完整word版高考数学专题《数列》超经典docx.docx
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高考复习序列-----
高中数学
数列
.....
一、数列的通项公式与前n项的和的关系
①an
s1,
n1
（注：
该公式对任意数列都适用）
sn
sn1,n
2
②Sn
Sn1
an（n
2）
（注：
该公式对任意数列都适用）
③Sn
a1
a2
L
an
（注：
该公式对任意数列都适用）
④s
-s
n-1
=a
n+1
+
a（注：
该公式对任意数列都适用）
n+1
n
二、等差与等比数列的基本知识
1、等差数列
⑴
通项公式与公差：
定义式：
an
an1
d
一般式：
an
a1
n
1d
anpn
q
推广形式：
an
am
（n
m）d
d
an
am；
n
m
前n项和与公差的关系：
d
Sn
Sm
n
m；
2
n
m
⑵
前n项和与通项an的关系：
前n项和公式：
sn
n（a1
an）
na1
n（n
1）d
d
n2
（a1
1d）n.
2
2
2
2
前n项和公式的一般式：
Sn
An2
Bn,其中A
d,B
a1
1d
2
2
应用：
若已知f
n
2n2
n，即可判断
f
n为某个等差数列
an的前n项和，并可求出首项及公差的值。
an与Sn的关系：
an
Sn
Sn1（n
2）（注：
该公式对任意数列都适用）
例：
等差数列Sn
2n1，an
an1
（直接利用通项公式作差求解）
⑶
常用性质：
①若m+n=p+q
，则有am
an
ap
aq
；特别地：
若am是an,ap的等差中项，则有2
aman
apn、
m、p成等差数列；
②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”
（如a1a2
a3,a4
a5
a6,a7
a8
a9，
）仍是等差
数列；
③a为公差为d等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2mSm,S3m
S2m，S4m
S3m，．．．也成等差数列,
n
．．．．
A、构成的新数列公差为D=m2d，即m2d=（S2m-Sm）-Sm；
2
Sn
Sm
Sn
d等差数列。
B、对于任意已知Sm，Sn，等差数列an
公差d
n
m，即
也构成一个公差为
2
n
m
n
2
⑥若项数为偶数，设共有
2n
项，则①S偶
S奇
an
；
S奇nd；②
S偶
an
1
2n
1项，则①S奇
S偶an
S奇
n
⑦若项数为奇数，设共有
a中；②
。
S偶
n1
例：
已知等差数列
an，其中S10
100,S100
10,则S110
解析：
法一，用等差数列求和公式
na1
n（n1）d
求出a1,d
2
法二，S10
，S20
S10,S30
S20...S110S100成等差数列，设公差为
D，则：
S110S100
10S10
45D
法三,
63.等比数列的通项公式：
3
⑴
①一般形式：
an
a1qn1
a1qn（nN*）；
q
②推广形式：
an
am
qn
m，q
nm
an
am
③其前n项的和公式为：
sn
a1（1qn）,q1
，或sn
a1
anq,q1
1
q
1
q
.
na1,q
1
na1,q1
⑵数列an为等比数列
an1
qq0
an2
an1an1
0n2,nN
an
a1qn1
an
a、q0，nN*
Sn
Aqn
B
1
⑶
常用性质：
①
若m+n=p+q
，则有
am
an
apaq
；特别地：
若am是an,ap的等比中项，则有am2
an
apn、
m、p成等比数列;
②
等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”
（如a1
a2
a3,a4
a5
a6,a7a8a9，
）仍是等
比数列；
③an为等比数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2mSm,S3mS2m，S4mS3m，．．．也成等比数列（仅当当
q1或者q1且m不是偶数时候成立）；
设等比数列{bn}的前
n项积为Tn
，则Tk，T2k
T3k
，T4k成等比数列．
．
．．
Tk
T2k
T3k
④
an
为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
⑤
an
既是等差数列又是等比数列
an是各项不为零的常数列.
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
an1and（常数）（nN）an是等差数列
②中项法：
2an1anan2（nN）an是等差数列
③一般通项公式法：
4
anknb（k,b为常数）an是等差数列
④一般前n项和公式法：
SnAn2Bn（A,B为常数）an是等差数列
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
（1
an
1
q（常数）
an为等比数列；
）定义法：
an
（2
2
anan2
（an0）
an为等比数列；
）中项法：
an1
（3
）通项公式法：
an
kqn（k,q为常数）
an
为等比数列；
（4
）前n项和法：
Sn
k（1qn）（k,q为常数）
an为等比数列。
Sn
k
kqn（k,q为常数）
an为等比数列。
数列最值的求解
（1）a1
0，d
0
时，Sn有最大值；a1
0，d
0时，Sn有最小值；
（2）Sn最值的求法：
①若已知
Sn，Sn的最值可求二次函数
Snan2
bn的最值；
可用二次函数最值的求法（
n
N）；②或者求出
an
中的正、负分界项，即：
若已知an，则Sn最值时n的值（n
N）可如下确定
an
0
an
0
an
或
an1
。
10
0
例1：
等差数列
an中，a1
0，S9
S12
，则前
项的和最大。
【解析】：
a1
，
S12
S9
0a12
a11
a10
0
0S9S12
a11
a12
a10
a12
a10
前（或前
项）项和最大
2a11
a12
a10
a11
0
11
10
例2．设等差数列
an
的前n项和为Sn，已知
a3
12，S12
0，S13
0
①求出公差
d的范围，
②指出S1，S2，，S12中哪一个值最大，并说明理由。
【解析】：
5
a1
a3
2d
12
2d,
S12
12a1
a12
12212
2d11d
42d
2
2
144
①
24
同理：
S13
156
52d,根据已知S12
0，S13
0，
d
3
7
②由
a
，S
，S
0
及d
0，可知，
n=12
是前
n
和正分界，
3
12
12
0
13
故an
0n
6,an
0n
7,所以，S6
最大
式：
若等差数列的首
31，从第16
开始小于1
，此数列公差d的取范是
解析：
a16
1
，但要注意此要一个含条件
a15
1，立不等式求解。
3、若数列的前
n和Sn
n
2
10
，nsn
数最小是第
。
n，an
【解析】：
法一（数法）：
根据等差数列前
n和的准形式
Sn
An2
Bn，可知数列等差数列，
a1
S1
n2
10n
9,a2
S2
S1
7,
d
a2
a1
2,
令
an
2n
11
nSn
2n2
11n
f（n）
nSn
2
‘
（n）
4n
’
11
时,取得最小，
2n
11n,f
11,当f（n）0时，即n
11
4
其中2
，分别求出f
（2）
14,
f
（3）
15
，可当n=3
ns取得最小。
4
3
n
法二（列法）：
于a1
0且数值较小,d
0且数值较大时,可用列法，分求出n=1、2⋯的nsn
的，再行比。
4、已知数列
an
，a1
33,an
1
an
2n,则an
的最小值为
n
【解析】：
法一（均不等式）：
由累加法：
an
a1n2-n
an
n2-n33，令
f（n）
an
n
33
1,可见当n
33，即n
33时，an
取得最小值，5
33
6，
n
n
n
n
f（5）
33，f（6）
63，可见n
6时取得最小值。
5
6
法二（列法）：
在没招使用法。
5、已知等差数列an的前n和Sn,S100,S1525,则nSn的最小值为。
【解析】：
6
d
Sn
Sm
2
n
m
d
0a1
a10
0a1
3
2
n
m
S10
3
nSn
n3
10n2
令
'
（n）
n
2
20
当'
，即
20
时取得最小值，
3
f（n）nSn,f
n,
f
（n）0
n
3
3
6
20
7,
而
f（6）
，
，故取
-49
3
-48f（7）
-49
6、
数列通项公式的求法：
类型1：
等差数列型an1an
f（n）
思路：
把原递推式转化为
an1
an
f（n），再使用累加法（逐差相加法）求解。
例，已知数列{an}满足an1
an
2n1，a1
1，求数列{an}的通项公式。
解：
由an1an2n
1得an1
an
2n1则
7
an
an
1
2（n1）1
an1
an
2
2（n
2）
1
?
a2
a1
2*1
1
以上逐次累加，an
n2
所以数列{an}的通项公式为an
n2
变式：
已知数列{an}满足an1
2an
32n，a1
2，求数列{an}的通项公式。
解：
an
1
2an
3
2n两边除以2n1，得an1
an
3
，则an1
an
3
，此时f（n）
3
，故数列{an
}
2n1
2n
2
2n1
2n
2
2
2n
是以a1
2
1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，
得an
1（n
1）3
，所以数列{an}
21
2
2
2n
2
的通项公式为an
（3n
1）2n
2
2
评注：
本题an1、an前的系数不一致，不能直接使用前述方法，
解题的关键是把递推关系式
an
1
2an
32n
转化为
an1
an
3
an
an
1（n
3
，
2
n1
n
，说明数列{n}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
n
1）
2
2
2
2
2
进而求出数列{an}的通项公式。
类型2：
等比数列型an1
f（n）an
把原递推式转化为
an
1
f（n），再使用累乘法（逐商相乘法）求解。
an
例
（2004
年全国I第15
题，原题是填空题）已知数列
{an}满足
a1
1，an
a1
2a2
3a3
L
（n1）an1（n
2），求{an}的通项公式。
解：
因为an
a1
2a2
3a3
L
（n
1）an
1（n
2）
①
所以an1
a1
2a2
3a3L
（n1）an1
nan
②
用②式－①式得
an1
an
nan.则an1
（n
1）an（n
2）；故an1
n
1（n
2）
an
所以an
an
an
1L
a3
a2
[n（n
1）L
4
3]a2
n!
a2.
③
an1
an
2
a2
2
由an
a1
2a2
3a3
L
（n
1）an1（n2），取n
2得a2
a1
2a2，则a2
a1，又知a1
1，则a2
1，
8
代入③得an
1345Ln
n!
。
所以，{an}的通项公式为an
n!
.
2
2
评注：
本题解题的关键是把递推关系式an1（n1）an（n2）转化为
an1
n1（n2），进而求出
an
an
an1
L
a3a2，从而可得当n
2时，an的表达式，最后再求出数列
{an}的通项公式。
an
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