第五章 相交线与平行线.docx

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第五章相交线与平行线

第五章相交线与平行线

本章教材分析

本章包括4节内容，前3节主要讨论平面内两条直线的位置关系，重点是垂直和平行关系，第4节是有关平移变换的内容．

首先研究相交的情形，探究两条直线相交所成的角的位置和大小关系，给出邻补角和对顶角的概念，得出“对顶角相等”的结论；垂直是两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论是学习下一章“平面直角坐标系”的基础．本章对垂直的情形专门进行了研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”的结论，并给出点到直线的距离的概念，为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础．

对于平面内两条直线平行的位置关系，教科书首先引入一个基本事实（平行公理），即过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以此为出发点探讨了判定两条直线平行的三种方法和两条直线平行的三条性质，并给出了两条平行线间的距离概念．

本章在最后一节安排了有关平移变换的内容，从《新课程标准》看，图形的变换是“空间与图形”领域中很重要的部分．图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等，通过将图形平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具．

在本章最后，学习命题及命题的构成，学生能对说理的理由，三段论的表达形式有初步的认识．

本章教学时间约需12课时，具体分配如下：

5．1相交线3课时

5．2平行线及其判定3课时

5．3平行线的性质3课时

5．4平移2课时

本章复习1课时

5.1相交线

5.1.1相交线

三维目标

1．通过学习邻补角、对顶角等概念，进一步发展学生抽象概括能力．

2．通过对相交线、邻补角、对顶角的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象．

3．通过分组讨论，培养学生合作交流的意识和探索精神．

4．通过对顶角、邻补角性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

教学重点

邻补角、对顶角的性质．

教学难点

发现两条直线相交时所形成的各类角的位置及数量关系．

教学过程

导入新课

师：

打开书欣赏第五章的章头图，雄伟壮丽的大桥上，有纵横交错的钢梁，以及像竖琴一样的钢索，你能从中抽象出什么样的几何形象？

（同学们思考后回答）

生：

有很多的相交线和平行线．

师：

你能在身边再找一些相交线和平行线的实例吗？

生：

学校操场上的双杠．

生：

课桌面、黑板面相邻的两边和相对的两边．

生：

国际象棋、中国象棋的棋盘布满了纵横交错的横线和竖线，它们和平行、或相交．

……

师：

在生活中相交线、平行线的实例比比皆是，因此从这节课开始，我们将要在前面《图形认识初步》的基础上，继续遨游于几何世界，探究两条直线相交都能够形成哪些角？

这些角有什么特征？

什么样的两条直线互相垂直？

垂线有什么性质？

什么样的两条直线互相平行？

互相平行的直线有什么特征？

……更为重要的是它们在生活中的作用，学会用数学的眼光去欣赏我们生活所在的丰富多彩的世界．

这节课，我们先来研究相交线．

推进新课

这里有一把剪刀，握紧剪子（如图1）的把手，就能剪开物体，你能说出其中的道理吗？

生：

握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开物体．

师：

如果把剪子的构造抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？

请你在练习本上画出．

（教师可进行巡视，给学习困难的学生以帮助．从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意力，同时为得出相交线所成角的性质提供背景和生活素材）．

师：

同学们表现都很棒，剪子的构造可看作两条相交的直线，而剪刀两个把手之间的角，剪刀刃之间的角都是相交直线所成角．

组织学生活动

活动1．

（1）任意画两条相交的直线，在形成的四个角中（如图2）各个角存在怎样的位置关系？

根据这种位置关系将它们分类．

（2）分别量一下各个角的度数，各个角度数有什么关系？

为什么？

（3）在图1转动剪子把手的过程中，这个关系还保持吗？

（学生分组活动，动手操作，教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并指导、帮助学生完成任务）

教师应重点关注：

（1）学生能否根据各对角的位置关系进行分类；

（2）在阐述各对角的位置关系时，语言是否规范；

（3）在测量出各个角的大小关系时，能否用“同角的补角相等”为依据，得出正确结论．

（为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．通过学生自身探求出结论，获得学习数学的成就感，提高学生的论证几何的能力）

生：

∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1它们属于同一种位置关系的角．它们共同的特点是每一对角都有一条公共边，而另一边互为反向延长线．

生：

以上四对角不仅有特殊的位置，而且它们的和都是180°，即它们互补．

师：

你能给它们每对角起个名字吗？

生：

我们前面学过互为补角：

如果两个角的和是180°，则称它们互为补角．而上面的∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1不仅互补，而且“相邻”，我们称它们为“亲密补角”吧！

师：

这个名字是不是很温馨呢！

（同学们鼓掌）实际上，在数学上，我们把具有上述位置和大小关系的角叫做互为邻补角．

师：

你还能找到哪些两两相配的角呢？

它们又有何位置和大小特点？

生：

∠1和∠3、∠2和∠4它们分别有相同的位置关系．每对角都有一个公共顶点O，并且每对角的两边都互为反向延长线．

师：

很好．我们将具有这种位置关系的两个角叫做对顶角，它们的大小有何关系？

生：

每对对顶角都分别相等．如图2的∠1=∠3，∠2=∠4．

师：

你能用前面的知识说明∠1=∠3的理由吗？

生：

因为∠1与∠2互补，∠3也与∠2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1=∠3．类似地，可得出∠2=∠4．

师：

由此可得出结论……

生：

对顶角相等．

师：

你能用刚才的结论解释本节开头提出的现象吗？

生：

可以．通过上面的讨论我们知道了，剪子两个把手之间的角与剪刀刃之间的角是对顶角．在转动剪子把手的过程中，这对对顶角始终保持相等，直到把物体剪开．

师生共析：

下面我们共同填写下表（多媒体演示）

两直线相交

所形成角

分类

位置关系

大小关系

∠1、∠2

∠3、∠4

活动2．问题：

（1）图3中∠1和∠2是对顶角吗？

若不是，请说明理由．

（学生通过对上面问题的解释，进一步明确对顶角存在的条件，使学生的思维更严密、条理）．

生：

图3

（1）中的∠1和∠2不是对顶角，是因为它们不是两条直线相交而成，即它们既无公共顶点，每个角的两边只有一边是互为反向延长线；图3

（2）中的∠1和∠2虽有公共点，但∠2的一边不是∠1两边中的一条反向延长线；图3（4）中的∠1和∠2也不是对顶角，只有图3（3）中的∠1和∠2是对顶角．

师：

判断一对角是不是对顶角，我们应注意什么？

生：

首先看它们是否是两条直线相交而成的角，再看它们是否有公共顶点，两边是否互为反向延长线．

（2）如图4，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数．

（意在利用互为邻补角的大小关系，对顶角相等的性质．教师应先让学生自主解决，对个别学习有困难的学生加以辅导）

生：

解：

如图4，由邻补角的定义，可得∠2=180°-40°=140°；

由“对顶角相等”，可得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°．

运用数学知识，解决问题

活动3．（多媒体演示）

问题：

（1）如图5

（1），取两根木条a、b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型，你能说出其中的邻补角与对顶角吗？

如果其中一个角是35°，其他三个角各是多少度？

这个角是90°、115°、m°呢？

解：

将两根木条抽象成相交直线，如图5

（2），设直线a、b相交于点O．

①当∠1=35°时，由邻补角的定义可得∠2=180°-35°=145°；

由“对顶角相等”，可得∠3=∠1=35°，∠4=∠2=145°．

②当∠1=90°，同

（1）可得∠2=180°-90°=90°，∠3=∠1=90°，∠4=∠2=90°．

③当∠1=115°时，∠2=180°-115°=65°，∠3=∠1=115°，∠4=∠2=65°．

④当∠1=m°时，∠2=180°-m°，∠3=∠1=m°，∠4=∠2=180°-m°．

（2）下列说法正确的是（）

A．有公共顶点的两个角是对顶角

B．相等的两个角是对顶角

C．有公共顶点并且相等的角是对顶角

D．两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角

答案：

D

注：

①只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的；

②对顶角的本质特征是：

两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线．

（3）已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC+∠BOD=240°，求∠BOC的度数．

分析：

如图6所示，∠AOC与∠BOD是对顶角，

所以∠AOC=∠BOD；

又∠AOC+∠BOD=240°，从而∠AOC=∠BOD=120°；

又∠AOC和∠BOC是邻补角，所以∠BOC=180°-∠AOC=60°．

解：

因为直线AB、CD相交于点O，

所以∠AOC和∠BOC是邻补角（对顶角的定义），

∠AOC和∠BOC是邻补角（邻补角的定义），

所以∠AOC=∠BOD（对顶角相等）．

又因为∠AOC+∠BOD=240°（已知），

所以∠AOC=∠BOD=120°．

所以∠BOC=180°-∠AOC=60°（邻补角的定义）．

（4）如图7，AB与CD是直线，图中共有对顶角________对．（）

A．1B．2C．3D．4

解析：

在图中只有AB和CD两条直线相交，根据对顶角的特征：

两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线可知对顶角只有两对即∠AOC和∠BOD、∠AOD和∠BOC．

答案：

B

（5）图8中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？

解：

设量角器的底边所在的直线为AB，指针所在直线为CD．根据对顶角相等，可知∠BOD=∠AOC，因此只要读出∠AOC的度数，也就知道了∠BOD的度数．

课堂小结

本节课讨论了两条直线相交所成的角的问题；重点研究了邻补角、对顶角的位置关系、大小关系，并用它们解决了生活和数学中的一些简单问题，相信同学们在今后的学习过程中，会进一步体会到邻补角和对顶角性质在解题中的作用．

布置作业习题5．11、2．

5.1.2垂线

（一）

三维目标

1．从实际问题中发现两条直线的垂直关系及垂直的第一个性质，培养学生发现问题的能力．

2．通过用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线，培养学生掌握画图的基本技能．

3．通过学习垂直的表示方法，使学生建立初步的符号感．

教学重点垂线的意义、性质和画法．

教学难点垂线的画法．

导入新课

活动1．在相交线的模型（如图1）中，固定木条a，转动木条b．

问题：

（1）在相交直线所形成的四个角中，按照两个角的关系分类，有哪两种类型的角？

（2）两条直线所夹角中，如果按照角的大小分类，又有哪几种？

（教师在提出问题的过程中，要继续固定木条a，缓缓地转动木条b，也可让学生亲自操作）

生：

在两条相交直线所形成的四个角中，按照两个角的关系分类有邻补角和对顶角两类．

生：

如果按照角的大小分类，两条直线所形成的角有锐角、直角、钝角．

师：

很好！

在转动木条b的过程中，当转动到木条b和木条a有一个角是直角的位置时，其余三个角的大小如何？

为什么？

生：

其余三个角都是直角（如图2），如果∠1=90°，∠2=180°-∠1=90°；∠3=∠1=90°，∠4=∠2=90°．

师：

我们不难发现，这种位置是两条直线的一种非常特殊的情况．它在生活、生产实际中应用比较广，例如书本相邻两条边所在的直线．你还能举一些生活中的实例吗？

生：

红十字中的夹角．

生：

十字路口、围棋棋盘上纵横交错的线的夹角……

师：

我们今天就来研究这种特殊情况（板书课题）．

推进新课

垂线的有关概念

多媒体演示（在感性认识的基础上，引导学生得到关于垂线的一些概念）．

1．定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

2．符号：

“⊥”读作“垂直于”，如图3，AB⊥CD于O，含义：

直线AB与直线CD垂直，垂足是O．

3．对垂直定义的理解：

（1）在垂直的定义中，强调只有一个角是直角就可以了，不必说四个角都是直角，因为其他三个直角都可推出来．

（2）两条直线互相垂直，指两条直线而言，因此，说到垂直，一定是两条直线的位置关系．

（3）定义具有双重性，既是垂直的判定定理，也是垂直的性质定理．在具体应用时，要注意书写格式．如图3，

因为AB⊥CD于O（已知），

所以∠1=90°（垂直的定义或垂直性质）；

因为∠1=90°（已知），

所以AB⊥CD于O（垂直的定义或垂直判定）．

通过实践活动，引导学生发现垂线的第一个性质

活动2．问题：

（1）用三角尺和量角器画已知直线L的垂线，这样的垂线能画出几条？

（2）经过直线L上一点A画L的垂线，这样的垂线能画出几条？

（3）经过直线L外一点B画L的垂线，这样的垂线能画出几条？

（学生在独立思考的基础上以小组为单位探究每个问题，通过动手操作体会垂直的定义，并由此得出垂直的第一个性质．教师可到某一小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助指导学生完成任务，得出垂线的性质及过一点画已知直线垂线的画法和理由．如果有可能的话，还可以让学生板演）

生：

用三角板画已知直线L的垂线，这样的垂线可以画出无数条．

师：

你是怎样操作的？

生：

让三角板的一条直角边紧紧“贴”住已知直线L，沿着另一条边画直线a，就得到了直线L的垂线．换一个位置或贴着直线L平移三角板，又可以画出第二条、第三条……

师：

很好!

下面我们就照这位同学的说法做一遍，同时思考为什么画出的直线a和已知直线L垂直？

生：

因为三角板有一个角是直角，我们画已知直线的垂线时，正是用到了垂直的定义，两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，那么这两条直线垂直．

师：

在图4

（1）中，过点A作直线BD的垂线，在图4

（2）中，过A点分别作BD和DE的垂线．

（教师可在学生画出垂线的基础上，总结出用三角板画垂线的基本方法，强调用两条直角边“一贴”：

贴住已知直线，“一靠”：

靠住已知点再画直线）

师：

过A点还能作出别的垂线吗？

生：

不会．

师生共析：

①过A点作BD或DE的垂线有一条；

②过A点作BD或DE的垂线只有一条．

在此基础上，又引导学生概括出：

垂线的第一个性质：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

注：

①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”．②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以．

应用举例，变式练习

例：

（1）画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图5

（1），请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线．

（2）如图5

（2），过A点作AB，BC和CA的垂线．

解：

略．

练习1：

如图6

（1），∠B=90°，过B作AB、BC、CA的垂线．

练习2：

如图6

（2），过B作AC的垂线，过A作BC的垂线，过C作AB的垂线．

练习3：

如图6（3），过P点作AB、BC、CD和DA的垂线．

（教师讲完例题和练习后，对过已知点作已知线段的垂线问题加以总结，重点是：

有时需要对线段加以延长，作延长线的垂线）

课堂小结

师生共同总结出本节课所学的内容．

1．理解垂线的意义；

2．根据垂线的意义，过一点画一条直线的垂线；

3．理解垂线的第一性质：

过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直．

布置作业习题5．14、5．

5.1.2垂线

（二）

三维目标

1．让学生经历操作、探究、归纳总结出垂线的第二个性质，发展学生的抽象概括能力．

2．掌握点到直线的距离的概念．

3．会度量点到直线的距离．

教学重点

1．垂线的第二个性质．

2．点到直线的距离．

教学难点

点到直线的距离与两点间的距离概念之间的区别与联系．

导入新课

活动1．问题：

（1）怎样正确量出跳远的成绩？

（2）在直角三角形的三条边中，哪一条最长？

哪一条最短？

设计意图：

对于问题

（1），教师要引导学生将实际问题转化为数学问题．实践是检验真理的唯一标准，在数学的学习上也是这样．几何是在实践中产生的产科，它的定理也是在大量的实际问题的需要中产生的．因此，还几何的本来面貌，让学生把自己的手动起来，凡是能自己动手探索的几何问题，就一定让学生做．

对于问题

（2），直角三角形这个典型的基本图形，这一图形的用途相当广泛，因此在可能的情况下，用得上的地方，就让学生反复熟悉、回顾，达到掌握的目的．

推进新课

师生行为：

师：

怎样测量跳远成绩？

谁能将跳远的问题转化为数学问题，在黑板上画出它的示意图．

生：

（黑板演示）如图1．

师生共同指出：

BD为起跳线，A为跳远时脚落地点．

师：

体育老师是如何量出跳远的成绩的？

生：

过A作BD的垂线，垂足为O，AO的长度就是跳远的成绩．

师：

BD所在的直线上，除O点外，还有很多的点，如图2：

为什么测量跳远的成绩不去测量AC1、AC2、AC3、…的长度，而只测量AO的长度呢？

线段OA有什么特点？

生：

通过比较，我们不难发现AO这条线段是线段AC1，AC2，AC3，…中最短的．体育比赛要求公平、公正．如果去随意测量AC1，AC2，AC3，…，就失去了统一的竞赛规则．

师：

很好!

AO⊥BD于O，我们称线段AO为垂线段．它是A与直线BD上各点连接的所有线段中最短的，因此，我们可以得出什么样的结论？

师生共同归纳出垂线的第二条性质：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

简单说成：

垂线段最短．

师：

由第二条性质可知，我们跳远时，应沿着过A点与BD垂直的方向跳，而不该跳成斜线方向．

（特别强调：

①垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足，垂线段是指线段本身，与其他无关．②垂线段与直线的夹角是90°）

师：

下面请同学们在自己的练习本上，画出一个直角三角形，用刻度尺度量哪一边最长，哪一边最短，得出结论．

生：

直角所对的边最长，如果两个锐角相等时，它们所对的边相等；较大的锐角所对的边较长，较小的锐角所对的边最短．

师：

如图3，把BC边看作一条线段，因为∠ACB=90°，

所以AC⊥BC于C，而AB与BC不垂直，为什么？

生：

过直线外一点有一条且只有一条直线与已知直线垂直．

师：

AC

生：

线段AC是点A到直线BC的垂线段，由问题

（1）可知垂线段最短，因此AC

师：

很好!

我们将AC叫做点A到直线BC的垂线段，而AB不是，也可以把线段AB叫做斜线段，而这条垂线段AC的长度叫做点A到直线BC的距离．

活动2．问题：

（1）让学生举例说明垂线的第二个性质在实际中的应用；

（2）指出两点间的距离和点到直线的距离的区别和联系．

设计意图：

问题

（1）是为了让学生体验用自己通过亲自动手操作从实际生活中得出的结论如何去指导实践．这样遵循实践─认识─再实践─再认识的规律，使学生学到了生动的几何、活的几何，培养了学生应用数学的意识．

问题

（2）在明确这两种距离概念的区别和联系的基础上，进一步发展学生抽象概括的能力．通过活动鼓励学生在独立思考的基础上，积极参与到对数学问题的讨论中来，勇于发表自己的观点，善于理解他人的见解，在交流中获益．

师生行为：

生：

楼门与大路之间的小道都是与大路垂直的，如图4．

生：

从岸边向河对岸摆渡，都走与对岸垂直的路线．

生：

……

生：

对于问题

（2），两点间的距离是指连接两点的线段的长度，点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度．而它们的联系是点到直线的距离这个点到这条直线的垂线段的长度，即直线外一点到垂足之间的线段的长度，最终归结为两个特殊点之间的距离．

活动3．问题：

（1）要把水渠中的水引到农田P处（如图5），在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？

画出图来，并说明根据什么道理．

（2）如果图中的比例尺为1：

100000，水沟需要挖多长？

设计意图：

在学生掌握了垂线的第二个性质及点到直线的距离的基础上，通过自主探索，有助于学生进一步理解垂线的第二个性质及点到直线的距离，通过成果的展示使学生获得成功体验．

师生行为：

通过小组讨论，获得解决问题的方法，教师可到小组中，关注学生的想法，对各小组的结果进行展示、交流．

解：

（1）过P画直线AB的垂线，垂足为O，在O点开沟，可以使沟最短．根据垂线段最短，可知线段PO是P与直线上任一点连接成的所有线段中最短的．

（2）用刻度尺测量出线段PO的长度为1.5cm，根据图中的比例尺可得水沟PO的实际长度为1.5cm×100000=150000cm=1500m，即水沟需挖1500米．

活动4．如图6，试用直尺或三角板量出：

（1）城市A与城市B的距离，

（2）城市A、B到大河L的距离．

设计意图：

让学生尝试用两点间的距离的概念，解决实际生活中的问题；熟悉两个距离概念的区别与作用．

师生行为：

老师对学习程度较差的学生要给予耐心的指导，较好的同学独立思考后，在小组内交流，然后在全班展示同学的成果．

活动5．在图7中，分别过点P画直线AB、CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离．

设计意图：

进一步使学生熟悉垂线的第一、第二性质及点到直线的距离的概念、在图形较复杂的情况下，正确地画出已知直线的垂线，提高学生的动手操作能力．

师生行为：

教师可让几个同学板演，对画图有困难的学生可帮助回忆上节的画图步骤：

一贴；一靠．

课堂小结

1．教师让学生先回忆两条直线相交这部分知识，并问：

你们能够把它们画成一个知识结构图吗？

2．教师加以指导，并用投影的形式打出以下结构图．

3．请学生畅所欲言，叙述一节课的收获与体会．

布置作业

课本本节练习．

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

教学目标

1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念，能结合图形识别同位角、内错角、同旁内角．

2．通过图形的识别训练，培养学生的视图能力．

3．在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯，培养学生“用数学”的意识和能力．

教学重点:

同位角、内错角、同旁内角的概念．

教学难点:

在较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角．

导入新课（多媒体播放有关图片）

问题：

（1）平面上的两条直线有相交和平行两种位置关系，两直线相交形成几个角？

（回顾上节内容）

（2）在实际生活中，还存在着两条直线被第三条直线所截的情况，你能举例说明吗？

（如斜拉桥的灯柱子与其横梁，脚手架的钢管，交通线路中的道路）你能将这些事物抽象成几何图形吗？

（如图1所示的图形）

（3