8．（2011年陕西）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝_____________.
9．（2011年山东）已知函数f（x）＝logax＋x－b（a>0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝________.
10．试确定方程2x3－x2－4x＋2＝0的最小根所在的区间，并使区间的两个端点是两个连续的整数．
3.1.2 用二分法求方程的近似解
1．用二分法求如图K3 1 1所示的函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（ ）
图K3 1 1
A．x1B．x2
C．x3D．x4
2．关于用“二分法”求方程的近似解，下列说法不正确的是（ ）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f（x）在区间[a，b]内的所有零点找出来
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f（x）在区间[a，b]内的零点
C．“二分法”求方程的近似解，y＝f（x）在区间[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解有可能得到y＝f（x）在区间[a，b]内的精确解
3．在用二分法求函数f（x）零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是（ ）
A．[1,4]
B．[－2,1]
C．[－2,2.5]
D．[－0.5,1]
4．方程x3－2x2＋3x－6＝0在区间[－2,4]上的根必定属于区间（ ）
A．[－2,1]B.
C.
D.
5．函数y＝x3与y＝
x－3的图象交点为（x0，y0），则x0所在的区间为（ ）
A．（0,1）B．（1,2）
C．（2,3）D．（3,4）
6．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．（精确度0.1）
7．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．
8．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f
（1）＝－2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝－0.984
f（1.375）＝－0.260
f（1.4375）＝0.162
f（1.40625）＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2B．1.3
C．1.4D．1.5
9．已知函数f（x）＝ax＋
（a>1）．
（1）证明：
函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数；
（2）若a＝3，证明：
方程f（x）＝0没有负数根；
（3）若a＝3，求出方程的根（精确度0.01）．
3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
1．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树的亩数y（单位：
万亩）是时间x（单位：
年）的一次函数，这个函数的图象是（ ）
2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（ ）
A．y＝50B．y＝1000x
C．y＝0.4·2x－1D．y＝
ex
3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：
每月用水不超过10m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为（ ）
A．13m3B．14m3
C．18m3D．26m3
4．小李得到一组实习数据如下表：
t
1.99
3.0
4.0
5.0
6.2
7
V
1.5
4.05
7.5
12
18
23.9
下列模型能最接近数据的是（ ）
A．V＝log
tB．V＝log2t
C．V＝3t－2D．V＝
5．某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表：
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲：
联通130网
12元
每分钟0.36元
每6秒钟0.06元
乙：
移动“神州行”卡
无
每分钟0.6元
每6秒钟0.07元
（注：
本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费）
若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间（单位：
分钟）的范围在区间（60,70）内，则选择较为省钱的网络为（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙均一样D．分情况确定
6．从A地向B地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，3分钟后每多1分钟就加收1元．当时间t≥3时，电话费y（单位：
元）与时间t（单位：
分钟）之间的函数关系式是____________．
7．已知函数y1＝2x和y2＝x2.
当x∈（2,4]时，函数________的值增长较快；
当x∈（4，＋∞）时，函数________的值增长较快．
8．如图K3 2 1，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为函数的图象形状大致是（ ）
图K3 2 1
9．我们知道，燕子每年冬天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2
，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
（1）计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位；
（2）当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
10．以下是某地区一种生物的数量y（单位：
万只）与繁殖时间x（单位：
年）的数据表：
时间/年
1
2
3
4
数量/万只
10
20
40
80
根据表中的数据，请从y＝ax＋b，y＝alogbx，y＝a·bx中选择一种函数模型刻画出该地区生物的繁殖规律，并求出函数解析式．
3.2.2 实际问题的函数模型
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成（ ）
A．511个B．512个
C．1023个D．1024个
2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费为f（m）＝1.06（0.50×[m]＋1），其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，如[4]＝4，[2.7]＝3，[3.8]＝4，则从甲地到乙地的通话时间为5.5分钟的话费为（ ）
A．3.71元B．3.97元
C．4.24元D．4.77元
3．某银行实行按复利计算利息的储蓄，若本金为2万元，利率为8%，则5年后可得利息（ ）
A．2×（1＋0.8）5元
B．（2＋0.08）5元
C．2×（1＋0.08）5－2元
D．2×（1＋0.08）4－2元
4．一根弹簧的原长为12cm，它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长
cm，则挂重后的弹簧长度ycm与挂重xkg之间的函数关系式是（ ）
A．y＝
x＋12（0＜x≤15）
B．y＝
x＋12（0≤x＜15）
C．y＝
x＋12（0≤x≤15）
D．y＝
x＋12（0＜x＜15）
5．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%，专家预测经过x年，荒漠化土地面积可能增长为原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致是（ ）
A B C D
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：
每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费32m元，则该职工这个月实际用水为（ ）
A．13立方米B．14立方米
C．18立方米D．21立方米
7．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值为__________．
8．（2011年北京海淀统测）图K3 2 2
（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K3 2 2
（2）（3）所示．
图K3 2 2
给出下列说法：
①图K3 2 2
（2）的建议是：
提高成本，并提高票价；
②图K3 2 2
（2）的建议是：
降低成本，并保持票价不变；
③图K3 2 2（3）的建议是：
提高票价，并保持成本不变；
④图K3 2 2（3）的建议是：
提高票价，并降低成本．
其中说法正确的序号是________．
9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益（总成本＋利润）满足函数：
R（x）＝
其中x是仪器的月产量（单位：
台）．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？
最大利润是多少元？
10．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：
千米/时）是车流密度x（单位：
辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：
当20（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：
辆/时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/时）．
第三章 函数的应用
3．1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
1．B
2．B 解析：
：
∵x0为方程2x＋x＝8的解，∴2x0＋x0－8＝0.
令f（x）＝2x＋x－8＝0，∵f
（2）＝－2＜0，f（3）＝3＞0，∴x0∈（2,3）．再根据x0∈（n，n＋1）（n∈N*），可得n＝2.
3．D 解析：
Δ＝m2－4（m＋3）>0，∴m>6或m<－2.
4．C 解析：
由题意，可知：
函数f（x）在区间[－2,2]上是连续的、递增的，又f（－1）·f
（1）＜0，故函数f（x）在[－2,2]内有且只有一个零点，则方程f（x）＝0在[－2,2]内有唯一的实数根．
5．C
6．C 解析：
设f（x）＝2x－x2，由f（0.6）＝1.516－0.36>0，f（1.0）＝2.0－1.0>0，故排除A；
由f（1.4）＝2.639－1.96>0，f（1.8）＝3.482－3.24>0.故排除B；
由f（1.8）＝3.482－3.24>0，f（2.2）＝4.595－4.84<0，故可确定方程2x＝x2的一个根位于区间（1.8,2.2）．故选C.
7．解：
设函数f（x）＝x2＋2kx－1，∵关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1<0即
∴－
8．3或4 解析：
x＝
＝2±
，因为x是整数，即2±
为整数，所以
为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3或4符合题意；反之当n＝3或4时，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．
9．2 解析：
∵f
（2）＝loga2＋2－b<0，f（3）＝loga3＋3－b>0，∴x0∈（2,3），故n＝2.
10．解：
令f（x）＝2x3－x2－4x＋2，
∵f（－3）＝－54－9＋12＋2＝－49＜0，
f（－2）＝－16－4＋8＋2＝－10＜0，
f（－1）＝－2－1＋4＋2＝3＞0，
f（0）＝0－0－0＋2＝2＞0，
f
（1）＝2－1－4＋2＝－1＜0，
f
（2）＝16－4－8＋2＝6＞0，
根据f（－2）·f（－1）＜0，f（0）·f
（1）＜0，f
（1）·f
（2）＜0，
可知f（x）的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内．
∵方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，
∴原方程的最小根在区间（－2，－1）内．
3．1.2 用二分法求方程的近似解
1．C 2.A
3．D 解析：
因为第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能是[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中．故选D.
4．D 解析：
令f（x）＝x3－2x2＋3x－6，分别计算f（－2），f
（1），f
，f
的值，得f（－2）＝－28＜0，f
（1）＝－4＜0，f
＝4.625＞0，f
≈－1.5156＜0.故选D.
5．B 解析：
x0即为f（x）＝x3－
x－3的零点，又∵f
（1）＝－3<0，f
（2）＝6>0，∴f（x）在（1,2）有零点．
6．证明：
设函数f（x）＝2x＋3x－6，
∵f
（1）＝－1<0，f
（2）＝4>0，又∵f（x）是增函数，
∴函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点．
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，f
（1）＝－1<0，f
（2）＝4>0，
取x1＝1.5，f（1.5）≈1.33>0，f
（1）·f（1.5）<0，
∴x0∈（1,1.5）．
取x2＝1.25，f（1.25）≈0.128>0，f
（1）·f（1.25）<0，
∴x0∈（1,1.25）．
取x3＝1.125，，f（1.125）≈－0.444<0，f（1.125）·f（1.25）<0，
∴x0∈（1.125,1.25）．
取x4＝1.1875，，f（1.1875）≈－0.16<0，f（1.1875）·f（1.25）<0，
∴x0∈（1.1875,1.25）．
∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，
∴1.1875可作为这个方程的实数解．
7．2个 解析：
画出y＝2－x与y＝3－x2的图象，有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为2个．
8．C 解析：
f（1.40625）＝－0.054<0，f（1.4375）＝0.162>0且都接近0，由二分法，知其近似根为1.4.
9．
（1）证明：
f（x）＝ax＋
＝ax＋1－
（a>1）．
设－1则f（x1）－f（x2）＝
＋1－
－
＝
－
－3
.
∵－11，
∴
－
<0，
－
＝
>0.
∴f（x1）－f（x2）<0，
即f（x1）（2）证明：
当a＝3时，3x＋
＝0，
∵f（0）<0，f
（1）＝
>0，
∴区间（0,1）上必有一根，
由函数单调性，可知：
3x＋
＝0至多有一根，故方程恰有一根在区间（0,1）上．即f（x）＝0没有负数根．
（3）解：
由二分法f
>0，f
<0，
f
>0，f
>0，f
>0，
f
<0，f
<0，
而
－
＝－
，
而
<0.01，∴x＝
可作为该方程的一个根．
3．2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
1．A 2.D
3．A 解析：
设实际用水量为am3，则有10x＋2x（a－10）＝16x，解得a＝13.
4．D 解析：
注意到自变量每次增加约为1，V的增加越来越快，结合数据验证，D符合．
5．A
6．y＝t－0.6（t≥3） 7.y2＝x2 y1＝2x
8．A 解析：
当0≤x≤1时，y＝
·x·1＝
x；当1＜x≤2时，y＝1－
（x－1）－
（2－x）－
＝－
x＋
；当2＜x≤2.5时，y＝
×
×1＝
－
x.故选A.
9．解：
（1）由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
代入已知函数关系式可得0＝5log2
，解得O＝10个单位．
（2）将耗氧量O＝80代入已知函数关系式，得
v＝5log2
＝5log223＝15m/s.
10．解：
对于y＝ax＋b，则
∴
∴y＝10x.
而当x＝3时，y＝30；当x＝4时，y＝40.
对于y＝alogbx，
此方程组无解．
对于y＝a·bx，
∴
∴y＝5·2x.而当x＝3时，y＝40；
当x＝4时，y＝80.
故选择函数y＝5·2x刻画该地区生物的繁殖规律比较好.
3.2.2 实际问题的函数模型
1．B 2.C 3.C 4.C
5．A 解析：
设原来该地区荒漠化土地面积为a，则经过x年后，面积为a（1＋10.4%）x，那么经过x年后增长到原来的y倍，故有y＝
＝1.104x.因此图象大致应为指数函数的图象．故选A.
6．D
7．20 8.②③
9．解：
（1）设月产量为x台，则总成本C（x）＝20000＋100x，
从而f（x）＝R（x）－C（x）
＝
（2）当0≤x≤400时，f（x）＝－
（x－300）2＋25000.
∴当x＝300时，f（x）max＝25000.
当x>400时，f（x）＝60000－100x是减函数，
∴f（x）<60000－100×400＝20000.
综上所述，当x＝300时，f（x）max＝25000.
10．解：
（1）由题意，当0≤x≤20时，v（x）＝60；
当20由已知，得
解得
故函数v（x）的表达式为
v（x）＝
（2）依题意并由
（1），可得
f（x）＝
当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20x
＝－
2＋
，
所以当x＝100时，f（x）在区间（20,200]上取得最大值为
.
综上所述，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值为
≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．
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