完整版高考概率大题专项训练.docx
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完整版高考概率大题专项训练
2017年01月23日概率大题
一．解答题（共18小题）
1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合
实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．
（1）求这两个班“在星期一不相同时上综合实践课”的概率；
（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学希望E（X）．
2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，
在一轮活动中，若是两人都猜对，则“星队”得3分；若是只有一个人猜对，则“星
队”得1分；若是两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，
乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不
影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”最少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学希望EX．
3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加会商会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布
列和数学希望．
4．某商场一号电梯从1层出发后能够在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载
有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．
（Ⅰ）求这4位乘客中最少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学希望．
5．集成电路E由3个不相同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能
正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件可否正常工作相互独立，
第1页（共24页）
若三个电子元件中最少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且
维修集成电路E所需花销为100元．
（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；
（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成
电路所需的花销，求X的分布列和希望．
6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅能够从以下两种优惠方案中选择一种，
方案一：
每满200元减50元：
方案二：
每满200元可抽奖一次．详尽规则是依次从装有3个红球、1个白球的
甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠以下表：
（注：
全部小球仅颜色有差异）
红球个数
3
2
1
0
本质付款
半价
7折
8折
原价
（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求最少一个人获得半价优惠的概率；
（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中
学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则以下，双方各出3名队员并起初排定好出场序次，双方的第一号选手第一对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被裁汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被裁汰，另一方算获胜．若是双方队员的实力伯仲之间（即取胜对手的概率相互相等）
（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的状况下，求甲队获胜的概率．
（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学希望Eξ．
8．M企业从某大学招收毕业生，经过综合测试，录取了14名男生和6名女生，
这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：
分），企业规定：
成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．别的只有成绩高于180分的男生才能担当“助理工作”．
（Ⅰ）若是用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中采用8人，再从
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这8人中选3人，那么最少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
（Ⅱ）若从全部“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担当“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学希望．
9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：
指标大于或等于82为正品，
小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计以下：
测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]
元件A81240328
元件B71840296
（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则损失5元；生产一
件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则损失10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总收益，求随机变量X的分
布列和数学希望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的收益很多于140元的概率．
10．一个盒子中装有大量形状大小相同但重量不尽相同的小球，从中随机抽取
50个作为样本，称出它们的重量（单位：
克），重量分组区间为[5，15]，（15，
25]，（25，35]，（35，45]，由此获得样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a的值，并依照样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X
的分布列和数学希望．（以直方图中的频率作为概率）
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11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业
技术进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多
于男生人数），若是从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；
（1）求该小组中女生的人数；
（2）假设此项专业技术测试对该小组的学生而言，每个女生经过的概率均为，
每个男生经过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行
测试，记这3人中经过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学希望．
12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生会商会，拟邀请20名来自本
校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数以下表所示：
学院机械工程学海洋学院医学院经济学院
院
人数
4
6
4
6
（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，
求随机变量ξ的概率分布列和数学希望．
13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5
次测试的成绩（单位：
分）以下表：
第1次第2次第3次第4次第5次
甲5855769288
乙6582878595
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？
说明原由（不
用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行解析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和希望EX．
14．某企业有10万元资本用于投资，若是投资甲项目，依照市场解析知道：
一
年后可能盈利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种状况发生的概率分别
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，，；若是投乙目，一年后可能利20%，也可能失20%，两
种状况生的概率分α和β（α+β=1）．
（1）若是把10万元投甲目，用ξ表示投收益（收益=回收金投金），求ξ的概率分布及Eξ；
（2）若把10万元投乙目的平均收益不低于投甲目的平均收益，求α的取范．
15．袋中装有棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率
．有甲、乙两人从袋中流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，尔后甲再取，⋯，取后均不放回，直到有一人取到白棋即止．每枚棋子在每一次被摸出的机遇都是等可能的．用X表示取棋子止所需的取棋子的次数．
（1）求随机量X的概率分布列和数学希望E（X）；
（2）求甲取到白球的概率．
16．小王了身体，每天持“健步走”，并用步器行．小王近来8天“健步走”步数的数分布直方（如）及相的耗资能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819
耗资能量（卡路里）400440480520
（Ⅰ）求小王8天“健步走”步数的平均数；
（Ⅱ）从步数16千步，17千步，18千步的几天中任2天，小王2天通
健步走耗资的“能量和”X，求X的分布列．
17．某校从参加某次数学能力的学生中中抽36名学生，了他的数学成（成均整数且分120分），成的率直方如所示，
其中成分是：
[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]
（1）在36名学生中随机抽取3名学生，求同足以下条件的概率：
（1）有
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且仅有1名学生成绩不低于110分；
（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；
（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机采用3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学希望EX．
18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：
先从这批产品中任取5件作检验，
这5件产品中优秀品的件数记为n．若是n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优秀品，则这批产品经过检验；若是n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优秀品，则这批产品经过检验；若是n=5，则这批产品经过检验；其他
状况下，这批产品都不能够经过检验．假设这批产品的优秀品率为50%，即取出的产品是优秀品的概率都为，且各件产品可否为优秀品相互独立．
（1）求这批产品经过检验的概率；
（2）已知每件产品检验花销为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的花销记为x（单位：
元），求x的分布列．
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2017年01月23日概率大题
参照答案与试题解析
一．解答（共18小）
1．（2017?
城一模）某年星期一至星期五每天下午排3，每天下午随机
1作合践（上午不排程），老与王老分任教甲、乙两个班的合践程．
（1）求两个班“在星期一不相同上合践”的概率；
（2）两个班“在一周中同上合践的数”X，求X的概率分布表与数学希望E（X）．
【解答】解：
（1）两个班“在星期一不同上合践”的概率．⋯（4分）
（
2）
由
意
得
，
．⋯（6分）
因此X的概率分布表：
X
0
1
2
3
4
5
P
⋯（8分）
因此，X的数学希望
．⋯（10分）
2．（2016?
山）甲、乙两人成“星”参加猜成活，每活由甲、乙各猜一个成，在一活中，若是两人都猜，“星”得3分；若是只有一个人猜，“星”得1分；若是两人都没猜，“星”得0分．已知甲每猜的概率是，乙每猜的概率是；每活中甲、乙猜与否互不影响．各
果亦互不影响．假“星”参加两活，求：
（I）“星”最少猜3个成的概率；
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（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学希望EX．
【解答】解：
（I）“星队”最少猜对3个成语包括“甲猜对1个，乙猜对
2个”，“甲
猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对
2个”三个基本事件，
故
概
率
P=
+
+
=++=，
（II）“星队”两轮得分之和为
X可能为：
0，1，2，3，4，6，
则P（X=0）=
=，
P（X=1）=2×[
+
]=
，
P
（
X=2
）
=
+
+
+
=
，
P（X=3）=2×
=，
P（X=4）=2×[
+
]=
P（X=6）=
=
故X的分布列以以下列图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
∴数学希望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+6×==
3．（2016?
天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次
数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代
表参加会商会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概
率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布
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列和数学希望．
【解答】解：
（1）从10人中出2人的法共有=45种，
事件A：
参加次数的和4，状况有：
①1人参加1次，另1人参加3次，②2
人都参加2次；
共有+=15种，
∴事件A生概率：
P==．
（Ⅱ）X的可能取0，1，2．
P（X=0）==
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列：
X
0
1
2
P
∴EX=0×+1×+2×=1．
4．（2016?
惠州模）某商一号梯从1出后能够在2、3、4停靠．已知梯在1有4位乘客，假每位乘客在2、3、4下梯是等可能的．（Ⅰ）求4位乘客中最少有一名乘客在第2下梯的概率；
（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4下梯的人数，求X的分布列和数学希望．【解答】解：
（Ⅰ）4位乘客中最少有一名乘客在第2下梯的事件A，⋯（1分）
由意可得每位乘客在第2下梯的概率都是，⋯（3分）
第9页（共24页）
．⋯（6分）
（Ⅱ）X的可能取0，1，2，3，4，⋯（7分）
由意可得每个人在第4下梯的概率均，且每个人下梯互不影响，
因此，
．⋯（9分）
X
0
1
2
3
4
P
⋯（11分）．⋯（13分）
5．（2016?
河北区三模）集成路E由3个不相同的子元件成，由于元件老
化，三个子元件能正常工作的概率分降，，，且每个子元件可否
正常工作相互独立，若三个子元件中最少有2个正常工作，E能正常工作，
否就需要修，且修集成路E所需用100元．
（Ⅰ）求集成路E需要修的概率；
（Ⅱ）若某子共由2个集成路E成，X子需要修集成
路所需的用，求X的分布列和希望．
【解答】解：
（Ⅰ）三个子元件能正常工作分事件
A，B，C，P（A）
=，P（B）=，P（C）=．
依意，集成路E需要修有两种状况：
①3个元件都不能够正常工作，概率P1（
）
（）（）（）
=
×
=P
=P
P
P
×=
．
②3个元件中的
2个不能够正常工作，概率
P2（
）
（
）（
）
=P
A
+PB
+P
C
=
+
+×=．
因此，集成路E需要修的概率P12
+
=
．
+P=
（Ⅱ）ξ修集成路的个数，ξ遵从B（2，），而X=100ξ，
P（X=100ξ）=P（ξ=k）=?
?
，k=0，1，2．
第10页（共24页）
X的分布列：
X0100200
P
∴EX=0×+100×+200×=．
6．（2016?
唐山一模）某商行惠促活，客能够从以下两种惠方
案中一种，
方案一：
每200元减50元：
方案二：
每200元可抽一次．详尽是依次从装有3个球、1个白球的
甲箱，装有2个球、2个白球的乙箱，以及装有1个球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得果和享受的惠以下表：
（注：
全部小球色有区）
球个数3210
付款半价7折8折原价
（Ⅰ）若两个客都方案二，各抽一次，求最少一个人得半价惠的概率；
（Ⅱ）若某客物金320元，用所学概率知比哪一种方案更划算？
【解答】解：
（Ⅰ）客得半价惠事件A，P（A）==，
两个客最少一个人得半价惠的概率：
P=1P（）P（）=1
（1）2=．⋯（5分）
（Ⅱ）若方案一，付款金32050=270元．
若方案二，付款金X元，X可取160，224，256，320．
P（X=160）=，
P（X=224）==，
P（X=256）==，
P（X=320）==，
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E（X）=160×+224×+256×+320×=240．
∵270＞240，
∴第二种方案比划算．⋯（12分）
7．（2016?
商丘校模）丰富中学生的余生活，增中学生之的交往与
学，某市甲乙两所中学一次中学生棋擂台．比以下，双方各出
3名并先排定好出序，双方的第一号手第一，双方的者留下
行下一局比，者被裁汰出局，由第二号手挑上一局的手，依此推，直到一方的全部被裁汰，另一方算．若是双方的力伯仲之间（即取手的概率相互相等）
（Ⅰ）在已知乙先一局的状况下，求甲的概率．
（Ⅱ）双方束比的局数ξ，求ξ的分布列并求其数学希望Eξ．
【解答】解：
（Ⅰ）在已知乙先一局的状况下，相当于乙校有3名手，
而甲校剩2名手，甲校要想取，需要3，也许比四要三，
且最后一，因此甲校的概率是
（Ⅱ）双方束比的局数ξ，ξ=3，4，5
因此ξ的分布列
ξ
3
4
5
P
数学希望
．
8．（2016?
武昌区模）M企业从某大学招收生，合，用了14名男生和6名女生，20名生的成如茎叶所示（位：
分），企业定：
成在180分以上者到“甲部”工作；180分以下者到“乙部”工作．别的只有成高于180分的男生才能担当“助理工作”．
第12页（共24页）
（Ⅰ）若是用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中采用8人，再从这8人中选3人，那么最少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
（Ⅱ）若从全部“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担当“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学希望．
【解答】解：
（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，
依照茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，
因此选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，
用事件A表示“最少有一名甲部门人被选中”，则它的对峙事件表示“没有一名甲
部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．
因此，最少有一人是“甲部门”人选的概率是；
（Ⅱ）依照题意，所选毕业生中能担当“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，
P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．
因此，X的分布列以下：
因此X的数学希望EX=0×+1×+2×+3×=．
9．（2016?
洛阳二模）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：
指标大
于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，
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检测结果统计以下：
测试指标
[70，76）
[76，82）
[82，88）
[88，94）
[94，100]
元件A
8
12
40
32
8
元件B
7
18
40
29
6
（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利
40元，若是次品则损失
5元；生产一
件元件B，若是正品可盈利
50元，若是次品则损失10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总收益，求随机变量X的分
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