透镜设计导论第四章.docx

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透镜设计导论第四章

第四章近轴系统

4.1介绍

当你使用Analysis-Calculations-RayTrace进行一条光线的追迹的时候你可以选择Settings去获得这条光线的高度角度等数据。

你可以看到两个表，上面的是实际光线，下面的是近轴光线。

在这一章中我们将关注近轴的那个表从何而来，并回答什么是近轴光线。

在本书中，大部分的设计都要进行薄透镜的预设计。

这需要使用手动计算，而手动计算的基础就是近轴追迹方程（PRTE）。

实际光线的追迹还是交给电脑去做，近轴光线却是简单的多。

虽然仅仅是一个近似的算法，但是近轴方程作用无穷。

例如，EFL（等效焦距），BFL（后焦距），f-number，magnification（放大率），principalplanelocation（主平面位置），pupillocation（光瞳位置），imagelocation（像位置）都可以用PRTE计算出来。

而且，近轴光线的高度和角度还可以使用来计算塞得尔像差。

4.2近轴光线方程

近轴光线方程是一组线性方程：

u=tanU，u’=tanU’,φ是光学弯曲能力。

第一个方程描述了光线的弯曲（在4.5节中我们还要重新描述它）。

第二个方程描述了在下面的光学面上的高度变化。

图4.1和4.2表明了这两个方程的含义。

我们对一个光线进行追迹。

如图4.3所示，距离光源25个单位的地方有一个φ=0.05的光学元件，光线在这个面的高度是5个单位。

我们先用4.2式确定入射角。

我们再使用方程4.1确定这个光学件对光的弯曲作用。

（这里折射率两边都设为1，就像是空气中的光学元件作用）

最后我们再用4.2式找到实际的像的位置

注意，从光源出发的任何一条成像光线到达像面的时候具有相同的光程，我们可以看图4.4知道.

4.3高斯公式

我们现在来重述一个高中物理的公式，它描述的是物象关系。

将式4.1重写成：

重新看看图4.4注意u=-y/l（u是正的，y是正的，l是负的），u’=-y/l’（u’是负的,y,l’是正的）

代入第一个方程：

消去y：

这是近轴系统下薄透镜的高斯公式。

注意l在图4.4中式负的。

4.4近轴系统的透镜是怎样的

图4.5是一个库克三合棱镜系统。

你后面会来设计其中的一个。

但是在近轴系统中，这三个棱镜就像图4.6所示，所有尺寸都是相同的。

这包括口径，厚度，轴间距离。

图上弯曲的曲面被平面所代替，但是这些平面式具有使光纤弯曲的能力的。

这种能力被描述为：

n’是右边的面的折射率，n是左边的，C是曲率。

一个真实棱镜系统的第一属性（firstorderproperties）都可以用等效近轴系统和PRTE所描述。

4.5弯曲能力

如图4.7a所示的一个折射面，我们将一根光入射，高度为y，并被面弯曲。

在光线与面的交点我们看到的是通常情况，并用与轴平行的虚线做了表示，入射角和折射角都能从图上看到。

现在想象那个交点不断下滑到离光轴非常近的位置，然后放大，就可以看到图4.7b所示的状况。

用这个图和公式4.4我们能得到很多数学表达式。

我们从α开始，从4.7b可以看到：

然后入射角和折射角：

然后是对小角度的斯涅耳定律：

现在把式4.6代入4.7并重列：

现在代入4.5“

这就是近轴的PRTE弯曲公式，

描述的是一个折射面对光的弯曲能力。

4.6其它重要面的弯曲能力表述

4.6.1单反射面

我们将式4.4里的n’=-n就能得到曲面反射镜的弯曲能力

4.6.2二元系统

考虑如图4.8所示的近轴二元素系统的光线追迹。

我们用PRTE1式开始看第一个元素对光线的弯曲效果：

现在用PRTE2式决定在第二个面上的光线高度。

再用PRTE1，计算第二个面对光线的弯曲

将4.13代入4.14：

将4.12代入4.15：

在图4.9中我们反向延长从最后一个面出射的光线并和入射第一个面的光线的延长线相交。

交点所在的位置就是后主面。

后主面与像面的轴上距离就是有效焦距（EFL）。

整理4.16,4.17消掉y1

这里φ就是系统的弯曲能力。

式4.18在系统中有广泛的应用，大家可以参看图4.10.它可以用于确定一个薄透镜或者两独立透镜/反射镜系统的弯曲能力。

4.6.3薄透镜

对于薄透镜，将4.18中的厚度设为0，弯曲力写作：

并将单折射面的弯曲力公式代入（式4.4）

式4.22是著名的“镜片制造商的方程”

4.7二元系统的主面位置

在图4.9中我们通过反向延长找到了后主面的位置，并且给出了这个面与像面之间的轴上距离就是有效焦距（EFL）。

现在我们要给出的是后主面与第二个元素的顶点的轴上距离。

看图4.11

我们先给出一个比例关系：

解得：

代入PRTE2

代入PRTE1

最后有：

BFD是后向焦距

有一个关于第一个元素顶点与前焦点位移的补充公式，写作：

4.8放大率

对于有限物像距离，放大率被定义为像高与物高之间的比（如图4.12）：

如果h’是负的，放大率也是负的：

如果l是负的，那么放大率也是负的

4.9作业

回到第一章的作业，并看看图4.13：

A．计算面弯曲能力

B．对图中指明的两条光线做一次从透镜到像面的追迹

C．从PRT数据中找到后向焦距（BFL）

D．从PRT数据中找到像高y3.