完整版高考圆锥曲线经典真题.docx
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完整版高考圆锥曲线经典真题
高考圆锥曲线经典真题
知识整合：
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，
主要涉及地点关系的判断，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出
观察了数形联合、分类谈论、函数与方程、等价转变等数学思想方法，要求考
生解析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“品位”，有益
于选拔的功能.
1.（江西卷15）过抛物线x2
2py（p
0）的焦点F作倾角为30o的直线，与抛物线
AF
1
分别交于A、B两点（A在y轴左边），则FB
．3
2（2008年安徽卷）若过点
A（4,0）的直线l与曲线（x2）2
y2
1有公共点,则直
线l的斜率的取值范围为
（）
A.[3,3]B.（
3,
3）
[
3,
3]
（
3,
3）
C.
3
3
D.
3
3
x2
y2
3（2008年海南---
宁夏卷）设双曲线9
1
的右极点为A,右焦点为F,过点F
16
平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点
B,则三角形AFB的面积为-
___________.
热门考点研究：
考点一：
直线与曲线交点问题
例1.已知双曲线C：
2x2－y2=2与点P（1，2）
（1）求过P（1，2）点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
解：
（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l
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的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k（x－1）,代入C的方程，并整理得
（2－k2）x2+2（k2－2k）x－k2+4k－6=0（*）
（ⅰ）当2－k2=0,即k=±2时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点
（ⅱ）当2－k2≠0,即k≠±2时
=［2（k2－2k）］2－4（2－k2）（－k2+4k－6）=16（3－2k）
3
①当=0,即3－2k=0,k=2时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点.
33
②当＞0,即k＜2,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜2时，方程（*）有两不等实根，l与C有两个交点.
3
③当＜0，即k＞2时，方程（*）无解，l与C无交点.
3
综上知：
当k=±2,或k=2，或k不存在时，l与C只有一个交点；
3
当2＜k＜2,或－2＜k＜2,或k＜－2时，l与C有两个交点；
3
当k＞2
时，l与C没有交点.
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为
AB，且A（x1,y1）,B（x2,y2）
，则2x12－
y12=2,2x22－y22=2两式相减得：
2（x1－x2）（x1+x2）=（y1－y2）（y1+y2）
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2（x1－x2）=y1－y1
y1y2
即kAB=x1x2=2
但渐近线斜率为±2,联合图形知直线AB与C无交点，因此假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
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（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦能否存在.
考点二：
圆锥曲线中的最值问题
关于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些互相联系、互相限制
的变量，从而使变量与此中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与
函数方法办理起来十分方便。
例2直线m：
ykx1和双曲线x2y21的左支交于A、B两点，直线l过P（2,0）
和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围。
y
kx
1
1）
解：
由x
2
2
（x
2
1）x2
y
1
消去y得（k
2kx20，由题意，有：
4k2
8（1
k2）
0
x1x2
2k
0
1k2
x1x2
2
0
1
k2
1
k
2
x0
x1
x2
k
2
1
k2
设M（x0,y0），则
y0
kx0
1
1
1
k2
2,0）、M（1
k
1
）、Q（0,b）三点共线，可求得b
2
由P（
k2
1
k2
2k2
k2
设f（k）
2k2
k
2
2（k
1
）
2
17
4
8，则f（k）在（1,
2）上为减函数。
因此f（
2）f（k）
f
（1），且f（k）
0
因此（2
2）
f（k）
1
因此b（2
2）或b
2
考点三：
弦长问题
涉及弦长问题，应娴熟地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系常常也是利用韦达定理，设而不求简化运算.
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例3.以以以下图，抛物线y2=4x的极点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为4的直线l与线段OA订交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求△AMN面
积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
解：
由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.
y
xm
由方程组y
2
4x,消去y,得x2+（2m－4）x+m2=0
①
∵直线l与抛物线有两个不一样样交点M、N，∴方程①的鉴识式=（2m－4）2－4m2=16（1－m）＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为（－5，0）
设M（x1,y1）,N（x2,y2）则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=42（1m）.
5m
点A到直线l的距离为d=2.
∴S△=2（5+m）1m,从而S△2=4（1－m）（5+m）2
22m5
m5m
=2（2－2m）·（5+m）（5+m）≤2（
3
）3=128.
∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82.
考点4：
圆锥曲线关于直线对称问题
例4.已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F（2,0）,且两条准线间的距离为
（4）,
（I）求椭圆的方程;
（II）若存在过点A（1,0）的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求的取值范围.
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x2
y2
1（a
b
0）
【解析】（I）设椭圆的方程为a2
b2
c
2,且
2a2
2
c
因此a
b2
a2
c2
4
由条件知
x2
y2
1（
4）
故椭圆的方程是
4
（II）
依题意,直线l的斜率存在且不为
0,记为k,则直线l的方程是y
k（x1）,设
点F（2,0）关于直线l的对称点为F/（x0,y0）,则
y0
k（x0
21）
x0
1
2
2
2
解得
k2
y0
2k
k
1
y0
x0
2
1
k2
（
2
2）2
（
2k2）2
/
1
k
1
k
1
（x0,y0）在椭圆上,因此
4
由于F
即（
4）k4
2（
6）k2
（
4）2
0
故k2
t,则（
4）t2
2（
6）t（
4）2
0
4,因此
（
4）2
0
由于
（
4）
[2
（
6）]2
4
（
4）3
0,
2（
6）
0,
当且仅当
（
4）
（*）
于是
上述方程存在正实根
即直线l存在.
16,
因此
4
16
3
3
解（*）得4
6
即的取值范围是规律总结
4
16
3
1.判断直线与圆锥曲线地点关系时,应将直线l方程与圆锥曲线C的方程联立,
第5页共12页
消去y（也可消去x）得一个关于变量x的一元方程ax2
bx20.
①当a0时,如有
0,则l与C订交;若
0,则l与C相切;若
0,则l与C相
离.
②当a0时,获得一个一元一次方程,若方程有解,则有直线l与C订交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的轴.因此只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能订交.
2.“设而不求”的方法
若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,第一设出交点A（x1,y1）、B（x2,y2）,它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用
点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.
3.韦达定理与弦长公式
斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦
AB,若A（x1,y1）,B（x2,y2）则|AB||x1x2|1k2
|y1y2|1
12（k0）
此后再联合韦达定理可求出弦长等.
k
专题能力训练：
一、选择题
x2
1.斜率为1的直线l与椭圆
4+y2=1订交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）
4
5
4
10
8
10
B.
5
C.
5
D.
5
2.抛物线y=ax2与直线y=kx+b（k≠0）交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为
x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有（）
A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3
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C.x1+x2+x3=0
D.x1x2+x2x3+x3x1=0
4
5
t2
410
2
≤5.
1.解析：
弦长|AB|=
5
答案：
C
y
ax
2
b
b
k
2.解析：
解方程组y
kx
b,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=a,x1x2=－a,x3=－k,
代入考据即可.
答案：
B
x
2
y
2
1（a0,b0）
3.斜率为2的直线l过双曲线a
2
b2
的右焦点,且与双曲线的左、右
两支分别订交,则双曲线的离心率e
的取值范围是
（D）
A.e2B.1e3C.1e
5D.e
5
4.过点A（4,0）的直线与抛物线y24x交于其余两点B、C,O是坐标原点,则三角形BOC是（C）
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确立
二、填空题
55
5.已知两点M（1，4）、N（－4，－4），给出以下曲线方程：
①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,
x2
x2
③2
+y2=1,④2－y2=1,在曲线上存在点
P满足|MP|=|NP|的全部曲线方程是
_________.
.解析：
点P在线段MN的垂直均分线上，判断MN的垂直均分线于所给曲线能否
存在交点.
答案：
②③④
6.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形
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ABCD的面积为_________.
7.在抛物线y2=16x内，经过点（2，1）且在此点被均分的弦所在直线的方程是
_________.
6解析：
设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.
答案：
18或50
7.解析：
设所求直线与y2=16x订交于点A、B，且A（x1,y1）,B（x2,y2）,代入抛
物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，（y1+y2）（y1－y2）=16（x1－x2）.
y1
y2
16
即x1
x2
y1y2kAB=8.
故所求直线方程为y=8x－15.
答案：
8x－y－15=0
三、解答题
8.已知抛物线y2=2px（p＞0）,过动点M（a,0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不一样样的两点A、B，且|AB|≤2p.
（1）求a的取值范围.
（2）若线段AB的垂直均分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
21
9.知中心在原点，极点A1、A2在x轴上，离心率e=3的双曲线过点P（6，6）.
第8页共12页
（1）
求双曲线方程.
（2）
动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不一样样的两点
M、N，问：
能否
存在直线l,使G均分线段MN，证明你的结论.
10.
已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点
A（2，0）为圆心，1为半
径的圆相切，双曲线的一个极点A1与A点关于直线y=x对称.
（1）求双曲线C的方程.
（2）设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点
B到直线l的距离为2，试求k的值及此时B点的坐标.
x2y2
11.已知过双曲线方程42
1
（1）过M（1,1）的直线交双曲线于A、B两点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方
程;
（2）能否存在直线l,使
N（1,1）
2为l被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线l的
方程;若不存在,请说明原由.
8解：
（1）
设直线l的方程为：
y=x－a,代入抛物线方程得（x－a）2=2px,即x2－
2（a+p）x+a2=0
∴|AB|=
24（ap）2
4a2
≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
p
又∵p＞0,∴a≤－4.
（2）设A（x1,y1）、B（x2,y2），AB的中点C（x,y）,
由
（1）知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
x1
x2
a
y1y2x1
x2
2a
则有x=
p,y
=p.
2
2
2
∴线段AB的垂直均分线的方程为
y－p=－（x－a－p）,从而N点坐标为（a+2p,0）
第9页共12页
|a
2p
a|
2p
点N到AB的距离为
2
1
4（a
p）
2
4a
2
2p
2p2ap
p
2
22
从而S△NAB=
p
当a有最大值－4
时，S有最大值为
2p2.
x2
y2
62
62
1,e2
a2
b2
21
9.解：
（1）如图，设双曲线方程为a2
b2=1.由已知得a2
b2
a2
3,解
得a2=9,b2=12.
x2
y2
因此所求双曲线方程为
9
12
=1.
（2）P、A1、A2的坐标挨次为（6,6）
、（3，0）、（－3，0），
∴其重心G的坐标为（2，2）
假设存在直线l，使G（2，2）均分线段MN，设M（x1,y1），N（x2,y2）.
则有
12x12
9y1
2
108
12x2
2
9y2
2
108y1
y2
12
4
x1
x2
4
x1
x2
93
4
y1
y2
4
，∴kl=3
4
∴l的方程为y=3（x－2）+2,
12x2
9y2
108
y
4
（x
2）
由
3
消去y,整理得x2－4x+28=0.
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.
|2k|
10.解：
（1）
设双曲线的渐近线为
y=kx,由d=k2
1=1,解得k=±1.
第10页共12页
即近y=±x,又点A关于y=x称点的坐（0，2）.
∴a=2=b,所求双曲C的方程x2－y2=2.
（2）直l：
y=k（x－
2）（0＜k＜1）,依意B点在平行的直l′上，且l与
l′的距离2.
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