特殊平行四边形难题综合训练含答案docx.docx
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第五章特殊平行四边形难题综合训练
1、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如所示，点
G在段
DK上，且
G
BC的三等分点，
R
EF中点，正方形BEFG的4，△DEK的面（）
A．10
B．12
C．14
D．16
2、如，在正方形
ABCD内有一折段，其中
AE⊥EF，EF⊥FC，并且
AE=6，EF=8，FC=10，正方形的
.
第1第2第3第4
3、如，平面内4条直l1、l2、l3、l4是一平行，相2条平行的距离都是1个位度，正方形
4个点A、B、C、D都在些平行上，其中点A、C分在直l1、l4上，正方形的面是
ABCD的平方位．
4、如，在菱形
ABCD中，
10，∠A=60°.次菱形
ABCD各中点，可得四形
A1B1C1D1；次四
形
A1B1C1D1各中点，可得四形
A2B2C2D2；次四形
A2B2C2D2各中点，可得四形
A3B3C3D3；按
此律下去⋯⋯.四形
A2B2C2D2的周是
；四形
A2013B2013C2013D2013
的周是
.
5、如，四形
ABCD是矩形，点
E在段
CB的延上，接
DE交
AB于点
F，∠AED=2∠CED，点
G是
DF的
中点，若
BE=1，AG=4，
AB的
.
6、如，四形
ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点
E，且四形
ABCD的面
8，BE=（
）
A．2
B．3
C．22
D．23
第5
第6
第7
第8
7、如，菱形
OABC的点
O在坐原点，点
A在
x上，∠B=120°，OA=2，将菱形
OABC原点旋
105°至
OA′B′C′的位置，点
B′的坐（
）
A、（
2,
2）
B、（
2,
2）
C、（
3,
3）
D、（
2,
2）
8、如，正方形ABCD中，AB=3，点E在CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE折至△AFE，延
点G，接AG，CF．下列：
①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=9/10．其中正确的是（
EF交
）
BC于
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
9、如图，在正方形
ABCD中，点O为对角线
AC的中点，过点
0作射线
OM、ON分别交
AB、
BC于点
E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点
P．则下列结论中：
（
1）图形中全等的三
角形只有两对；
（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=20A；
2
2
）个．
（4）AE+CF=20POB．正确的结论有（
A．1
B．2
C．3
D．4
10
、如图，在矩形
ABCD中，由8个面积均为
1的小正方形组成的
L型模板如图放置，则矩形
ABCD的周长为
.
11
、在边长为6
的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交
AC于点N．
（1）如图11－1，当点M在AB边上时，连接
BN．求证：
△ABN≌△ADN；
（2）如图11－2，若∠ABC=90，°记点M运动所经过的路程为
x（6≤x≤12）．试问：
x为何值时，△ADN为等腰三
角形．
C
BC
M
B
M
N
N
D
A
A
（图11-1）
D
（图11-2）
12、如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，DG．
（1）求证：
BEDG．
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
EF
AD
13、，完成明和填空．
A
A
D
A
M
N
MO
B
O
E
M
⋯
N
O
CB
C
B
D
13-1
N
C
13-2
13-3
数学趣小在学校的“数学廊”中地展示了他小探究的果，内容如下：
（1）如13-1，正三角形ABC中，在AB、AC上分取点M、N，使BMAN，接BN、CM，
BNCM，且NOC60°．明：
NOC60°．
（2）如
13-2，正方形ABCD中，在AB、BC上分取点M、N，使AM
BN，接AN、DM，那
么AN
，且DON
度．
（3）如
13-3，正五形ABCDE中，在AB、BC上分取点M、N，使AM
BN，接AN、EM，
那么AN
，且EON
度．
（4）在正n形中，相的三施同的操作程，也会有似的．
大胆猜，用一句概括你的：
．
14、△ABC是等三角形，点D是射BC上的一个点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD的
等三角形，点E作BC的平行，分交射
AB、AC于点F、G，接BE．
（1）如（
a）所示，当点
D在段
BC上．
①求：
AEBADC；②探究四形
是怎特殊的四形并明理由；
（2）如（
b）所示，当点
D在BC的延上，直接写出（
1）中的两个是否成立
（3）在
（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形并说明理由．
AA
EFG
BDCBCD
图（a）
FG
E
图（b）
15、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交BCA的平分线于点E，
交
BCA的外角平分线于点
F．
（1）探究：
线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且
△ABC满足什么条件时，四边形
AECF是正方形
A
ME
F
N
O
B
C
D
16、如图，已知直线l1:
y
2x
8与直线l2:
y
2x16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形
3
3
DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
y
l2
l1y
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
E
D
C
AOF（G）Bx
17、在
△ABC
中，
ABBC2，ABC120°，△ABC
绕点
B
顺时针旋转角
（0°
90°）得
将
△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段
EA1与FC有怎样的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，当
30°
1
DA的形状，并说明理由
时，试判断四边形
BC
C
C
D
C1
A1
D
C1
F
F
A1
E
E
A
B
A
B
18、在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB5，AC6．过点D作DE∥AC交BC的延长线
于点E．
（1）求△BDE的周长；
（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：
BPDQ．
AQD
O
BPCE
19、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90，
使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m=n时，如图，求证：
EF=AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边
OB上是否还存在点
E，使得EF=AE若存在，请求出点
E的坐标；若不存在，请
说明理由．
（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点
E在边OB的何处时，使得
EF=（t+1）AE成立并求出点
E的坐标．
y
y
y
F
F
A
C
A
C
A
C
F
O
EB
x
OE
B
x
OE
B
x
20、如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．
能拼成一个矩形（非正方形）．
．．．．．
（1）画出拼成的矩形的简图；
（2）求x的值．
y
21、如所示，在矩形ABCD中，AB
12，AC20，两条角相交于点
O．以OB、OC作第1个
平行四形OBB1C；角相交于点
A1；再以A1B1、A1C作第2
个平行四形
A1B1C1C，角相交
于点O1；再以O1B1、O1C1作第
3个平行四形O1B1B2C1⋯⋯依次推．
（1）求矩形ABCD的面；
（2）求第1个平行四形OBB1C1、第2个平行四形A1B1C1C和第6个平行四形的面．
AD
O
A1
C
B
O1
A2
C1
B1
B2
C2
22、如（22），直
l的解析式
y
x4，它与
x、
y
分相交于
A、B两点．平行于直
l的直
m从
原点
O出，沿
x的正方形以每秒
1个位度的速度运，它与
x、
y分相交于
M、N两点，运
t秒（
0
t≤4）．
（1）求
A、B两点的坐；
（2
）用含t的代数式表示△MON的面S1；
（3
）以MN角作矩形OMPN，△MPN和△OAB重合部分的面
S2，
①当2
t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；
②在直线m的运动过程中，当
t为何值时，S2为△OAB
5
面积的
16
l
y
l
y
B
B
m
m
E
P
N
P
N
F
P
O
MA
x
OM
A
x
图22
23、如图15，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
24、数学课上，张老师出示了问题：
如图
1，四边形
ABCD是正方形，点
E是边
BC的中点．
AEF
90o，且
EF
交正方形外角
DCG的平行线
CF于点
F，求证：
AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，
所以AEEF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：
如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它
条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明
理由；
（2）小华提出：
如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然
成立．你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
F
A
D
A
D
A
D
F
F
B
ECG
B
ECG
B
CEG
图1
图2
图3
25、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：
AFBFEF．
AD
E
F
BC
G
参考答案
1、D
2、410
3、5或9
4、20
5
5
3
21005
5、15
6、C
7、A
8、B
9、C
10、85
11、
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∠1=∠2又∵AN=AN∴△ABN≌△ADN
（2）解：
∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形此时，∠CAD=45°．
下面分三种情形：
Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．此时，点M恰好与点B重合，得x=6；Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，
CMB
4
3
N
2
∴∠3=∠4，从而CM=CN，易求AC=62，∴CM=CN=AC－AN=62－6，
故x=12－CM=12－（62－6）=18－62
综上所述：
当
x=6
或12或
18－62时，△ADN
是等腰三角形
12、
（1）因为
ABCD是正方形，所以
BC=CD。
又因为
ECGF是正方形，所以
EC=CG。
所以三角形BCE和三角形DCG全等（HL）。
所以BE=DG（全等三角形的对应边相等）
（2）存在。
以点
C为旋转中心逆时针旋转
90度
13、
（1）证明：
∵△ABC是正三角形，∴
A
ABC
60°，AB
BC，
AB
BC
在△ABN和△BCM中，
A
ABC∴△ABN≌△BCM．
AN
BM
∴
ABNBCM
．又∵
ABN
OBC
60°
BCM
OBC60°
NOC60°
，∴
，∴
．
注：
学生可以有其它正确的等价证明．
（2）在正方形中，
ANDM，DON
90°
．
（3）在正五边形中，
AN
EM，EON
108°
．
（4）以上所求的角恰好等于正
n边形的内角
（n
2）g180°
n
14、
（1）①证明：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴
AE
AD，ABAC，EAD
BAC
60°
．
又∵
EABEADBAD，
DAC
BACBAD，∴EAB
DAC，
∴△AEB≌△ADC．
②法一：
由①得
△AEB≌△ADC
，∴
ABE
C60°
BACC
60°
．又∵
，
∴ABE
BAC，∴EB∥GC．又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．
法二：
证出△AEG≌△ADB，得EG
ABBC．由①得△AEB≌△ADC．
得BE
CG．∴四边形BCGE是平行四边形．
（2）①②
都成立．
（3）当CD
CB（BD
2CD或CD
1BD或
CAD30°或
BAD90°或
ADC30°）时，四边形
2
BCGE是菱形．
理由：
法一：
由①得△AEB≌△ADC，∴BE
CD分又∵CD
CB，∴BE
CB．
由②得四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形．
法二：
由①得△AEB≌△ADC，∴BECD．又∵四边形BCGE是菱形，
∴BECB∴CDCB．
法三：
∵四边形BCGE是平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，
∴
FBE
BAC
60°，F
ABC
60°
F
FBE
60°
△BEF
是等边三角形．
∴
，∴
又∵
AB
BC
，四边形
BCGE
是菱形，∴
AB
BE
BF
，∴
AE⊥FG
∴
EAG30°EAD
60°
，∵
，
∴CAD30°．
15、
（1）OE
OF．
其证明如下：
∵CE是
ACB的平分线，
1
2．∵MN∥BC，∴
13．
∴23．∴OE
OC．同理可证OC
OF．∴OE
OF．
（2）四边形BCFE不可能是菱形，若
BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由
（1）可知FC⊥EC，在平面内过
同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．
（3）当点O运动到AC中点时，OE
OF，OA
OC，则四边形AECF为Y，要使AECF为正方形，必须
使EF⊥AC．
∵EF∥BC，∴AC⊥BC，
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