第五章特殊平行四边形难题综合训练含答案.docx

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第五章特殊平行四边形难题综合训练含答案

第五章特殊平行四边形难题综合训练

G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R

1、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点

为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（

A.10

B.12

D.16

2、如图，在正方形

ABCD内有一折线段，其中AE丄EF,EF丄FC,

并且AE=6,

EF=8,FC=10,则正方形的边长

3、如图，平面内4条直线11、

12、13、l4是一组平行线,

相邻2条平行线的距离都是

1个单位长度，正方形ABCD

的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点

A、C分别在直线11、|4上，

该正方形的面积是

.平方

单位.

4、如图，在菱形ABCD中，边长为10,/A=60。

.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1;顺次连结

四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2;顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3;

按此规律继续下去

•则四边形A2B2C2D2的周长是

；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是

5、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F,/AED=2/CED，点G是

DF的中点，若BE=1,AG=4，则AB的长为

6、如图，四边形ABCD中，AB=BC,/ABC=/CDA=90°

BE丄AD于点E,且四边形

ABCD的面积为8，贝UBE=

第5题

A在x轴上，/

7、如图，菱形OABC的顶点0在坐标原点，顶点

B=120°OA=2,

将菱形

OABC绕原点顺时针旋

转105°至OABC'的位置，则点B的坐标为（

A、（血，）

B、（

c、32,罷）

D、（

BC于点G,连接AG，CF.下列结论：

①点G是BC中点；②FG=FC:

③$△fgc=9/10.

其中正确的是（

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

9、如图，在正方形ABCD中，点0为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交

AB、BC于点E、F，且/EOF=90°BO、EF交于点P.则下列结论中：

（1）图形中

全等的三角形只有两对；

（2）正方形ABCD的面积等于四边形

OEBF面积的4倍；（3）

BE+BF=J20A;（4）AE2+CF2=20P?

OB.正确的结论有（

）个.

C.3

10、如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的

L型模板如图放置，则矩形

ABCD的周长为

11、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿AtBC向终点C运动，连接DM

交AC于点N.

（1）如图11—1，当点

M在AB边上时，连接BN.求证：

△ABN◎△ADN；

⑵如图11—2，若/

三角形.

ABC=90。

，记点M运动所经过的路程为x（6*12.试问：

x为何值时，△ADN为等腰

（图11-1）

（图11-2）

12、如图所示，正方形

ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE,DG.

（1）求证：

BEDG.

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？

若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由.

13、请阅读，完成证明和填空.

图13-1

图13-2

图13-3

数学兴趣小组在学校的

数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下:

（1）

如图13-1，正三角形ABC中，在

ABAC边上分别取点M、N，使BMAN，连接BN、CM，发

现BN

CM，且NOC60°.请证明:

NOC60°.

（2）

如图13-2，正方形ABCD中，在

AB、BC边上分别取点M、N，使AMBN，连接AN、DM，那

么AN

，且DON

度.

（3）如图13-3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AMBN，连接AN、EM,

那么AN

，且EON

度.

（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.

请大胆猜测，用一句话概括你的发现:

14、△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的

等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线ABAC于点F、G，连接BE.

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时.

直接写出

（1）中的两个结论是否成立?

四边形BCGE是菱形？

并说明理由.

15、如图，△ABC中，点0是边AC上一个动点，过

0作直线MN//BC，设MN交BCA的平分线于点E,

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时,

（3）在

（2）的情况下，当点D运动到什么位置时,

交BCA的外角平分线于点F.

（1）探究：

线段0E与OF的数量关系并加以证明;

（2）当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？

若是，请证明，若不是，则说明理由;

（3）当点0运动到何处，且△ABC满足什么条件时,

四边形AECF是正方形?

16、如图，已知直线l1:

y2x3与直线l2:

y2x

16相交于点C,li、12分别交x轴于A、B两点.矩形

DEFG的顶点D、E分别在直线li、l2上，顶点F、

G都在x轴上，且点G与点B重合.

（1）求△ABC的面积;

iiy

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长;

17、在^ABC中，ABBC

2,ABC120°,将^ABC绕点B顺时针旋转角（0°

90°）得

△ABCi,AB交AC于点

E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点.

（1）如图1,观察并猜想,

在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？

并证明你的结论;

（2）如图2,当30°

时，试判断四边形BCQA的形状，并说明理由

18、在菱形ABCD中，对角线

AC与BD相交于点0，AB

5,AC

过点

D作DE//AC交BC的延长线

于点E.

（1）求△BDE的周长;

（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q.求证:

BPDQ.

19、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作/AEF=90,

使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m,n）.

（1）

若m=n时，如图，求证：

EF=AE;

（2）

（3）

若m=tn（t>1）时，试探究点

E在边0B的何处时，使得

EF=（t+1）AE成立？

并求出点E的坐标.

20、如图，将正方形沿图中虚线（其中

若m和时，如图，试问边0B上是否还存在点E,使得EF=AE?

若存在，请求出点E的坐标；若不存在,

请说明理由.

——肿厂计

■③；④

能拼成一个矩形（非正方形）.

（1）画出拼成的矩形的简图;

（2）求-的值.

平行四边形OBBiC；对角线相交于点

A；再以AiBi、

AC为邻边作第2个平行四边形ABiCiC，对角线相交

于点Oi；再以OiBi、OiCi为邻边作第

3个平行四边形

O1B1B2C1……依次类推.

（1）求矩形ABCD的面积;

（2）求第1个平行四边形OBBG、

第2个平行四边形

A,B1C1C和第6个平行四边形的面积.

22、如图（22）,直线I的解析式为y

x4，它与x轴、y轴分别相交于AB两点.平行于直线

I的直线m从

原点O出发，沿x轴的正方形以每秒

1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、

N两点，设运

动时间为t秒（0t<4）.

（1）求A、B两点的坐标;

（2）用含t的代数式表示△MON的面积5；

（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S?

，

①当2t<4时，试探究S2与t之间的函数关系式;

②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2OAB面积的上？

M\a\X

AB、BC、CD、DA的中点

23、如图15,在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和^BCE都是等边三角形,

分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论.

交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：

AE=EF.

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME,则AM=EC,易证△AMEECF,

所以AEEF.

在此基础上，同学们作了进一步的研究:

（1）小颖提出：

如图2，如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上（除B,C外）的任意一点”，其

它条件不变，那么结论ae=ef”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;

（2）小华提出：

如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论AE=EF”仍

然成立.你认为小华的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.

图1

图2

图3

25、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点,

DE丄AG于E,

BF//DE，交AG于F.求证:

AFBFEF.

参考答案

1、D

3、

5或94、

20守3

5、寸15

6、C

A8、B

9、C

11、

（1）证明：

•••四边形

ABCD是菱形•••AB=AD,/1=/2又：

AN=AN.'.AABN也△ADN

CAD=45°

恰好与点B重合，得x=6;

（2）解：

•••/ABC=90°•••菱形ABCD是正方形此时，/

F面分三种情形:

I）若ND=NA，则/ADN=/NAD=45°此时，点M

川）若AN=AD=6，则/1=/2,由AD//BC,得/1=/4，又/2=/3,

•••/3=/4,从而CM=CN，易求AC=672，二CM=CN=AC-AN=6丫湮—6,

故x=12—CM=12—（6^2—6）=18—6^2

综上所述：

当x=6或12或18—6罷时，△ADN是等腰三角形

12、

（1）因为ABCD是正方形，所以BC=CD。

又因为ECGF是正方形，所以EC=CG。

所以三角形BCE和三角形DCG全等（HL）。

所以BE=DG（全等三角形的对应边相等）

（2）存在。

以点C为旋转中心逆时针旋转90度

13、

（1）证明：

t△ABC是正三角形，•••AABC60°AB

BC,

ABBC

在^ABN和^BCM中，AABC•-△ABNBCM.

ANBM

注:

（2）

ABNBCM.又tABNOBC60°,•BCM

学生可以有其它正确的等价证明.

在正方形中，ANDM,DON90°.

OBC

60°•NOC60°.

（3）

（4）

14、

（1）①证明:

•••△ABC和△ADE都是等边三角形,

•••AEAD,

ABAC,EADBAC60°.

又•••EAB

EADBAD,DAC

BAC

EAB

DAC,

在正五边形中，ANEM,EON108°.

以上所求的角恰好等于正n边形的内角52）680

•△AEBADC.

②法一：

由①得△AEBADC,•••

ABEC

60°.又•••

BAC

C60°,

ABEBAC,•••EB//GC.又t

EG//BC,

•••四边形BCGE是平行四边形.

法二：

证出△AEGADB，得EG

ABBC.由①得△AEB尢ADC.

（3）当CD

理由：

法一:

由②得四边形

BCGE是平行四边形，•四边形BCGE是菱形.

得BECG.•••四边形BCGE是平行四边形.

（2）①②都成立.

CB（BD2CD或CD-BD或CAD30°或BAD90°或ADC30°）时，四边形2

BCGE是菱形.

由①得△AEBADC,•••BECD分又tCDCB,•BECB.

法二：

由①得

△AEB◎△ADC,•••BECD•又•••四边形BCGE是菱形,

•••BECB•••CDCB.

FBE60°,•ABEF是等边三角形.

又•••ABBC,四边形BCGE是菱形，/•ABBE

BF,•AE丄FG•••EAG30°,•/EAD60°,

CAD30°.

15、

（1）OEOF.

其证明如下：

•••CE是ACB的平分线,

•••MN//BC,•13.

23.•OEOC.同理可证OCOF.•OEOF.

（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF丄EC,而由

（1）可知FC丄EC,在平面内过

同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.

（3）当点O运动到AC中点时，OEOF,OAOC,则四边形AECF为Y，要使AECF为正方形，必须

使EF丄AC.

•/EF//BC,•••AC丄BC,•••△ABC是以ACB为直角的直角三角形,

•••当点O为AC中点且AABC是以ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.

解

由

—x

由

—x

0,得x

16、

（1）

3，解得

16.

（2）

4.A点坐标为4,0.

B点坐标为8,0.•••AB8412.

5•-C点的坐标为

5,6.

Saabc2ab'Yc

解：

•.•点D在h上且Xd

又•••点

•••OE

126

36.

38•D点坐标为8,8.

E在12上且

168.Xe4..・.E点坐标为4,8.

844,

17、

（1）EAFC.

证明：

（证法一）

QABBC,

由旋转可知，ABBC1,A

C1,

ABE

C1BF,•••△ABEGBF.

•••BEBF,又QbaBC,•BA1BEBC

BF.即EAFC.

（证法二）QABBC,

AC.

由旋转可知，A,C,

AB二CB,而EBC

FBA1,•••AABFCBE.

•••BEBF,•BA1BE

BCBF，即EA1FC.

FBEBAC60°FABC60°二F

（2）四边形BCiDA是菱形.

证明：

ABA130°AC1//AB,同理AC//BC^

•••四边形

BC1DA是平行四边形.

又QAB

BCi,/.四边形BCiDA是菱形.

18、

（1）因为四边形ABCD为菱形，所以BE

//AD,AC//DE，故四边形ABCD为平行四边形,

则有ABADBCCE5，所以BE

BCCE

10,

ACDE6,又OA1AC2

AB5,

OA垂直于OB,

所以在RtAABC中有AB2

OB2

OA2

，所以OB

41BD,BD8,

故三角形BDE的周长为BD

8610

（2）因为四边形

ABCD为菱形,

所以OBOD,

BE//AD，贝UDBC=

DOQ又

BOPDOQ，所以△BOP全等于△DOQ

故有BPDQ

19、

（1）由题意得

m=n时，AOBC是正方形.

如图，在OA上取点C,使AG=BE，贝UOG=OE.

•••/EGO=45，从而/AGE=135.

由BF是外角平分线，得/EBF=135,•/AGE=/EBF.

•//AEF=90,•/FEB+/AEO=90.

在RtAAEO中，•••/EAO+/AEO=90,

•••/EAO=/FEB,...△AGEEBF,EF=AE.

（2）假设存在点E,使EF=AE.设E（a,0）.作FH丄x轴于H,如图.

由

（1）知/EAO=/FEH，于是RtAAOE也RtAEHF.

•••FH=OE,EH=OA.

EB:

•••点F的纵坐标为a，即FH=a.

由BF是外角平分线，知/FBH=45,•BH=FH=a.

又由C（m,n）有OB=m,•BE=OB—OE=m—a,

••EH=m—a+a=m.

又EH=OA=n,•••m=n,这与已知m知相矛盾.

因此在边OB上不存在点E,使EF=AE成立.

（3）如

（2）图，设E（a,0）,FH=h，贝UEH=OH—OE=h+m—a.

•••EF=（t+1）

AE等价于FH=（t+1）0E,即h=（t+1）

且EOOE

整理得

nh=ah

+am—a2,-

h0^a（ma）

nana

（t+1）a代入得型

（t1）a,

m—a=（t+1）（n—a）.

m=tn,因此tn—a=（t+1）（n—a）.

化简得ta=n,解得a-

•••t>1,•••-

•••当E在OB边上且离原点距离为n处时满足条件，此时t

20、

（1）

（2）解法一：

由拼图前后的面积相等得:

因为yM0整理得：

（一）2

10解得:

解法二：

由拼成的矩形可知:

（负值不合题意，舍去）

（xy）y

21、

（1）在Rt△ABC中，

BCJac2AB2

J202

12216,

S矩形ABCD

AB-BC

1216

192.

（2）Q矩形ABCD,

对角线相交于点O,

Sabcd

4SaOBC，

Q四边形

OBB1C是平行四边形，

OBC

B1CB,

OCB

B1BC，又QBC

SOBB1C

2SaOBC

cSABCD

96，冋理，SA,B1C1C

以下同解法一.

第6个平行四边形的面积为^Sabcd3.

OB//CB1,OC//BB1,

CB,△OBC6B1CB,

"2SOBB1C

22Sabcd48,

22、

（1）当X

0时，y4；当y0时，X4.A（4,0）B0,4）；

（2）QMN

//AB,OMOA1,OMONt,3丄OM-ON

ONOB2

（3）①当2

t<4时，易知点卩在^OAB的外面，则点P的坐标为

（t,t）,

F点的坐标满足Xt,

即F（t,4t）,

同理E（

4t,t），则PF

t（4-t）

所以5

Sampn

Sapef

SaomnSapef

it2

1—PE-PF

丄t2

-（2t

4）（2t

4）

②当0

t<2时，

212

，—t

162

解得t1

750,

2,两个都不合题意，舍

去

当2t<4时，S

28t

解得t3

综上得,

当t3或t

3时，S2OAB的面积的一

如图，

连结AC、

BD.

23、

PQ%AABC的中位线，•••PQ纟

同理MN纟

四边形

^AC.AMN也PQ,

PQMN为平行四边形.在△

AE=DE,

EC=EB,/AED=60°=/

•••PQ=Iac=

24、

（1）正确.

1-AC.

AEC和^DEB中,

CEB，即/AEC=/DEB.

-BD=PN,•••EPQMN为菱形.

证明：

在AB上取一点M，使AM

EC,连接ME.

BMBE.

BME45°,

AME135°.

QCF是外角平分线,

DCF45°

ECF135°

AMEECF.

QAEBBAE

90°,AEB

CEF90°

BAE

△AMEBABCF（ASA）.

AEEF.

（2）正确.

证明：

在BA的延长线上取一点N.

•••△AECDEB

CEF.

AC=BD.

使ANCE，连接NE

BE．

NPCE45°．

Q四边形

ABCD是正方形，AD//BE.

DAEBEA．

NAE

CEF.△ANE尢ECF（ASA）.AEEF.

25、QABCD是正方形，

ADAB，BAD

90°．

QDE丄AG,

DEG

AED90°．

ADE

DAE90°．

又QBAF

DAE

BAD90°，

ADE

BAF．

QBF//DE,

AFBDEG

AED．

AFB

AED

在△ABF与△DAE中，ADE

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