算问题．他突破了传统的有限运算，采用了无限逼近的思想，将需要求积的量分成许多微小单元，再来用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较，他的无穷小概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础．阿基米德的杰出成就丰富了古代数学内容，其思想的深度和论述的严密性在当时是极为罕见的，因而被人们称为“数学之神”,并与高斯、欧拉和牛顿并称为19世纪以前的“数学四杰”．

由此，我们可以看到数学无穷思想发展之初，古人已经在极限领域开创了光辉的起点．

2．2极限思想的发展时期

14世纪末，欧洲开始有了资本主义的萌芽，到15世纪中期，封建制度的解体，欧洲的生产力得到了迅速地发展，开始了“文艺复兴”时代．由于生产力的发展，也推动了科学技术的进步，当时，围绕着力学为中心，在天文学、物理学、地理学等方面都提出了大量的新问题，对这些问题的探究促进了相关科学的发展．如哥白尼“日心说”的诞生带来了一场自然科学的革命；由于对天体力学的研究，涌现出了一批科学家，如斯蒂文、伽利略、开普勒等，他们在数学方面也做了大量的研究工作，为微积分的发展奠定了基础，为极限思想和方法的发展[8]及运用带来了机遇．16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到了极大的发展．生产力和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、受力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想，新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动，变化过程的新工具，这极大的促进了极限思想的发展．

众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，如笛卡尔、费马、巴罗、卡瓦列里、沃利斯等，并取得了一定成果，尤其是牛顿和莱布尼茨创立微积分的工作，他们都以不同的角度运用了极限的思想和方法，虽然他们的工作过多的依赖于直观，缺乏严密的逻辑基础，但在他们的努力和成就为极限思想的进一步完善奠定了坚实的基础．

2．3极限思想的完善时期

18世纪微积分富有成果然而欠缺严密的基础，因而受到了人们的怀疑和攻击．英国哲学家大主教贝克莱对微积分的攻击[9]最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”．贝克莱认为，“它们既不是有限量，也不是无限小，也不是零，难道我们不可以把它们称为消失了的量的鬼魂吗？

”贝克莱的批评虽然出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的．正因为当时缺乏严密的极限定义，微积分理论才受到严峻的挑战．弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身的需要，而且还有着认识论上的重大意义．

柯西的贡献几乎遍及所有数学领域，在他的7本专著和800篇论文中，可以看出他在微积分学、级数理论、微分方程、复变函数论、数论、行列式论、群论等方面都有研究和贡献．

1821年至1826年他的《无穷小计算在几何中的应用》和《无穷小分析讲义》等3部专著给出了分析学的一系列基本理论的严格定义，从而形成了现代微积分[10]体系，他是近代微积分的奠基着．在复变函数方面，柯西在《关于定积分理论的报告》中，从可交换积分顺序的二重积分[11]着手，导出来积分于路径无关的柯西理论．他证明了函数

在极点

的留数为：

（其中

为包含

的圆）．并且他还证明了：

如果曲线

包围着函数

的一些极点，则

沿曲线

的积分就是该函数在这些极点上留数之和的

倍．在微积分方程理论中，柯西探讨了微分方程的存在性问题，证明了微分方程在不包含奇点的区域内存在着满足给定条件的解这一事实，从而使微分方程的理论得以进一步深化．在研究微分方程的解法时，他成功地提出了优势函数法，柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于19世纪70年代各自建立了完整的实数体系．魏尔斯特拉斯的理论可归纳为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康拓尔提出用有理基本序列的极限来定义无理数．由此，沿柯西开辟的道路，建立起来了严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作．数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠地基础之上．

3极限思想与微积分

极限思想的发展与微积分的建立有着密不可分的联系．16世纪的欧洲由于资本主义的兴起，资本主义手工业迅速发展，使得力学在科学中的地位越来越重要．以力学为中心地一系列实际问题摆在可科学家面前，归纳起来有大致有以下四个方面：

第一，由距离和时间的函数关系求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，由物体的加速度和时间的函数关系求速度和距离；第二，确定运动物体在其轨道上任一点处的运动方向，以及通过研究光线透镜的途径而提出求曲线的切线问题；第三，求函数的最大值和最小值，这是普遍存在的实际问题；例如求行星离开太阳的最远和最近距离；第四，寻找曲线长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心等的一般方法．从这四类问题的出现可以看出，以常对量为主要研究对象的数学已经不能满足社会发展的需求，因而科学家门开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段．

3．1微积分的孕育

微积分的诞生是数学史上的伟大事件．然而它是经过长期酝酿和孕育的产物，其根源可以追溯到古希腊时代，例如欧多克索斯的穷竭法，阿基米得的圆、球、抛物线图形求积法．此外，我国古代数学家对此也做过有益探索，刘徽的割圆术、祖恒之的截面原理都可以说明这一点．但是，这些工作由于时代限制，在数学史上仅是一些孤立的技巧．17世纪，许多数学家围绕着前述四个方面问题做了大量研究工作，他们为微积分的孕育做出了重大贡献．

求复杂面积、体积和线段长度的工作开始于得国科学家开普勒（kepler．1571-1630年）．1615年，开普勒发表《酒桶的建立体几何学》，集中研究了求旋转体体积问题．其基本方法是--首先，把给定得几何图形分成无穷多个无穷小得图形，用某种特定的方法把这些图形的面积或体积加起来，变得到给定的图形的面积和体积；其次，几何图形是由同样维数的不可分离量即无穷小面积或体积组成的．虽然这些计算都是不严格的，但是他得出的结果却是正确的．这些简单易行的方法，同今天常采用的“微元法”有着相似之处．开普勒是第一个在求积中运用无穷小的数学家，这就是他对积分学的最大贡献．

1635年，意大利数学家卡瓦利里（1598-1647年）的《用新方法促进的连续不可分几何学》的正式出版标志着积分学的一个重要进展．他认为，几何图形是由无数多个维为数较低的不可分量组成的，即面积是由条数不定的等距离平行线构成的，体积是由等距离的平行平面构成的，他把这些元素分别称之为面积和体积的不可分量．这一方法所依据的一个重要原理就是“祖恒原理”[13]（国外数学家称为卡瓦利里原理，实际上发展这一原理我国数学家祖冲之、祖恒之父子比卡瓦利里要早1100多年）．他用他“重新发现”的这一原理证明：

圆锥的体积是外接圆柱体积的

，抛物线弓形面积是外接矩形面积的

．卡瓦利里不可分求和原理，实际上就是后来定积分概念的雏形．同时，他还证明了：

对于1到9的正整数

，有

．在《用新方法促进的连续不可分几何学》一书中，还有应用微积分概念求极值的某些定理，第一个命题就包含着与罗尔定理[14]等价的推断．

意大利物理学家伽利略对微积分的孕育也做了重大贡献．微积分概念形成于切线、极值及运动速度问题的处理．伽利略在《两种新科学的对话》一书中，给出了自由落体运动距离和时间的关系式

．他在处理迅速运动问题时，证明了在速度－时间曲线下的面积就是距离，他把面积看成是由无穷多个不可分的单位堆积而成的．在他的著作中，他描述了无穷大和无穷小的某些性质，还求援出了摆线一个拱尺面的面积和摆线切线的做法．

法国数学家费马对微积分的孕育也有重要的影响．1629年，他首次获得了求函数极值的法则，即运用上了微分学思想；用类似方法他还求出了平面曲线

的切线，抛物线体积的重心和拐点；他还用极限

求出了抛物线

的面积等．

此外，英国数学家沃利斯（johnwsillis．1616-1703年）和巴罗（Isaacbarrow．1630-1677年）微积分萌芽中也做了大量工作．1655年沃利斯在其名著《无穷算术》中运用分析法和不可分原理，得到了一些更为广泛有用的结果．他首次把圆锥曲线看作二次曲线，从而使得笛卡儿和卡瓦利里的方法得到系统化和推广．同时他还把

推广到

维分数或负数（除-1外）．

综上所述，这些数学家的先驱性工作均为微积分的创立奠定了坚实基础．为微积分的创立积累了大量的资料，而这些坚实基础和大量的资料，无一不是以极限的思想为基石一步一步堆积起来的．

3．1牛顿与微积分

牛顿[12]（IsaacNewton，1643—1727），英国物理学家和数学家．1643年出生于英格兰北部林肯郡的一个农民家庭．为躲避鼠疫回乡，两年间他提出了“流数法”，发现万有引力定律并得到了太阳光谱．牛顿发现微积分首先得助于其老师巴罗，巴罗关于“微分三角形”的深刻思想给他影响极大；另外，费马的切线方法和沃利斯的《无穷算术》也给了他很大启发．

1666年，牛顿写出第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首先提出了流数概念．而于1669年完成到1711年才发表的《运用无穷多项方程的分析学》，则给出了一个求变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，并且证明了面积可以求变化率的逆过程得到．

1671年，牛顿完成了《流数法与无穷级数》（1736年出版），进一步对自己的思想做了更广泛更明确的说明，系统的引进了他所独创的概念和记法．他将变量称作“流”，将变量的变化率称作“流数”．

1676年牛顿完成了另一部著作《求曲边形的面积》（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”两个新概念，并且明确的表现出将导数作为增量比的极限思想．

在牛顿微积分学说的发展过程中，可以看到牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，经过20年左右的时间，他的微积分从以无穷小为基础，转变为以极限为基础．但由于时代或认识的问题，牛顿始终没能给出无穷小和极限的严格定义，但瑕不掩瑜，他将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来．正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分．

3．3莱布尼茨与微积分

德国自然科学家、数学家、哲学家莱布尼茨生于莱比锡．在惠更斯的激励和引导下，莱布尼茨步入数学和物理之门．他深入研究了笛卡尔，法国数学家帕斯卡，巴罗等人的数学论著并做了大量笔记．在这段时间，他引进了常量、变量，和参考变量概念，从研究几何问题入手完成了微积分的基本计算理论．他创作了微积分的符号

、

及积分符号

，并提出了函数的和、差、积、商的微分法则和在积分量下对参变量求微分的方法以及旋转体体积公式．1684年，他在博学文摘上发表第一篇论文，文中提出了切线、极大值、极小值和拐点的方法．

牛顿和莱布尼茨同是微积分的创始人—牛顿和莱布尼茨在创立微积分过程中都采用了一些新的方法，在数学发展史上都有创造性作用．他们都把求面积和体积以及其他以往作为求和处理的问题都归于反微分，从而为积分运算开辟了一个简单途径．

然而，他们的创造性工作也有所不同．牛顿较多的注重于创立微积分的体系和基本方法，从考虑变化率出发解决面积和体积问题．而莱布尼茨更多地关心微积分运算公式的建立和推广，从而建立了微积分法则和公式．

综上所述，众多数学家在解决问题时都不同程度地使用了无穷小，进而是极限的思想和方法，但都没有给出明确的定义，包括被誉为微积分的创始人牛顿和莱布尼兹，他们在创立微积分的过程中也没有给出无穷小和极限的数学定义．但这些丝毫也无损于这些科学伟人的历史功绩，因为任何科学理论的创立，都不是某个数学家凭空臆想出来的，而是社会发展的需要．从认识论的角度看，人的认识规律是由具体到抽象，那么人类对极限理论的认识和发展也不应例外．

3．4微积分的进一步发展

继牛顿和莱布尼茨之后，17—18世纪初产生了不少微积分成果．这些成果主要包括两方面：

一是对微积分的可靠性进行研究，指出不足、做出修正；二是增补具体成果．

欧拉（LeonhardEuler，1707—1783年），瑞士数学家、物理学家．在发展微积分方面，他整理了莱布尼茨的支持者——大陆派的微积分内容，先后发表了《无穷小分析应论》、《微分学》、《积分学》等著作．在这些著作与一系列论文中，欧拉对微积分的发展做出了伟大的贡献．1、他对函数概念进行了系统的探讨，定义了多元函数和超越函数概念，区分了显函数和隐函数，单值函数和多值函数；2、他给出了用累次积分计算有界区域的二重积分方法；3、他研究了数列

极限的存在性，并把该极限记为

;对于发散级数

，他给出了下面的结果（欧拉常数

）:

他把实函数的许多结果都推广到复数域，从而推动了复变函数的理论发展；5、通过对函数极值问题的研究，他解决了一般函数问题的极值问题，并成功的找到了极值函数必须满足的微分方程——欧拉方程;6、欧拉通过对积分

以及

．此外，他在微分方程、几何、数论以及力学、光学和天文学等方面做出了极大的贡献，难怪人们称他是：

“一个多才的科学家，一个方法的发明家，一个熟练的巨匠”．

拉格朗日（JosephLouislagrange,1736—1813年），法国数学家、力学家和天文学家．从1766年起，由欧拉推荐任