特殊平行四边形难题综合训练含答案Word文档格式.docx
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②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出
（1）中的两个结论是否成立
（3）
在
（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形并说明理由．
15、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：
线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形
DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
17、在△ABC中，ABBC2，ABC120°
，将△ABC绕点B顺时针旋转角（0°
90°
）得
△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想，
在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系并证明你的结论；
18、在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB5，AC6．过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求△BDE的周长；
（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：
BPDQ．
19、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90，
使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m=n时，如图，求证：
EF=AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE若存在，请求出点E的坐标；
若不存在，请说明理由．
四块图形，用这四块图形恰
20、如图，将正方形沿图中虚线（其中x<
y）剪成①②③④能．拼．成．一．个．矩形（非正方形）．
（1）画出拼成的矩形的简图；
（2）求x的值．
y
21、如图所示，在矩形ABCD中，AB12，AC20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C；
对角线相交于点A1；
再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；
再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1⋯⋯依次类推．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形OBB1C1、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积．
22、如图（22），直线l的解析式为yx4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0t≤4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2，
①当2t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；
5
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB面积的
216
23、如图15，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
24、数学课上，张老师出示了问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90o，且EF
交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：
AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：
如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；
如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：
如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然
成立．你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；
如果不正确，请说明理由．
25、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：
AFBFEF．
参考答案
553
1、D2、
410
3、5或94、201005
2
5、15
6、C
7、A8、B9、C10、85
11、
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∠1=∠2又∵AN=AN∴△ABN≌△ADN
（2）解：
∵∠ABC=90°
，∴菱形ABCD是正方形此时，∠CAD=45°
下面分三种情形：
M恰好与点B重合，得x=6；
M恰好与点C重合，得x=12；
若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°
．此时，点若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°
．此时，点
Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4，从而CM=CN，易求AC=62，∴CM=CN=AC－AN=62－6，
故x=12－CM=12－（62－6）=18－62
综上所述：
当x=6或12或18－62时，△ADN是等腰三角形
12、
（1）因为ABCD是正方形，所以BC=CD。
又因为ECGF是正方形，所以EC=CG。
所以三角形BCE和三角形DCG全等（HL）。
所以BE=DG（全等三角形的对应边相等）
（2）存在。
以点C为旋转中心逆时针旋转90度
13、
（1）证明：
∵△ABC是正三角形，∴AABC60°
，ABBC，
ABBC
在△ABN和△BCM中，AABC∴△ABN≌△BCM．
ANBM
∴ABNBCM．又∵ABNOBC60°
，∴BCMOBC60°
，∴NOC60°
．注：
学生可以有其它正确的等价证明．
（2）在正方形中，ANDM，DON90°
（3）在正五边形中，ANEM，EON108°
（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角（n2）g180°
n
14、
（1）①证明：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AEAD，ABAC，EADBAC60°
又∵EABEADBAD，DACBACBAD，∴EABDAC，
∴△AEB≌△ADC．
②法一：
由①得△AEB≌△ADC，∴ABEC60°
．又∵BACC60°
，
∴ABEBAC，∴EB∥GC．又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．
法二：
证出△AEG≌△ADB，得EGABBC．由①得△AEB≌△ADC．
得BECG．∴四边形BCGE是平行四边形．
（2）①②都成立．
1
（3）当CDCB（BD2CD或CDBD或CAD30°
或BAD90°
或ADC30°
）时，四边形
BCGE是菱形．
理由：
法一：
由①得△AEB≌△ADC，∴BECD分又∵CDCB，∴BECB．
由②得四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形．
由①得△AEB≌△ADC，∴BECD．又∵四边形BCGE是菱形，
∴BECB∴CDCB．
法三：
∵四边形BCGE是平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，
FBEBAC60°
，FABC60°
∴FFBE60°
，∴△BEF是等边三角形．
又∵ABBC，四边形BCGE是菱形，∴ABBEBF，∴AE⊥FG∴EAG30°
，∵EAD60°
，∴CAD30°
15、
（1）OEOF．
其证明如下：
∵CE是ACB的平分线，12．∵MN∥BC，∴13．
∴23．∴OEOC．同理可证OCOF．∴OEOF．
（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由
（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．
（3）当点O运动到AC中点时，OEOF，OAOC，则四边形AECF为Y，要使AECF为正方形，必须使EF⊥AC．
∵EF∥BC，∴AC⊥BC，∴△ABC是以ACB为直角的直角三角形，
∴当点O为AC中点且△ABC是以ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
16、
（1）解：
由2x
830，得x
4．A点坐标为
4，0．
3
由2x
16
0，得x8．
B点坐标为8，0．
∴AB8
412．
28，yx，x5，
由33解得∴C点的坐标为5，6．
y6．
y2x16．
∴S△ABC1AB·
yC112636．
ABC2C2
8
D点坐标为8，8．
（2）解：
∵点D在l1上且
xD
xB
8，
yD238
8．∴
又∵点E在l2
上且
yE
yD
8，2xE
8．
xE4．∴E点坐标为4，8．
∴OE84
4，
EF
17、
（1）EA1FC．
证明：
（证法一）QAB
BC，
A
C．
由旋转可知，ABBC
1，
C1，
ABE
C1BF，∴
△ABE≌△C1BF．
∴BEBF，又QBA1BC，∴BA1BEBCBF．即EA1
FC．
（证法二）QABBC，AC．
FBA1，∴△A1BF≌△CBE．
由旋转可知，A1C，A1B=CB，而EBC
∴BEBF，∴BA1BEBCBF，即EA1
（2）四边形BC1DA是菱形.
QA1ABA130°
，A1C1∥AB，同理AC∥BC1．
∴四边形BC1DA是平行四边形.
又QABBC1，∴四边形BC1DA是菱形.
18、
（1）因为四边形ABCD为菱形，所以BE
∥AD，AC∥DE，故四边形ABCD为平行四边形，
则有ABADBCCE5，所以BE
BC
CE
10，
ACDE6，又OA1AC
3，
AB
5，
OA垂直于OB，
所以在Rt△ABC中有AB2
OB2
OA2
，所以OB
故三角形BDE的周长为BD
DE
BE
8610
4BD，BD
24
（2）因为四边形
ABCD为菱形，
所以OBOD，
BE∥AD，则DBC=
DOQ又
BOPDOQ，
所以△BOP全等于△DOQ
故有BPDQ
19、
（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．
∴∠EGO=45，从而∠AGE=135．
由BF是外角平分线，得∠EBF=135，∴∠AGE=∠EBF．
∵∠AEF=90，∴∠FEB+∠AEO=90．
在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90，
∴∠EAO=∠FEB，∴△AGE≌△EBF，EF=AE．
（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由
（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH=OE，EH=OA．
∴点F的纵坐标为a，即FH=a．
由BF是外角平分线，知∠FBH=45，∴BH=FH=a．又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB－OE=m－a，
∴EH=m－a+a=m．
又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．
（3）如
（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH－OE=h+m－a．由∠AEF=90，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，
EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，
且AO
EH
FOHE，即hmna
整理得nh=ah+am－a2，
ama2a（ma）h
nana
把h=（t+1）a代入得a（ma）（t1）a，na
即m－a=（t+1）（n－a）．
而m=tn，因此tn－a=（t+1）（n－a）
化简得ta=n，解得an．
t
∵t>
1，∴n<
n<
m，故E在OB边上．
E（nt，0）
∴当E在OB边上且离原点距离为n处时满足条件，此时t
20、
（1）
因为
y≠0，整理得：
（x）2
x
x10解得：
x51（负值不合题意，舍去）
y2
解法二
：
由拼成的矩形可知：
xy
（xy）y
（2）解法一：
由拼图前后的面积相等得：
以下同解法一．
21、
（1）在Rt△ABC中，
BCAC2AB220212216，
S矩形ABCDAB·
BC1216192．
（2）Q矩形ABCD，对角线相交于点O，
SABCD4S△OBC，Q四边形OBB1C是平行四边形，OB∥CB1，OC∥BB1，
OBC
B1CB，OCB
B1BC，又QBCCB，
△OBC≌△B1CB，
SOBB1C2S△OBC
1SSABCD
96，
同理，SA1B1C1C
1S
SOBB1C
21
SABCD
第6个平行四边形的面积为
26ABCD
22、
（1）当x0时，y4；
当y0时，x4．A（4，0），（B0，4）；
（2）QMN∥AB，OMOA1，OMONt，S11OM·
ON1t2；
ONOB122
（3）①当2t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）,
四边形PQMN为平行四边形．在△AEC和△DEB中，
AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°
＝∠CEB，即∠AEC＝∠DEB．∴△AEC≌△DEB．∴AC＝BD．
11
∴PQ＝AC＝BD＝PN，∴□PQMN为菱形．
22
24、
（1）正确．
D
在AB上取一点M，使AM
EC，连接ME．
M
F
BMBE．
BME45°
AME135°
B
EC
G
QCF是外角平分线，
DCF45°
ECF135°
AME
ECF．
QAEBBAE
90°
，AEB
CEF90°
BAE
CEF．
AD∥BE．
△AME≌△BCF（ASA）．
AEEF．
（2）正确．
在BA的延长线上取一点N．使ANCE，连接NE．BNBE．
NPCE45°
．Q四边形ABCD是正方形，
DAEBEA．
NAECEF．△ANE≌△ECF（ASA）．AEEF．
25、QABCD是正方形，ADAB，BAD90°
QDE⊥AG，
DEGAED90°
ADEDAE90°
又QBAFDAEBAD90°
，ADEBAF．
QBF∥DE，
AFBDEGAED．
AED
BAF，
AFB
在△ABF与△DAE中，ADE
ADAB
△ABF≌△DAE（AAS）．
BFAE．
QAFAEEF，
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