高中数学第一章集合与函数概念12函数及其表示122函数的表示法教学设计新人教A版必修1.docx
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高中数学第一章集合与函数概念12函数及其表示122函数的表示法教学设计新人教A版必修1
1.2.2 函数的表示法
教学分析
课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：
解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．
三维目标
1．了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、解析法），会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．
3．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．
4．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．
重点难点
教学重点：
函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．
教学难点：
分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．
课时安排
3课时
第1课时
导入新课
思路1．语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！
”用繁体中文为：
生日快樂！
英文为：
HappyBirthday！
法文是BonAnniversaire！
德文是AllesGuteZumGeburtstag！
印度尼西亚文是SelamatUlangTahun！
……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？
引出课题：
函数的表示法．
思路2．我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？
这节课我们就来研究这个问题（板书课题）．
推进新课
初中学过的三种表示法：
解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？
讨论结果：
（1）解析法：
用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．
（2）图象法：
以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．
（3）列表法：
列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．
三种表示法表示函数y＝f（x）．
活动：
学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f（x）”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．
用列表法可将函数y＝f（x）表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y＝f（x）表示为图1.
图1
点评：
本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：
简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：
直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：
不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：
张丹的年龄n（n∈N*）每取一个值，那么他的身高y（单位：
cm）总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f（n），但是这个函数的解析式不存在，函数y＝f（n）不能用解析法来表示．
注意：
①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；
②解析法：
必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；
③图象法：
根据实际情境来决定是否连线；
④列表法：
选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.
变式训练
1．如图所示为y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论正确的是（ ）
图2
A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0
C．a－b＋c＞0D．2c＜3b
解析：
由图象研究二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，易知a＜0，b＞0，c＞0.当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0；当x＝－1时，a－b＋c＜0，故A，B，C都错．
答案：
D
2．已知2f（x）＋f（－x）＝3x＋2，则f（x）＝________.
解析：
由题意得
把f（x）和f（－x）看成未知数，解方程即得．
答案：
3x＋
例2下面是某校高一
（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王 伟
98
87
91
92
88
95
张 城
90
76
88
75
86
80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
活动：
学生思考做学情分析，具体要分析什么？
怎么分析？
借助什么工具？
本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．
解：
把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f（x），如图3所示．
图3
由图3可看到：
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；
赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．
点评：
本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．
注意：
本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.
变式训练
1．函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5）的值域是________．
答案：
[2,11）
2．将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象．
分析：
解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题，即把面积y表示为x的函数，用数学的方法解决，然后再回到实际中去．
解：
设矩形一边长为x，则另一边长为
（a－2x），则面积y＝
（a－2x）x＝－x2＋
ax.又
得0＜x＜
，即定义域为
.由于y＝－
2＋
a2≤
a2，如图4所示，结合函数的图象得值域为
.
图4
3．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图5所示，那么水瓶的形状是（ ）
图5
图6
解析：
要求由水瓶的形状识别容积V和高度h的函数关系，突出了对思维能力的考查．
观察图象，根据图象的特点发现：
取水深h＝
，注水量V′＞
，
即水深为一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半．
A中V′＜
，C、D中V′＝
，故排除A，C，D.
答案：
B
课本本节练习2,3.
【补充练习】
1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则（ ）
A．y＝10－x（0＜x≤10）
B．y＝10－x（0＜x＜10）
C．y＝20－2x（5≤x≤10）
D．y＝20－2x（5＜x＜10）
解析：
根据等腰三角形的周长列出函数解析式．
∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件（两边之和大于第三边）可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．
∴y＝20－2x（5＜x＜10）．
答案：
D
2．定义在R上的函数y＝f（x）的值域为[a，b]，则y＝f（x＋1）的值域为（ ）
A．[a，b]B．[a＋1，b＋1]
C．[a－1，b－1]D．无法确定
解析：
将函数y＝f（x）的图象向左平移一个单位得函数y＝f（x＋1）的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f（x＋1）的值域也是[a，b]．
答案：
A
3．函数f（x）＝
（x∈R）的值域是（ ）
A．（0,1）B．（0,1]
C．[0,1）D．[0,1]
解析：
（观察法）定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜
≤1.
答案：
B
问题：
变换法画函数的图象都有哪些？
解答：
变换法画函数的图象有三类：
1．平移变换：
（1）将函数y＝f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位得函数y＝f（x＋a）的图象；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位得函数y＝f（x－a）的图象；
（3）将函数y＝f（x）的图象向上平移b（b＞0）个单位得函数y＝f（x）＋b的图象；
（4）将函数y＝f（x）的图象向下平移b（b＞0）个单位得函数y＝f（x）－b的图象．
简记为“左加（＋）右减（－），上加（＋）下减（－）”．
2．对称变换：
（1）函数y＝f（x）与函数y＝f（－x）的图象关于直线x＝0即y轴对称；
（2）函数y＝f（x）与函数y＝－f（x）的图象关于直线y＝0即x轴对称；
（3）函数y＝f（x）与函数y＝－f（－x）的图象关于原点对称．
3．翻折变换：
（1）函数y＝|f（x）|的图象可以将函数y＝f（x）的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f（x）的x轴上方部分即可得到．
（2）函数y＝f（|x|）的图象可以将函数y＝f（x）的图象位于y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y＝f（x）在y轴右边部分图象即可得到．
函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．
本节课学习了：
函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．
课本习题1.2A组 7,8,9.
本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．
第2课时
作者：
刘菲
导入新课
思路1．当x＞1时，f（x）＝x＋1；当x≤1时，f（x）＝－x，请写出函数f（x）的解析式．这个函数的解析式有什么特点？
教师指出本节课题．
思路2．化简函数y＝|x|的解析式，说说此函数解析式的特点，教师指出本节课题．
推进新课
①函数h（x）＝
与f（x）＝x－1，g（x）＝x2在解析式上有什么区别？
②请举出几个分段函数的例子．
活动：
学生讨论交流函数解析式的区别．所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数．
讨论结果：
①函数h（x）是分段函数，在定义域的不同部分，其解析式不同．说明：
分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．
②例如：
y＝
等．
例1画出函数y＝|x|的图象．
活动：
学生思考函数图象的画法：
①化简函数的解析式为基本初等函数；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．
解法一：
由绝对值的概念，我们有y＝
所以，函数y＝|x|的图象如图7所示．
图7
解法二：
画函数y＝x的图象，将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方，与函数y＝x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y＝|x|的图象如图7所示．
点评：
函数y＝f（x）的图象位于x轴上方的部分和y＝|f（x）|的图象相同，函数y＝f（x）的图象位于x轴下方的部分对称到x轴上方就是函数y＝|f（x）|图象的一部分．利用函数y＝f（x）的图象和函数y＝|f（x）|的图象的这种关系，由函数y＝f（x）的图象画出函数y＝|f（x）|的图象.
变式训练
1．已知函数y＝
（1）求f{f[f（5）]}的值；
（2）画出函数的图象．
分析：
本题主要考查分段函数及其图象．f（x）是分段函数，要求f{f[f（5）]}，需要确定f[f（5）]的取值范围，为此又需确定f（5）的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解．画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数的图象．
解：
（1）∵5＞4，∴f（5）＝－5＋2＝－3.∵－3＜0，∴f[f（5）]＝f（－3）＝－3＋4＝1.∵0＜1＜4，∴f{f[f（5）]}＝f
（1）＝12－2×1＝－1，即f{f[f（5）]}＝－1.
（2）图象如图8所示：
图8
2．课本本节练习3.
3．画出函数y＝
的图象．
步骤：
①画整个二次函数y＝（x＋1）2的图象，再取其在区间（－∞，0]上的图象，其他部分删去不要；②画一次函数y＝－x的图象，再取其在区间（0，＋∞）上的图象，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象．如图9所示．
图9
例2某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5千米以内（含5千米），票价2元；
（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米按5千米计算），
如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
活动：
学生讨论交流题目的条件，弄清题意．本例是一个实际问题，有具体的实际意义，由于里程在不同的范围内，票价有不同的计算方法，故此函数是分段函数．
图10
解：
设里程为x千米时，票价为y元，根据题意得x∈（0,20]．
由“招手即停”公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
y＝
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图10所示．
点评：
本题主要考查分段函数的实际应用，以及应用函数解决问题的能力．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．在列出其解析式时，要充分考虑实际问题的规定，根据规定来求得解析式．
注意：
①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值不同的几种表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.
变式训练
某客运公司确定车票价格的方法是：
如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y（元）与行程x（千米）之间的函数关系式是________．
解析：
根据行程是否大于100千米来求出解析式．
答案：
y＝
1．函数f（x）＝|x－1|的图象是（ ）
图11
解析：
方法一：
函数的解析式化为y＝
画出此分段函数的图象，故选B.
方法二：
将函数f（x）＝x－1位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，与f（x）＝x－1位于x轴上方部分合起来，即可得到函数f（x）＝|x－1|的图象，故选B.
方法三：
由f（－1）＝2，知图象过点（－1,2），排除A，C，D，故选B.
答案：
B
2．已知函数f（x）＝
（1）画出函数的图象；
（2）求f
（1），f（－1），f[f（－1）]的值．
解：
分别作出f（x）在x＞0，x＝0，x＜0上的图象，合在一起得函数的图象．
（1）如图12所示，画法略．
图12
（2）f
（1）＝12＝1，f（－1）＝－
＝1，f[f（－1）]＝f
（1）＝1.
3．某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A地．试将此人驱车走过的路程s（千米）表示为时间t的函数．
分析：
本题中的函数是分段函数，要由时间t属于哪个时间段，得到相应的解析式．
解：
从A地到B地，路上的时间为
＝5（小时）；从B地回到A地，路上的时间为
＝4（小时）．所以走过的路程s（千米）与时间t的函数关系式为
s＝
问题：
已知函数f（x）满足f
（1）＝1，f（n＋1）＝f（n）＋2，n∈N*.
（1）求：
f
（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）猜想f（n），n∈N*.
探究：
（1）由题意得f
（1）＝1，则有
f
（2）＝f
（1）＋2＝1＋2＝3，
f（3）＝f
（2）＋2＝3＋2＝5，
f（4）＝f（3）＋2＝5＋2＝7，
f（5）＝f（4）＋2＝7＋2＝9.
（2）由
（1）得
f
（1）＝1＝2×1－1，
f
（2）＝3＝2×2－1，
f（3）＝5＝2×3－1，
f（4）＝7＝2×4－1，
f（5）＝9＝2×5－1.
因此猜想f（n）＝2n－1，n∈N*.
本节课学习了：
画分段函数的图象；求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用．
课本习题1.2B组 3,4.
本节教学设计容量较大，特别是例题涉及图象，建议使用信息技术来完成．本节重点为分段函数，这是课标明确要求也是高考的重点，通过分段函数问题能够区分学生的思维层次，因此教学中应予以重视．
第3课时
作者：
林大华
导入新课
思路1．复习初中常见的对应关系
1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．
2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（x，y）和它对应．
3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．
4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．
5．函数的概念．
我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．
思路2．前面学习了函数的概念是：
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．
（1）对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．
（2）班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应．
（3）对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．
那么这些对应又有什么特点呢？
这种对应称为映射，引出课题．
推进新课
①给出以下对应关系：
图13
这三个对应关系有什么共同特点？
②像问题①中的对应我们称为映射，请给出映射的定义？
③“都有唯一”是什么意思？
④函数与映射有什么关系？
讨论结果：
①集合A，B均为非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
②一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
A→B为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：
A→B”．
如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象，集合B中元素y叫集合A中的元素x的象．
③包含两层意思：
一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一．
④函数是特殊的映射，映射是函数的推广．
例题下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：
数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，对应关系f：
平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：
每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：
每一个班级都对应班里的学生．
活动：
学生思考映射的定义．判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义．
（1）中数轴上的点对应着唯一的实数；
（2）中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；
（3）中每一个三角形都有唯一的内切圆；
（4）中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生．
解：
（1）是映射；
（2）是映射；（3）是映射；
（4）不是映射．新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.
变式训练
1．图14
（1），
（2），（3）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？
图14
答案：
（1）不是；
（2）是；（3）是．
2．在图15中的映射中，A中元素60°对应的元素是什么？
在A中的什么元素与B中元素
对应？
图15
答案：
A中元素60°对应的元素是
，在A中的元素45°与B中元素
对应.
1．下列对应是从集合S到T的映射的是（ ）
A．S＝N，T＝{－1,1}，对应法则是（－1）n，n∈S
D．S＝{x|x∈R}，T＝{y|y∈R}，对应法则是x→y＝
解析：
判断映射的方法简单地说应考虑A中的元素是否都可以受对应法则f的作用，作用的结果是否一定在B中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A符合定义；B是一对多的对应；C中集合S中的元素0没有象；D中集合S中的元素1也无象．
答案：
A
2．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是（ ）
A．f：
x→y＝
x
B．f：
x→y＝
x
C．f：
x→y＝x
D．f：
x→y＝
x
解析：
选项C中，集合M中部分元素没有象，其他均是映射．
答案：
C
3．已知集合A＝N*，B＝{a|a＝2n－1，n∈Z}，映射f：
A→B，使A中任一元素a与B中元素2a－1对应，则与B中元素17对应的A中元素是（ ）
A．3B．5C．17D．9
解析：
利用对应法则转化为解方程．由题意得2a－1＝17，解得a＝9.
答案：
D
4．若映射f：
A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是________；Y与B的关系是________．
解析：
根据映射的定义，可知集合A中的元素必有象且唯一；集合B中的元素在集合A中不一定有原象．故象的集合是B的子集．所以X＝A，Y⊆B.
答案：
X＝A Y⊆B
5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，则从M到P能建立不同映射的个数是________．
解析：
集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立34＝81个不同的映射．
答案：
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