完整版经典高考概率分布类型题归纳doc文档格式.docx
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3
4
P
8
32
16
81
∴数学期望E(X)=0×
8+1×
81+2×
81+3×
81+4×
81=3.
有一批产品,其中有
12件正品和4件次品,从中有放回地依
次任取3件,若X表示取到次品的次数,则
P(X)=
.
辨析:
1.有一批产品,其中有
12件正品和
4件次品,从中不放回地依
次任取3件,若X表示取到次品的件数,则
2.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地依次任取件,第k次取到次品的概率,则P(X)=
3.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中不放回地依次任取件,第k次取到次品的概率,则P(X)=
1.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正四面体底面上的数字分别为x1,x2,记X=(x1-2)2+(x2-2)2.
(1)分别求出X取得最大值和最小值的概率;
(2)求X的概率分布及方差.
2.(2012·
江苏高考)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两
条棱相交时,ξ=0;
当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;
当两条棱异面时ξ=1.
(1)求概率P(ξ=0);
(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).
3.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,
且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中:
(1)恰有2人申请A片区房源的概率;
(2)申请的房源所在片区的个数X的概率分布与期望.
4.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.
(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;
(2)设ξ=m2,求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ).
解
(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),
(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,
所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9,
且有P(ξ=0)=16,
21
P(ξ=1)==,
21
P(ξ=4)=6=3,
P(ξ=9)=6.
故ξ的概率分布表为
ξ0
9
6
19
所以E(ξ)=0×
6+1×
3+4×
3+9×
6=
6.
5.在高中“自选模块”考试中,某考场的每位同学都选了一道数学题,第一小组
选《数学史与不等式选讲》的有1人,选《矩阵变换和坐标系与参数方程》
的有5人,第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人,选《矩阵变换和
坐标系与参数方程》的有4人,现从第一、第二两小组各任选2人分析得分
情况.
(1)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率;
(2)设X为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数,求X的分布列
和数学期望.
解
(1)设“从第一小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件A,“从第二小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.
由于事件A、B相互独立,
C5
C42
所以P(A)=C62=
3,P(B)=C62=5,
所以选出的4
人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为
P(A·
B)=
224
P(A)·
P(B)=3×
5=15.
(2)X可能的取值为
0,1,2,3,则
22
C2·
C4
,P(X=1)=
2·
2
+
2=
,
P(X=0)=15
C6
45
P(X=3)=
2=.
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=9.
故X的分布列为
15
所以X的数学期望E(X)=0×
+1×
22+2×
2+3×
=1(人).
6.
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙
两个盒内各任取2个球.
(I)求取出的4个球均为黑色球的概率;
(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(III)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望.
解:
(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A,
“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.
∵事件A,B相互独立,且
.
∴取出的4个球均为黑球的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=.
(II)解:
设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;
从乙盒内取出的2个球中,1个是红红,1个是黑球”为
事件C,
“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;
从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.
∵事件C,D互斥,且
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P(C+D)=P(C)+P(D)=.
(III)解:
ξ可能的取值为0,1,2,3.
由(I),(II)得
又,
从而P(ξ=2)=1P(ξ=0)P(ξ=1)P(ξ=3)=.
ξ的分布列
ξ的数学期望.
五、独立事件概率分布之非二分布(主要在于如何分)
1.开次数的数学期望和方差有n把看上去子相同的匙,其中只有一把能把大上
的打开.用它去开上的.抽取匙是相互独立且等可能的.每把匙开后不
能放回.求开次数的数学期望和方差.
分析:
求P(k),由知前k1次没打开,恰第k次打开.不,一般我从
的地方入手,如1,2,3,律后,推广到一般.
的可能取
1,2,3,⋯,n.
P(
1)
1,
n
2)
n1
;
(1)
1n
3)(11)(1
1)
n1n21
1;
n1n2
nn1n2n
k)(11)(1
1)(1
)
n1n2n3nk111
n2
nk2nk1
nn1n2nk2nk1n
;
所以
的分布列:
12⋯k⋯n
⋯
E11
31
n1n1;
D
(1
(k
(2
(3
(n
1(12
n2)(n1)(123
n)(n1)2n
1n(n
1)(2n
n(n1)2
n(n
1)2
n2
12
2.射中耗用子数的分布列、期望及方差
某射手行射,每射5子算一,一旦命中就停止射,并入下一的,否一直打完5子后才能入下一,若射手在某中射命中一次,
并且已知他射一次的命中率0.8,求在一中耗用子数的分布列,并求出的
期望E与方差D(保留两位小数).
根据随机量不同的取确定的概率,在利用期望和方差的定求解.
耗用的子数随机量,可以取1,2,3,4,5.
=1,表示一即中,故概率
P
(1)0.8;
=2,表示第一未中,第二命中,故
P(
2)(10.8)0.80.20.80.16;
=3,表示第一、二未中,第三命中,故
3)(10.8)2
0.80.22
0.80.032;
=4,表示第一、二、三未中,第四命中,故
4)(10.8)30.80.23
0.80.0064
=5,表示第五命中,故
5)(10.8)410.24
0.0016.
因此,的分布列为
5
0.8
0.16
0.032
0.0064
0.0016
E
0.32
0.096
0.0256
0.008
1.25,
1.25)2
(2
(3
1.25)2
0.032(41.25)2
0.0064(51.25)20.0016
0.05
0.09
0.098
0.0484
0.0225
0.31.
3.
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投
3次;
在A处每投进一球
得3
分,在B处每投进一球得
2分;
如果前两次得分之和超过
3分即停止投篮,否则投第
三次.某同学在A处的命中率q1为0.25,在B处的命中率为
q2,该同学选择先在A处投一
球,以后都在
B处投,用
表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为
(1)求q2的值;
(2)求随机变量的数学期望E;
(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分
的概率的大小.
解:
(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,
且P(A)=0.25,P(A)0.75,P(B)=q2,P(B)1q2.
根据分布列知:
=0时P(ABB)P(A)P(B)P(B)0.75(1q2)2=0.03,所以
1q20.2,q2=0.8.
(2)当=2时,P1=P(ABBABB)P(ABB)P(ABB)
P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)P(B)=0.75q2(1q2)×
2=1.5q2(1q2)=0.24.
当=3时,P2=P(ABB)P(A)P(B)P(B)0.25(1q2)2=0.01,
当
=4时,P3
=P(ABB)P(A)P(B)P(B)
0.75q2
=0.48,
=5时,P4
=P(ABBAB)
P(ABB)
P(AB)
P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)
0.25q2(1
q2)0.25q2=0.24.
所以随机变量
的分布列为:
随机变量的数学期望E00.0320.2430.0140.4850.243.63.
(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBBBBBBB)
P(BBB)P(BBB)P(BB)2(1q2)q22q220.896;
该同学选择
(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.
4.某科技公司遇到一个技术难题,紧急成立甲、乙
两个攻关小组,按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关,同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励.已知这
些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为被乙小组攻
克的概率为3.
(1)设X为攻关期满时获奖的攻关小组数,求X的概率分布及
V(X);
(2)设Y为攻关期满时获奖的攻关小组数的2倍与没有获奖的攻关小组数之差,求V(Y).
5.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是
0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设表示客人离开该城市时游览的
景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(Ⅰ)求的分布列及数学期望;
(Ⅱ)记“函数f(x)x23x1在区间[2,)上单调递增”为事件A,求事件A
的概率.
(2)这是二次函数在闭区间上的单调性问题,需考查对称轴相对闭区间的关系,
即可.
就本题而言,只需
(1)分别记“客人游览甲景点”
,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点”
为
事件A1,A2,A3.由已知A1,A2,A3
相互独立,P(A1)0.4,P(A2)
0.5,P(A3)
0.6.
客人游览的景点数的可能取值为
0,1,2,3.
相应的,客人没有游览的景点数的可能
取值为3,2,1,0,所以
的可能取值为1,3.
3)
P(A1gA2gA3)
[
P(A1)P(A2)P(A3)
P(A1)P(A2)P(A3)
0.4
0.50.6
0.24
10.24
0.76
的分布列为
E()
10.763
1.48
(Ⅱ)解法一:
因为
f(x)
(x
)219
2,所以函数
x2
3x1在区间[3
)上单调递增,要使
f(x)在[2,
)上单调递增,
当且仅当3
2,即
.从而P(A)P(
1)0.76.
解法二:
的可能取值为1,3.
时,函数f(x)
3x
1在区间[2,
时,函数f(x)
9x
)上不单调递增.
所以P(A)P
(1)
0.76.
6.甲、乙两人各进行3
次射击,甲每次击中目标的概率为
1,乙每次击中目标
的概率为3.
(1)求乙至多击中目标2次的概率;
(2)记甲击中目标的次数为Z,求Z的分布列、数学期望和标准差.
解
(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布,故乙至多击中目标
2次的
23
概率为
1-C33
=27.
13
(2)P(Z=0)=C3
=8;
P(Z=1)
=C3
=
8;
P(Z=2)
=C32
3=
P(Z=3)
=C33
3=.
Z的分布列如下表:
Z
E(Z)=0×
8+1×
8+2×
8+3×
8=
2,
D(Z)=0-
DZ=
2×
+1-
+2-
+3-
=,∴
7.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术
水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.经过
第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品